1、旋轉(zhuǎn) 軸對稱1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別是A（0，2）和C（，0），點(diǎn)D是對角線AC上一動點(diǎn)（不與A，C重合），連結(jié)BD，作DEDB，交x軸于點(diǎn)E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；（2）是否存在這樣的點(diǎn)D，使得DEC是等腰三角形？若存在，請求出AD的長度；若不存在，請說明理由；（3）求證：=；設(shè)AD=x，矩形BDEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（可利用的結(jié)論），并求出y的最小值2如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，交y 軸于點(diǎn)C：（1）求拋物線的解析式（用一般式表示）（2）點(diǎn)為軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使，若存在請直接

2、給出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在請說明理由（3）將直線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，與拋物線交于另一點(diǎn)，求的長 3. 已知，在中，是邊上的一個動點(diǎn)，將沿所在直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處. （1）如圖1，若點(diǎn)是中點(diǎn)，連接 . 寫出的長；求證：四邊形是平行四邊形.（2）如圖2，若，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，求的長.4如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中C（0，3），BAC的平分線AE交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D的直線l與射線AC，AB分別交于點(diǎn)M，N（1）直接寫出a的值、點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸；（2）點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，若PAD為等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）證明：當(dāng)直線l繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時，均為定值，

3、并求出該定值5.平面內(nèi)，如圖，在中，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段(1)當(dāng)時，求的大小；(2)當(dāng)時，求點(diǎn)與點(diǎn)間的距離(結(jié)果保留根號)；(3)若點(diǎn)恰好落在的邊所在的直線上，直接寫出旋轉(zhuǎn)到所掃過的面積(結(jié)果保留)6. 如圖1，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).（1）觀察猜想圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；（2）探究證明把繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請直接寫出面積的最大值.7在現(xiàn)實(shí)生活中，我們會看到許多“標(biāo)準(zhǔn)”的矩形，如我們的課本封面、的打印紙等，其實(shí)這些矩形的長與寬之比都為，我

4、們不妨就把這樣的矩形成為“標(biāo)準(zhǔn)矩形”在“標(biāo)準(zhǔn)矩形”中，為邊上一定點(diǎn)，且，如圖所示（1）如圖，求證：；（2）如圖，點(diǎn)在上，且，若為邊上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求的值；（3）如圖，已知，在（2）的條件下，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，、分別為線段與上的動點(diǎn)，且始終保持，請證明：的面積為定值，并求出這個定值8已知O為直線MN上一點(diǎn)，OPMN，在等腰RtABO中，BAO=90°，ACOP交OM于C，D為OB的中點(diǎn)，DEDC交MN于E（1）如圖1，若點(diǎn)B在OP上，則ACOE（填“”，“=”或“”）；線段CA、CO、CD滿足的等量關(guān)系式是；（2）將圖1中的等腰RtABO繞O點(diǎn)順時針旋

5、轉(zhuǎn)（0°45°），如圖2，那么（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由；（3）將圖1中的等腰RtABO繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)（45°90°），請你在圖3中畫出圖形，并直接寫出線段CA、CO、CD滿足的等量關(guān)系式 9如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的邊AD在x軸上，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，直線BCAD，且BC=3，OD=2，將經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的直線l：y=2x10向右平移，平移后的直線與x軸交于點(diǎn)E，與直線BC交于點(diǎn)F，設(shè)AE的長為t（t0）（1）四邊形ABCD的面積為 ；（2）設(shè)四邊形ABCD被直線l掃過的面積（陰影部分）為S，請直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)解析式；（

6、3）當(dāng)t=2時，直線EF上有一動點(diǎn)，作PM直線BC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，將PMF沿直線EF折疊得到PTF，探究：是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)T恰好落在坐標(biāo)軸上？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由10如圖，在中，是中線，.一個以點(diǎn)為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與的延長線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn).（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中：探究三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；若，求的長.11問題背景：已知EDF的頂點(diǎn)D在ABC的邊AB所在直線上（不與A，B重合），DE交AC所在直線于點(diǎn)M，DF交BC所在直線于點(diǎn)N，記ADM的面積為S1，BND

