1、第一章：三角形的證明【基礎(chǔ)知識】1、全等三角形 （1）定義： 能夠完全 的三角形是全等三角形。 （2）性質(zhì)：全等三角形的 、 相等。 （3）判定：“SAS”、 、 、 、 。2、等腰三角形 （1）定義：有兩條 的三角形是等腰三角形。 （2）性質(zhì)：等腰三角形的 相等。（“等邊對等角”）等腰三角形的頂角平分線、 、 互相重合。( )等腰三角形是 圖形。 （3）判定：定義 “ ” （4）等邊三角形 定義： 的三角形是等邊三角形。 性質(zhì)：三角都等于 具有等腰三角形的一切性質(zhì)。 判定：定義 有一個角 是等邊三角形。3、直角三角形 （1）定義：有一個角是 的三角形是直角三角形。 （2）性質(zhì)：“勾股定理”

2、。直角三角形兩銳角 。直角三角形斜邊上的中線等于 。在直角三角形中，30°角所對直角邊等于 。 （3）判定：定義 兩銳角 的三角形是直角三角形“勾股定理逆定理” 。ABCDEF4、角平分線 （1）定義： 。 （2）性質(zhì)：角平分線上的點 相等。三角形的三條角平分線 ，且到 相等。 （3）判定：到角的兩邊 的點，在這個角的平分線上。 （4）角平分線的作法：5、線段的垂直平分線 （1）定義： 一條線段的 叫線段的垂直平分線。 （2）性質(zhì)：線段垂直平分線上一點 相等。三角形三邊的垂直平分線 ，且到 相等。（3）判定：到一條線段兩個端點 的點，在這條線段的垂直平分線上。（4）線段的垂直平分線的

3、作法：6、命題：判斷一件事的句子叫命題。命題有 與 兩部分。 互逆命題：在兩個命題中，如果一個命題的 是另一個命題的 ，那么這兩個命題成為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的 。7、逆定理：如果一個定理的逆命題是真命題，那么這個逆命題就叫原定理的逆定理【典例講解】一、選擇題1、到ABC的三條邊距離相等的點是ABC的（ ） A.三邊中線的交點 B.三條角平分線的交點C.三邊上高的交點 D.三邊中垂線的交點2、如圖，從等腰ABC底邊BC上任意一點分別作兩腰的平行線DE、DF，分別交AC、AB于點E、F，則AFDE的周長等于這個等腰三角形的( ) A. 周長 B. 周長的一半 C. 一條腰長的2倍

4、 D. 一條腰長3、如圖，ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE相交于F，若BF=AC，則ABC的大小是（ ） A.45° B.50° C.55° D.60°4、如圖，在，90°，15°，的中垂線交于，為垂足，若10，則等于（）10 8 5 255、如圖，已知在中，30°，3，則AC的長等于（） 2題 3題 4題 5題6、ABC中，ABC=123，最小邊BC=4 cm，最長邊AB的長是（ ）A.5 cm B.6 cm C. cm D.8 cm7、下列定理中逆定理不存在的是（ ）A.角平分線上的點到這個角的兩邊距離相

5、等B.在一個三角形中，如果兩邊相等，那么它們所對的角也相等C.同位角相等，兩直線平行D.全等三角形的對應角相等8、下列說法正確的是（ ）A.真命題的逆命題是真命題 B.每個定理都有逆定理C每個命題都有逆命題 D.假命題的逆命題是假命題 二、填空題1、命題：“全等三角形的對應角相等”的逆命題是_。這條逆命題是_命題（填“真”或“假”）2、已知，如圖，O是ABC的ABC、ACB的角平分線的交點，ODAB交BC于D，OEAC交BC于E，若BC = 10 cm，則ODE的周長 .3、如圖，AOP=BOP=15°，PCOA，PDOA，若PC=4，則PD的長為 .4、如圖所示的圖形中，所有的四邊

6、形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A、B、C、D的面積的和是 5、在聯(lián)歡晚會上，有A、B、C三名同學站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩一個游戲，要求在他們中間放一個木凳，使他們搶坐到凳子的機會相等，試想想凳子應放在ABC的三條線的交點最適當6、如圖（九），一個正方體的棱長為2cm，一只螞蟻欲從A點處沿正方體側(cè)面到B點處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是 .AB7、如圖（十）的(1)中，ABCD是一張正方形紙片，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，沿過點D的折痕將A角翻折，使得點A落在（2）中EF上，折痕交AE于點G，那么ADG= .三、解答題

