1、考點三十四 空間直線、平面平行的判定及其性質知識梳理1 .直線與平面平行的定義直線與平面沒有公共點，叫做直線與平面平行.2 .平面與平面平行的定義如果兩個平面沒有公共點，叫做兩個平面平行.3 .直線與平面平行判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行. 簡稱: 線線平行，則線面平行.、 a? a, b? a? a / a.符號語言：a / b,性質定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直 線平行.簡稱：線面平行，則線線平行.a II ar符號語言：a? 3>?a/b.aCl 3= b.4 .平面與平面平行判定定理：一個平面內的兩

2、條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.簡稱: 線面平行，則面面平行.a? a, b? 6符號語言：an b=P? a/ 3a / & b / 3性質定理：自然語言：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平 行.簡稱：面面平行，則線線平行.a/ 3、符號語言：加ka >? all b.3rlkb5 .平行問題的轉化關系性隨I判定判定性隨線線平行、. 線面平行、面面平行性質判定典例剖析題型一平行關系命題判定問題例1空間中，下列命題正確的是 （填序號）若 a/ /， b/ a,則 b/ “若 a/ a, b/ a, a? 3, b? 8 貝U 3/ a若 all

3、3, b II a,貝U b/ 3若 a/ 3, a? a,則 a/ 3答案解析 對于，b可以在“內，錯；對于，當a, b相交時才能有 初%錯；對于，b可能在3內，錯；由面面平行的性質知，正確.變式訓練 對于平面”和共面的直線 m, n,下列命題是真命題的是 （填序號）若m,n與a所成的角相等，則 m/ n若 m /a,n / a,則m / n若 m±a,m± n,則nil a若 m?a,n / a,則m / n答案解析 由m? a, n / a可知m與n不相交，又 m與n共面，故 m / n.解題要點 解決這類命題判定問題，一是對平行的判定定理、性質定理準確記憶并理解，二

4、是可以借助圖形分析.在作圖時，一般是先作出平面，然后借助平面來考察其他的位置關系.題型二線面平行的判定和性質例2如圖，在四棱錐 PABCD中，底面ABCD是正方形，E、F分別為PC、BD的中點. 求證：EF/平面PAD.解析證明：連接AC, ACABD=F.ABCD為正方形，F為AC中點，E為PC中點， 在 CPA 中，EF / FA.而PA?平面PAD, EF?平面PAD.EF / 平面 PAD.變式訓練 在空間四邊形 ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點，且 AE ： EB=AF ： FD =1 ： 4,又H、G分別為BC、CD的中點，則 （填序號）BD II平面EFG ,且四邊形EF

5、GH是平行四邊形EF/平面BCD,且四邊形EFGH是梯形HG /平面ABD,且四邊形EFGH是平行四邊形EH /平面ADC ,且四邊形EFGH是梯形A答案解析 如圖，由題意，EF/ BD,且EF=1BD.HG / BD,且HG=BD. 52EF / HG ,且 EF w HG.二.四邊形 EFGH 是梯形.又EF /平面BCD,而EH與平面ADC不平行.故選.解題要點對平行問題，應善于根據題意進行轉化， 要證線面平行，則一般需尋找線線平行。判斷或證明線面平行的常用方法：(1)利用線面平行的定義(無公共點)；(2)利用線面平行的判定定理(a? % b? % a / b? all a); (3)利

6、用面面平行的性質定理 (/&a?總a/份；(4)利用面面平行的性質(“/ 8 a? & all “？ all 3).題型三面面平行的判定和性質例3 如圖，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，S是BiDi的中點，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點，求證：(1)直線 EG/平面 BDDiBi；(2)平面 EFG /平面 BDD iBi.證明 (1)如圖，連接 SB, .E、G分別是BC、SC的中點，EG/SB.又. SB 平面 BDD1B1, EG 平面 BDD1B1, .直線 EG/平面 BDD1B1.(2)連接SD, F、G 分別是 DC、SC的中點，FG/SD.又 S