7、的面積為S2（1）初步嘗試：如圖，當(dāng)ABC是等邊三角形，AB=6，EDF=A，且DEBC，AD=2時，則S1S2=12；（2）類比探究：在（1）的條件下，先將點(diǎn)D沿AB平移，使AD=4，再將EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至如圖所示位置，求S1S2的值；（3）延伸拓展：當(dāng)ABC是等腰三角形時，設(shè)B=A=EDF=（）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動時，設(shè)AD=a，BD=b，求S1S2的表達(dá)式（結(jié)果用a，b和的三角函數(shù)表示）（）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上運(yùn)動時，設(shè)AD=a，BD=b，直接寫出S1S2的表達(dá)式，不必寫出解答過程12折紙的思考.【操作體驗(yàn)】用一張矩形紙片折等邊三角形.第一步，對折矩形紙片（圖），使與重合

8、，得到折痕，把紙片展平（圖）.第二步，如圖，再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上的處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)，得到折痕，折出，得到.（1）說明是等邊三角形.【數(shù)學(xué)思考】（2）如圖.小明畫出了圖的矩形和等邊三角形.他發(fā)現(xiàn)，在矩形中把經(jīng)過圖形變化，可以得到圖中的更大的等邊三角形.請描述圖形變化的過程.（3）已知矩形一邊長為3，另一邊長為.對于每一個確定的的值，在矩形中都能畫出最大的等邊三角形.請畫出不同情形的示意圖，并寫出對應(yīng)的的取值范圍.（4）用一張正方形鐵片剪一個直角邊長分別為4和1的直角三角形鐵片，所需正方形鐵片的邊長的最小值為 .13如圖，在矩形紙片中，已知，點(diǎn)在邊上移動，連接，將多邊形沿直線折疊，得到多邊

9、形，點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、（1）當(dāng)恰好經(jīng)過點(diǎn)時（如圖1），求線段的長；（2）若分別交邊、于點(diǎn)、，且（如圖2），求的面積；（3）在點(diǎn)從點(diǎn)移動到點(diǎn)的過程中，求點(diǎn)運(yùn)動的路徑長14如圖，將邊長為的正三角形紙片按如下順序進(jìn)行兩次折疊，展開后，得折痕（如圖），點(diǎn)為其交點(diǎn).（1）探求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖，若分別為上的動點(diǎn).當(dāng)?shù)拈L度取得最小值時，求的長度；如圖，若點(diǎn)在線段上，則的最小值= .15我們定義：如圖1，在ABC看，把AB點(diǎn)繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)（0°180°）得到AB'，把AC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到AC'，連接B'C'當(dāng)+=180°

10、;時，我們稱A'B'C'是ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”特例感知：（1）在圖2，圖3中，AB'C'是ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD是ABC的“旋補(bǔ)中線”如圖2，當(dāng)ABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD= BC；如圖3，當(dāng)BAC=90°，BC=8時，則AD長為 猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明拓展應(yīng)用（3）如圖4，在四邊形ABCD，C=90°，D=150°，BC=

11、12，CD=2，DA=6在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)P，使PDC是PAB的“旋補(bǔ)三角形”？若存在，給予證明，并求PAB的“旋補(bǔ)中線”長；若不存在，說明理由【答案】（1）4（2）AD=BC（3）存在165.如圖，在矩形中，將矩形繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，得到矩形，與交于點(diǎn)，的延長線與交于點(diǎn).（1）如圖，當(dāng)時，連接，求和的長；（2）如圖，當(dāng)矩形的頂點(diǎn)落在的延長線上時，求的長；（3）如圖，當(dāng)時，連接，求的值.17和分別是以為直角邊的等腰直角三角形，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)（1）當(dāng)時如圖1，連接，直接寫出與的大小關(guān)系；（2）將繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)是銳角時如圖2，（1）中的結(jié)論是否成立?若成立，請給出證明；若不成立，請