7、1已知某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地ABCD，如圖，現(xiàn)計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量A90°，AB3m，BC12m，CD13m，DA4m，若每平方米草皮需要200元，問需要多少投入？ 2、如圖，AB=AD=8，四邊形的周長為32，求BC和CD的長。3、作圖題（保留作圖的痕跡，寫出作法）（共6分） 如圖（十一），在AOB內(nèi)，求作點P，使P點到OA，OB的 距離相等，并且P點到M，N的距離也相等.4、如圖（十五），ABC中，AD是BAC的平分線，DEAB于E，DFAC于F.求證：（1）ADEF ；（2）當有一點G從點D向A運動時，DEAB于E，DFAC于F，此時上面結(jié)論是否成立？5、如圖（十六

8、），ABC、DEC均為等邊三角形，點M為線段AD的中點，點N為線段BE的中點，求證：CNM為等邊三角形.4如圖，ABC中，AM，CM分別是角平分線，過M作DEAC，求證：AD+CE=DE5、如圖2所示，已知：在ABC中，AD為ABC的中線，F(xiàn)為AC上一點，且AF=AC，連結(jié)BF交AD于E，若EF=5cm.求BE的長。 A F E B D C6、已知：如圖，D是等腰ABC底邊BC上一點，它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF。當D點在什么位置時，DE=DF？并加以證明.7、已知：菱形ABCD中（如圖），A72°，請設(shè)計三種不同的分法，將菱形ABCD分割成四個三角形，使得每個三角形都是

9、等腰三角形（畫圖工具不限，要求畫出分割線段；標出能夠說明分法所得三角形內(nèi)角的度數(shù)，沒有標出能夠說明分法所得三角形內(nèi)角度數(shù)不給分；不要求寫出畫法，不要求證明）注：兩種分法只要有一條分割線段位置不同，就認為是兩種不同的分法 分法一： 分法二： 分法三：8、我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形.（1）請寫出一個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；（2）如圖，在ABC中，點D、E分別在AB、AC上，設(shè)CD、BE相交于O，若A=60°，DCB=EBC=A，請你寫出圖中一個與A相等的角，并猜想圖中哪個四邊形是等對邊

10、四邊形；（3） 在ABC中，如果A是不等于60°的銳角，點D、E分別在AB、AC上，且DCB=EBC=A，探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結(jié)論. 9、巳知：如圖，在ABC中ABAC， 延長AB到D使BDAB，E為AB的中點，求證：CD2CE【鞏固練習】1.一個等腰三角形有一角是70°，則其余兩角分別為_.2.一個等腰三角形的兩邊長為5和8，則此三角形的周長為_.3.如下左圖，ABC中，C=90°，AM平分CAB，CM=20 cm，則點M到AB的距離是_4.如上右圖，等邊ABC中，F(xiàn)是AB中點，EFAC于E，若ABC的邊長為10，則AE=_

11、，AEEC=_.5.如下左圖，ABC中，DE垂直平分BC，垂足為E，交AB于D，若AB=10 cm，AC=6 cm，則ACD的周長為_. 6.如上右圖，C=90°，ABC=75°，CDB=30°，若BC=3 cm，則AD=_ cm.7.如下左圖，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，ACE=25°，ADE=_. （17題）8.等腰直角三角形一條邊長是1 cm，那么它斜邊上的高是_ cm.9.如上右圖，在AOB的兩邊OA、OB上分別取OQ=OP，OT=OS，PT和QS相交于點C，則圖中共有_對全等三角形.10.等腰三角形兩腰上的高相等，這個命題的逆命題

12、是_，這個逆命題是_命題.11.三角形三邊分別為a、b、c，且a2bc=a(bc)，則這個三角形（按邊分類）一定是_三角形.12.等邊三角形的高為2，則它的邊長為（ ） A.4B.3C.2D.513.等腰三角形的頂角是n°，那么它的一腰上的高與底邊的夾角等于（ ）A.B.90 C. D.90°n°14.下列由線段a、b、c組成的三角形，不是直角三角形的是（ ） A.a=3，b=4，c=5B.a=1，b=，c= C.a=9，b=12，c=15 D.a=，b=2，c=15.直角三角形的三邊長為連續(xù)自然數(shù)，則它的面積為（ ） A.6B.7.5 C.10D.1216.AB

13、C中，ABC=123，最小邊BC=4 cm，最長邊AB的長是（ ）A.5 cm B.6 cm C. cm D.8 cm17.如右圖，ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，則A的度數(shù)為（ ） A.55° B.45° C.36° D.30°18.等腰ABC中，AC=2BC，周長為60，則BC的長為（ ）A.15 B.12 C.15或12 D.以上都不正確19.直角三角形兩直角邊分別是5 cm、12 cm，其斜邊上的高是（ ） A.13 cm B. cm C. cm D.9 cm20.直角三角形中，以直角邊為邊長的兩個正方形的面積分別為30和20