7、D 平面 BDD1B1, FG?平面 BDDiBi, .FG/平面 BDDiBi,由（1）知，EG/平面 BDDiBi,且 EG 平面 EFG ,FG 平面 EFG, EGA FG=G, 平面 EFG/平面 BDD1B1.變式訓練 如圖所示，在直四棱柱 ABCDAiBiCiDi中，底面是正方形，巳F, G分別是棱BiB, DiD, DA的中點.求證：平面 ADiE/平面BGF.解析 E, F分別是BiB和DiD的中點，DiF觸BE, 四邊形BEDiF是平行四邊形，DiE/ BF.又 DiE?平面 BGF, BF?平面 BGF ,DiE/平面 BGF .FG 是 DAD1的中位線，FG /ADi

8、.又 ADi?平面 BGF, FG?平面 BGF ,.ADi/平面 BGF.又 ADn DiE=Di, .平面 ADiE/平面 BGF.解題要點 證明面面平行同樣需要在“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”間相互轉化.一般來說，證明面面平行的常見方法是：面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；利用垂直于同一條直線的兩個平面平行；兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行.當堂練習1 .能夠判斷兩個平面 ”，3平行的條件是 .（填序號）平面”，3都和第三個平面相交，且交線平行夾在兩個平面間的線段相等平面a內的無數條直線與平面3無公共點平面a

9、內的所有的點到平面 3的距離都相等答案解析 平面a內的所有的點到平面3的距離都相等說明平面 a、3無公共點.2 .下列說法中正確的個數是 .若直線all b, b* 平面a,則有a/% 若直線a / % 6京%則有all b;若直線a / b,直線a/ a,則b/ a; 若直線a/ % b/ a,則a/ b.答案 0解析 中可能a，a或a/ a,a與b可能異面，中b可能在平面a內，a與b可能 相交、平行或異面.3 .給出下列關于互不相同的直線1、m、n和平面“、& 丫的三個命題：若1與m為異面直線，1? % m? &則all 3;若 all 3, 1? % m? 3,則 1 /

10、 m；若 ad 3= 1, 3n km, M a= n, 1 / % 則 m/ n.其中真命題的個數為.答案 1解析 中當“與3不平行時，也能存在符合題意的1、m.中1與m也可能異面.1 / 丫'中 1? 3符1 / m,箱尸mJ同理1 / n,則m/ n,正確.4 .已知直線a, b,平面%則以下三個命題：若 all b, b? a,貝U a / a;若 a / b, a / % 貝U b / “；若 a / % b/ % 貝U all b.其中真 命題的個數是.答案 0解析 對于命題，若 all b, b? %則應有all “或a? %所以不正確；對于命題，若a/b, all a,

11、則應有b/ a或b? a,因此也不正確；對于命題，若 all % b/ a,則 應有a/ b或a與b相交或a與b異面，因此也不正確.5 .已知正方體 ABCD A1B1C1D1,下列結論中，正確的結論是 （只填序號）.AD1/BC1;平面 AB1D1/平面 BDC1; AD1 /DC1; AD1/平面 BDC1.答案解析 如圖，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，AB觸DiCi,.ABCiDi為平行四邊形， AD"/BCi,故正確；同理可證 BD/B1D1,，面ABiDi/面 BDCi,故正確；對于， ADi與DCi顯然為異面直線，故不正確；又AD"/BCi,ADi?面

12、 BDCi, BCi?面 BDCi,，ADi/平面 BDC1，故正確.課后作業一、填空題a / Ya / b; i? a / b;b/ xall 丫all 3；? all 3；3/工a II 丫 a/ a； I? a / a.1 . a, 3, 丫為三個不重合的平面，a, b, c為三條不同的直線，則有下列命題，不正確的是a cja II 工答案解析 由公理4及平行平面的傳遞性知正確.舉反例知不正確.中a, b可以相交，還可以異面；中 a, 3可以相交；中a可以在a內；中a可以在a內.2 .直線a/平面 ” 則a平行于平面”內的.一條確定的直線所有的直線無窮多條平行的直線任意一條直線答案解析