12、加以說明（3）仍將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)為鈍角時，延長交于點(diǎn)，使為等邊三角形如圖3，求的度數(shù)18.如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ.過點(diǎn)E作EFAB交PQ于F，連接BF,(1)求證：四邊形BFEP為菱形；（2）當(dāng)E在AD邊上移動時，折痕的端點(diǎn)P，Q也隨著移動.當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時，（如圖2），求菱形BFEP的邊長；如限定P，Q分別在BA，BC上移動，求出點(diǎn)E在邊AD上移動的最大距離.19邊長為6的等邊中，點(diǎn)、分別在、邊上, , .  （l）如圖1，將沿射線方向平移，得到，邊與的交點(diǎn)為,邊與的角平分線交于點(diǎn).

13、當(dāng)多大時，四邊形為菱形?并說明理由.  （2）如圖2，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（），得到,連接、，邊的中點(diǎn)為.  在旋轉(zhuǎn)過程中，和有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由. 連接,當(dāng)最大時，求的值.（結(jié)果保留根號） 20【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，ABC為等邊三角形，現(xiàn)將三角板中的60°角與ACB重合，再將三角板繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于0°且小于30°），旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D，在三角板斜邊上取一點(diǎn)F，使CF=CD，線段AB上取點(diǎn)E，使DCE=30°，連接AF，EF求EAF的度數(shù)；DE與EF相等嗎？請說明理由；【類比探究】（2）如圖2，A

14、BC為等腰直角三角形，ACB=90°，先將三角板的90°角與ACB重合，再將三角板繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于0°且小于45°），旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D，在三角板另一直角邊上取一點(diǎn)F，使CF=CD，線段AB上取點(diǎn)E，使DCE=45°，連接AF，EF，請直接寫出探究結(jié)果：求EAF的度數(shù)；線段AE，ED，DB之間的數(shù)量關(guān)系2115或的三角形就是（3，4，5）型三角形用矩形紙片按下面的操作方法可以折出這種類型的三角形實(shí)踐操作 如圖1，在矩形紙片中，第一步：如圖2，將圖1中的矩形紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為，再沿折

15、疊，然后把紙片展平第二步：如圖3，將圖2中的矩形紙片再次折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，然后展平，隱去第三步：如圖4，將圖3中的矩形紙片沿折疊，得到，再沿折疊，折痕為，與折痕交于點(diǎn)，然后展平問題解決（1）請?jiān)趫D2中證明四邊形是正方形（2）請?jiān)趫D4中判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明（3）請?jiān)趫D4中證明是（3，4，5）型三角形探索發(fā)現(xiàn)（4）在不添加字母的情況下，圖4中還有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？請找出并直接寫出它們的名稱22如圖1，已知二次函數(shù)（，為常數(shù)，）的圖象過點(diǎn)和點(diǎn)，函數(shù)圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，直線的解析式為（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）直線沿軸向右平移，得直線，與線段相交于點(diǎn)，與軸下方

16、的拋物線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，把沿直線折疊，當(dāng)點(diǎn)恰好落在拋物線上點(diǎn)時（圖2），求直線的解析式；（3）在（2）的條件下，與軸交于點(diǎn)，把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到為上的動點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時，求符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)23如圖1，在平面直角坐標(biāo)系，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，）（1）求BAO的度數(shù)；（2）如圖1，將AOB繞點(diǎn)O順時針得AOB，當(dāng)A恰好落在AB邊上時，設(shè)ABO的面積為S1，BAO的面積為S2，S1與S2有何關(guān)系？為什么？（3）若將AOB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，S1與S2的關(guān)系發(fā)生變化了嗎？證明你的判斷24如圖1，將紙片沿中位線折疊，使點(diǎn)的對稱點(diǎn)落在邊上，再將紙片分別沿等腰