14、，則以斜邊為邊長的正方形的面積為（ ） A.25B.50C.100D.6021.等腰三角形的底邊為a，頂角是底角的4倍，則腰上的高是（ ） A.aB. aC.aD. a22.若一個三角形的三條高線交點恰好是此三角形的一個頂點，則此三角形一定是（ ） A.等腰三角形B.等邊三角形 C.等腰直角三角形D.直角三角形23.等腰三角形ABC中，A=120°，BC中點為D，過D作DEAB于E，AE=4 cm，則AD等于（ ） A.8 cm B.7 cmC.6 cm D.4 cm24.下列說法中，正確的是（ ）A.兩邊及一對角對應相等的兩個三角形全等 B.有一邊對應相等的兩個等腰三角形全等C.兩

15、邊及其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等D.兩邊及其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等25.如右圖，ABCD，ABD、BCE都是等腰三角形，如果CD=8，BE=3，那么AC長為（ ） A.8 B.5 C.3 D. 26.將兩個全等的有一個角為30°的直角三角形拼成下右圖，其中兩條長直角邊在同一直線上，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（ ） A.4B.3 C.2D.1 27.下列定理中逆定理不存在的是（ ）A.角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等B.在一個三角形中，如果兩邊相等，那么它們所對的角也相等C.同位角相等，兩直線平行 D.全等三角形的對應角相等*28.已知一個直角三角形的周長是

16、4+2，斜邊上中線長為2，則這個三角形的面積為（ ） A.5B.2C.D.129.已知：如圖，AB=AC，DEAC，求證：DBE是等腰三角形.30.已知：如圖，在RtABC中，C=90°，BAD=BAC，過點D作DEAB，DE恰好是ADB的平分線，求證：CD=DB.31.已知三角形的三邊分別是n2+n，n+和n2+n+ (n0)，求證：這個三角形是直角三角形.32.如圖，ABC中，AB=AC，1=2，求證：AD平分BAC.33.如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB與邊面內(nèi)作等邊ABD，連結(jié)DC，以DC當邊作等邊DCE，B、E在C、D的同側(cè)，若AB=，求BE的長.*34.在ABC中，

17、AB=AC，AB的垂直平分線交AC于N，交BC的延長線于M， A=30°，求NMB的大小.如果將中的A的度數(shù)改為70°，其余條件不變，再求NMB的大小.你感到存在什么樣的規(guī)律性？試證明.（請同學們自己畫圖）將中的A改為鈍角，對這個問題規(guī)律性的認識是否需要加以修改？【連接中考】 1.（2011山東濟寧，9，3分）如圖，ABC的周長為30cm，把ABC的邊AC對折，使頂點C和點A重合，折痕交BC邊于點D，交AC邊于點E，連接AD，若AE=4cm，則ABD的周長是A22cm B20 cm C18cm D15cmBCADEABCOyx 2.（2011湖北黃岡，14，3分）如圖，把R

18、tABC放在直角坐標系內(nèi)，其中CAB=90°，BC=5，點A、B的坐標分別為（1，0）、（4，0），將ABC沿x軸向右平移，當點C落在直線y=2x6上時，線段BC掃過的面積為（ ）A4 B8C16D3. （2011安徽，6，4分）如圖，D是ABC內(nèi)一點，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是（ ）A7B9C10D114. （2011山東威海，3，3分）在ABCD中，點E為AD的中點，連接BE，交AC于點F，則AF：CF（ ） A1：2B1：3C2：3D2：5 5. （2011浙江省，8，3分）如圖，在五邊形A

19、BCDE中，BAE=120°, B=E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分別找一點M,N，使得AMN的周長最小時，則AMN+ANM的度數(shù)為（ ）A. 100° B110° C. 120° D. 130°ABCDEFG6. （2011浙江金華，15，4分）如圖，在ABCD中，AB3，AD4，ABC60°，過BC的中點E作EFAB，垂足為點F，與DC的延長線相交于點H，則DEF的面積是 7. （2011四川南充市，10，3分）如圖，ABC和CDE均為等腰直角三角形，點B,C,D在一條直線上，點M是AE的中點，下列結(jié)