13、顯然若直線a/平面”，則a一定平行于經過a的平面與“相交的某條直線1,同時，平面”內與1平行的直線也都與直線 a平行，故選.3 .過平行六面體 ABCD-AiBiCiDi任意兩條棱的中點作直線，其中與平面DBBQi平行的直線共有.答案i2條 解析 如圖所示，以E為例，易證EI, EQ/平面DBBiDi,與E處于同等地位的點還有 F,一一一，8 2 ,，G, H, M, N, P, Q,故有符合題意的直線 =8條.以I為例，易證IE/平面DBBiDi,2與I處于同等地位的點還有 J, K, L,故有符合題意的直線 4條，則共有8 + 4= 12條.AEfl4 . （2015北京理）設“ 3是兩個

14、不同的平面，m是直線且 m?以“m/1是" all 6的條件答案必要而不充分解析 m? % m /伊all 3, 1 m? & a/儻m/ &，m / 3是a/ 3的必要而不充分條件.5 .如圖，在三棱錐 S ABC中，Gi, G2分別是 SAB和4SAC的重心，則直線 G1G2與BC 的位置關系是.答案平行解析 .碧=普=2 'GiGz/MN，又M，N為AB，AC的中點, SM SN 3.MN / BC,G1G2/ BC.6 .若平面/平面&直線a / a,且a里 3,點BC&則在3內過點B的所有直線中.（填序號）只有兩條與a平行的直線存在惟

15、一一條與a平行的直線不一定存在與a平行的直線存在無數條與a平行的直線答案解析 .B貴a, a與B確定平面T設們a= m, 們3= n,all & m II n.又 a" % a II m, n II a,，直線n即為3內過B與a平行的直線，它是惟一的.7 .下列命題：如果一條直線不在平面內，則這條直線就與這個平面平行;過直線外一點，可以作無數個平面與這條直線平行；如果一條直線與平面平行，則它與平面內的任何直線平行.其中正確命題的個數為.答案 1個解析只有正確.8 .已知兩條直線 m、n,兩個平面 外官給出下面四個命題： aA3= a, b?a?a/b或 a, b相交； all

16、 3, m? a, n?儻 m/ n; m / n, mH a? n / a; aA 3= a, a / b? b / 3或 b / a.其中正確命題的序號是.答案解析 對于，a/ & m? a, n? 3可能得到m/n,還有可能是直線 m, n異面；對于，m /n, m/ ”，當直線n不在平面 a內時，可以得到 n / /，但是當直線n在平面a內時，n不 平行于平面 a.9 .如圖所示，長方體 ABCD AiBiCiDi中，E、F分別是棱AAi和BBi的中點，過EF的平 面EFGH分別交BC和AD于G、H,則HG與AB的位置關系是 .答案平行解析 .£、F分別是AAi、BB

17、i的中點，EF/AB.又 AB?平面 EFGH , EF?平面 EFGH ,AB / 平面 EFGH .又 AB?平面 ABCD,平面 ABCD n平面 EFGH = GH ,AB / GH .10 .如圖，正方體 ABCD AiBiCiDi中，AB = 2,點E為AD的中點，點F在CD上.若EF/平面ABiC,則線段EF的長度等于D F C出囪答案 ,2解析 因為直線EF/平面ABiC, EF裝平面ABCD,且平面ABiCA平面ABCD = AC,所以1EF/AC.又因為E是AD的中點，所以F是CD的中點，由中位線定理可得 EF = 2錯誤! 未找到引用源。AC.又因為在正方體 ABCD A

18、iBiCiDi中，AB=2,所以AC=2/2,所以 EF = W錯誤！未找到引用源。.11 .在正方體ABCDAiBiCiDi中，E是DDi的中點，則BDi與平面ACE的位置關系為 . 答案平行解析 如圖所示，連接 BD與AC交于。點，連接OE,則OE/BDi, 而OE?平面 ACE, BD1？平面 ACE,所以BD/平面 ACE.二、解答題12 .如圖，四邊形 ABCD是平行四邊形，點 P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點 G,過 G和AP作平面交平面 BDM 于GH .求證：PA / GH.證明：如圖，連接AC交BD于點O,連接MO,四邊形ABCD是平行四邊形， 。是AC的中點.又M是PC的中點，AP/OM.又 AP?平面 BDM , AP / 平面 BDM .平面 PAHGA平面 BDM = GH, . . PA/ GH.i3.如圖所示，四棱錐PABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側棱長均為2折.點G, E,