17、和等腰的底邊上的高線，折疊，折疊后的三個三角形拼合形成一個矩形，類似地，對多邊形進(jìn)行折疊，若翻折后的圖形恰能拼成一個無縫隙、無重疊的矩形，這樣的矩形稱為疊合矩形(1)將紙片按圖2的方式折疊成一個疊合矩形，則操作形成的折痕分別是線段_，_；_.(2)紙片還可以按圖3的方式折疊成一個疊合矩形，若，求的長(3)如圖4，四邊形紙片滿足小明把該紙片折疊，得到疊合正方形請你幫助畫出疊合正方形的示意圖，并求出的長25如圖1，已知軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在第四象限，點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn)（1）若點(diǎn)在邊上，求點(diǎn)的坐標(biāo)（2）若點(diǎn)在邊上，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)落在直線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)（3）若點(diǎn)在邊上，點(diǎn)是與軸的交點(diǎn)，

18、如圖2，過點(diǎn)作軸的平行線，過點(diǎn)作軸的平行線，它們相交于點(diǎn)，將沿直線翻折，當(dāng)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時，求點(diǎn)的坐標(biāo)（直接寫出答案）26已知ABC是等腰三角形，AB=AC（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)DEBC時，有DBEC（填“”，“”或“=”）（2）發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)（0°180°）到圖2位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由（3）拓展運(yùn)用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的度數(shù)2728如圖，ABC和ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，BAC=DAE

19、=，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn).（1）求證：BD=CE；（4分）（2）若AB=2，AD=1，把ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)EAC=時，求PB的長；（6分）直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段PB長的最小值與最大值.（4分）29（本小題滿分 10 分）如圖 1，二次函數(shù) 的圖像過點(diǎn) A （3，0）， B （0， 4）兩點(diǎn)，動點(diǎn) P 從 A 出發(fā)，在線段 AB 上沿 A B 的方向以每秒 2 個單位長度的速度運(yùn)動，過點(diǎn)P作 PD y 于點(diǎn) D ，交拋物線于點(diǎn) C . 設(shè)運(yùn)動時間為 t （秒）.（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接 BC ，當(dāng)t56=時，求BCP 的面積；（3）如圖 2，動點(diǎn) P 從 A 出發(fā)時，動點(diǎn) Q

20、 同時從 O 出發(fā)，在線段 OA 上沿 OA 的方向以 1個單位長度的速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn) P 與 B 重合時， P 、 Q 兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，連接 DQ 、 PQ ，將DPQ沿直線 PC 折疊到 DPE . 在運(yùn)動過程中，設(shè) DPE 和 OAB重合部分的面積為 S ，直接寫出 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式及 t 的取值范圍.3031如圖1，在正方形ABCD內(nèi)作EAF=45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，過點(diǎn)A作AHEF，垂足為H（1）如圖2，將ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到ABG求證：AGEAFE；若BE=2，DF=3，求AH的長（2）如圖3，連接BD交AE于點(diǎn)

21、M，交AF于點(diǎn)N請?zhí)骄坎⒉孪耄壕€段BM，MN，ND之間有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由32若兩條拋物線的頂點(diǎn)相同，則稱它們?yōu)椤坝押脪佄锞€”，拋物線C1：y1=2x2+4x+2與C2：u2=x2+mx+n為“友好拋物線”（1）求拋物線C2的解析式（2）點(diǎn)A是拋物線C2上在第一象限的動點(diǎn)，過A作AQx軸，Q為垂足，求AQ+OQ的最大值（3）設(shè)拋物線C2的頂點(diǎn)為C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，4），問在C2的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使線段MB繞點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MB，且點(diǎn)B恰好落在拋物線C2上？若存在求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，不存在說明理由33已知：點(diǎn)P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)

22、不與點(diǎn)A、C重合），分別過點(diǎn)A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時如圖1，易證OE=OF（不需證明）.（2）直線BP繞點(diǎn)B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OFE=30°時，如圖2、圖3的位置，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你對圖2、圖3的猜想，并選擇一種情況給予證明. 34（本小題滿分9分）在中，.（1）如圖1，若點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，求證：；（2）如圖2，在（1）的條件下，若，求證：；圖2圖1圖3第24題圖（3）如圖3，若，點(diǎn)在的延長線上，則等式還能成立嗎？請說明理由.35愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時，發(fā)現(xiàn)