20、論：tanAEC=;SABC+SCDESACE ;BMDM;BM=DM.正確結(jié)論的個數(shù)是（ ） （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個8. （2011浙江義烏，10，3分）如圖，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90°， 四邊形ACDE是平行四邊形，連結(jié)CE交AD于點F，連結(jié)BD交 CE于點G，連結(jié)BE. 下列結(jié)論中： CE=BD； ADC是等腰直角三角形； ADB=AEB； CD·AE=EF·CG；一定正確的結(jié)論有（ ） A1個 B2個 C3個 D4個9. （2011四川涼山州，8，4分）如圖，在中，點為的中點，垂足為點，則等于（） A

21、B C D D10. （2011浙江杭州，16，4）在等腰RtABC中，C=90°，AC1，過點C作直線lAB，F(xiàn)是l上的一點，且ABAF，則點F到直線BC的距離為 11. （2011浙江臺州，14,5分）已知等邊ABC中，點D,E分別在邊AB,BC上，把BDE沿直線DE翻折，使點B落在點B處，DB,EB分別交邊AC于點F，G，若ADF=80º ，則EGC的度數(shù)為 12. （2011山東濟寧，15，3分）如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的兩個動點，且總使AD=BE，AE與CD交于點F，AGCD于點G，則 13. （2011貴州貴陽，15，4分）如圖，已知

22、等腰RtABC的直角邊長為1，以RtABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰RtACD，再以RtACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰RtADE，依此類推直到第五個等腰RtAFG，則由這五個等腰直角三角形所構(gòu)成的圖形的面積為_14. （2011廣東茂名，14，3分）如圖，已知ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上且CGCD，DFDE，則E 度15. （2011安徽蕪湖，6，4分）如圖，已知中， 是高和的交點，則線段的長度為（ ）. AB 4CD16. （2011浙江衢州，1,3分）如圖，平分于點，點是射線上的一個動點，若，則的最小值為（ ）A.1 B.2 C.3 D. 417. （20

23、11貴州貴陽，7，3分）如圖，ABC中，C=90°，AC=3，B=30°，點P是BC邊上的動點，則AP長不可能是（ ） （A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）718. （2011河北，9，3分）如圖3，在ABC中，C=90°，BC=6,D,E分別在AB,AC上，將ABC沿DE折疊，使點A落在點A處，若A為CE的中點，則折痕DE的長為（ ）A B2 C3 D4 ACBEFD ACEDBF30°45° 19. （2011江蘇無錫，16，2分）如圖，在RtABC中，ACB = 90°，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，若CD

24、 = 5cm，則EF = _cm 20. （2011山東棗莊，15，4分）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若=14cm，則陰影部分的面積是_cm2. 21. （2011山東泰安，19 ，3分）如圖，點O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點，沿CE折疊后，點B恰好與點O重合，若BC=3，則折痕CE的長為A.2 B. C. D.6 22. （2011四川重慶，10，4分）如圖，正方形ABCD中，AB6，點E在邊CD上，且CD3DE將ADE沿AE對折至AFE，延長EF交邊BC于點G，連結(jié)AG、CF下列結(jié)論：ABGAFG；BGGC；AGCF；SFGC3其中正確結(jié)論的個數(shù)是( ) A1 B2 C3 D4

25、23. （ 2011重慶江津， 10，4分）如圖,四邊形ABCD中,AC=a,BD=b,且ACBD,順次連接四邊形ABCD各邊中點,得到四邊形A1B1C1D1,再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點,得到四邊形A2B2C2D2,如此進行下去,得到四邊形AnBnCnDn.下列結(jié)論正確的有( )A1AA2A3BB1B2B3CC2C1C3DD2D1D3四邊形A2B2C2D2是矩形; 四邊形A4B4C4D4是菱形；四邊形A5B5C5D5的周長; 四邊形AnBnCnDn的面積是 A. B. C. D.24. （2011山東臨沂，11，3分）如圖，ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、AB于點D、F，B

26、EDF交DF的延長線于點E，已知A30°，BC2，AFBF,則四邊形BCDE的面積是（ ）A2 B3 C4 D425. （2011湖北武漢市，12，3分）如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE=DF連接BF與DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H下列結(jié)論：AEDDFB；  S四邊形 BCDG=  CG2；若AF=2DF，則BG=6GF其中正確的結(jié)論A只有 B只有C只有 DABCDEFGHABCDEFGH26. （2011四川內(nèi)江，16，5分）如圖，點E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點，當四邊形ABCD的邊至少滿足 條件時，四邊形EFGH是菱形27. (2011重慶綦江，14，4分)如圖,菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且AC8，BD6，過點O作OHAB，垂足為H，則點O到邊AB的距離OH 28. （2011四川綿陽17，4）如圖，將長8cm，寬4c