23、了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是ABC的中線，ANBN于點(diǎn)P，像ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”設(shè)BC=a，AC=b，AB=c【特例探究】（1）如圖1，當(dāng)tanPAB=1，c=4時，a=，b=；如圖2，當(dāng)PAB=30°，c=2時，a=，b=；【歸納證明】（2）請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結(jié)論【拓展證明】（3）如圖4，ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BECE于E，AF與B

24、E相交點(diǎn)G，AD=3，AB=3，求AF的長3637如圖，在ABC中，ACB=90°，B=30°，AC=1，D為AB的中點(diǎn)，EF為ACD 的中位線，四邊形EFGH為ACD的內(nèi)接矩形（矩形的四個頂點(diǎn)均在ACD的邊上）（1）計算矩形EFGH的面積；（2）將矩形EFGH沿AB向右平移，F(xiàn)落在BC上時停止移動在平移過程中，當(dāng)矩形與CBD重疊部分的面積為時，求矩形平移的距離；（3）如圖，將（2）中矩形平移停止時所得的矩形記為矩形，將矩形繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)落在CD上時停止轉(zhuǎn)動，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為矩形，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，求的值 圖圖（備用）圖381新知學(xué)習(xí)若把將一個平面圖形分為面積相等的兩個

25、部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，其“面線”被該平面圖形截得的線段叫做該平面圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是圓的“面徑”）2解決問題已知等邊三角形ABC的邊長為2（1）如圖一，若ADBC，垂足為D，試說明AD是ABC的一條面徑，并求AD的長；（2）如圖二，若MEBC，且ME是ABC的一條面徑，求面徑ME的長；（3）如圖三，已知D為BC的中點(diǎn)，連接AD，M為AB上的一點(diǎn)（0AM1），E是DC上的一點(diǎn)，連接ME，ME與AD交于點(diǎn)O，且SMOA=SDOE求證：ME是ABC的面徑；連接AE，求證：MDAE；（4）請你猜測等邊三角形ABC的面徑長l的取值范圍（直接寫出結(jié)果）39已知正方形ABCD的邊長

26、為4，一個以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點(diǎn)E、F，連接EF。設(shè)CE=a，CF=b。（1）如圖1，當(dāng)EAF被對角線AC平分時，求a、b的值；（2）當(dāng)AEF是直角三角形時，求a、b的值；（3）如圖3，探索EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關(guān)系式，并說明理由。40【圖形定義】 如圖，將正n邊形繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°后，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形有另一交點(diǎn)O,連接AO，我們稱AO為“疊弦”；再將“疊弦”AO所在的直線繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，交旋轉(zhuǎn)前的圖形于點(diǎn)P,連接PO,我們稱OAB為“疊弦角”，AOP為“疊弦三角形”. 【探究證明】

27、(1)請?jiān)趫D1和圖2中選擇其中一個證明：“疊弦三角形”(即AOP)是等邊三角形； (2)如圖2，求證：OAB=OAE. 【歸納猜想】 (3)圖1、圖2中“疊弦角”的度數(shù)分別為 ， ； (4)圖n中，“疊弦三角形” 等邊三角形（填“是”或“不是”）； (5)圖n中，“疊弦角”的度數(shù)為 （用含n的式子表示）.41如圖，ABC與CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，連接AE、BD（1）猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，請直接寫出結(jié)論；（2）現(xiàn)將圖中的CDE繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，得到圖，AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H請判斷（1）

28、中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）若圖中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=AC，CD=CE，如圖，寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明 圖圖圖第25題圖4243在ABC中，AB=6，AC=BC=5，將ABC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到ADE，旋轉(zhuǎn)角為（0°180°），點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，連接BD，BE（1）如圖，當(dāng)=60°時，延長BE交AD于點(diǎn)F求證：ABD是等邊三角形；求證：BFAD，AF=DF；請直接寫出BE的長；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，過點(diǎn)D作DG垂直于直線AB，垂足為點(diǎn)G，連接CE，當(dāng)DAG=ACB，且線段

29、DG與線段AE無公共點(diǎn)時，請直接寫出BE+CE的值溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補(bǔ)充圖形，以便作答4445如圖，已知一個直角三角形紙片ACB，其中ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分別是AC、AB邊上點(diǎn)，連接EF（1）圖，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，且使S四邊形ECBF=3SEDF，求AE的長；（2）如圖，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處，且使MFCA試判斷四邊形AEMF的形狀，并證明你的結(jié)論；求EF的長；（3）如圖，若FE的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)N，CN=1，CE=，求的值46我們給出如下定義：順

30、次連接任意一個四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形（1）如圖1，四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=PB，PC=PD，APB=CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；（3）若改變（2）中的條件，使APB=CPD=90°，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀（不必證明）47如圖1，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)B、C分別在邊A

31、D、AF上，此時BD=CF，BDCF成立（1）當(dāng)ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)（0°90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；（2）當(dāng)ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，如圖3，延長BD交CF于點(diǎn)H求證：BDCF；當(dāng)AB=2，AD=3時，求線段DH的長48在學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)知識后，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們又進(jìn)一步對圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了探究（一）嘗試探究如圖1，在四邊形ABCD中，ABAD，BAD60°，ABCADC90°，點(diǎn)E、F分別在線段BC、CD上，EAF30°，連接EF（1）如圖2，將AB

32、E繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到ABE（AB與AD重合），請直接寫出EAF_度，線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系為_；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段BC、CD的延長線上時，其他條件不變，請?zhí)骄烤€段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（二）拓展延伸如圖4，在等邊ABC中，E、F是邊BC上的兩點(diǎn)，EAF30°，BE1，將ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到ABE（AB與AC重合），連接EE，AF與EE交于點(diǎn)N，過點(diǎn)A作AMBC于點(diǎn)M，連接MN，求線段MN的長度第27題圖2第27題圖1第27題圖3第27題圖449如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、A

33、B上的點(diǎn)，且CE=BF.連接DE，過點(diǎn)E作EGDE，使EG=DE.連接FG，F(xiàn)C.（1）請判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；（2）如圖2，若點(diǎn)E、F分別是CB、BA延長線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請出判斷并予以證明；（3）如圖3，若點(diǎn)E、F分別是BC、AB延長線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷.50）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C，D重合），AM，AN分別交BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且MAN始終保持45°不變（1）求證：=；（2）求證：AFFM；（3）請?zhí)剿鳎涸贛AN的

34、旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)BAM等于多少度時，F(xiàn)MN=BAM？寫出你的探索結(jié)論，并加以證明51問題情境在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動，如圖1，將一張菱形紙片ABCD（）沿對角線AC剪開，得到和操作發(fā)現(xiàn)（1）將圖1中的以A為旋轉(zhuǎn)中心， 逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，使 ， 得到如圖2所示的，分別延長BC 和交于點(diǎn)E，則四邊形的 狀是 ；（2分）（2）創(chuàng)新小組將圖1中的以A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，使，得到如圖3所示的，連接DB，得到四邊形，發(fā)現(xiàn)它是矩形請你證明這個論； 實(shí)踐探究（3）縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，量得圖3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一個問題

35、：將沿著射線DB方向平移acm，得到，連接，使四邊形恰好為正方形，求a的值請你解答此問題；（4）請你參照以上操作，將圖1中的在同一平面內(nèi)進(jìn)行一次平移，得到，在圖4中畫出平移后構(gòu)造出的新圖形，標(biāo)明字母，說明平移及構(gòu)圖方法，寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，不必證明52（1）如圖，已知ABC ，請畫出ABC關(guān)于直線AC對稱的三角形。問題探究（2）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在邊BC、CD上分別存在點(diǎn)G、H，使得四邊形EFGH的周長最小？若存在，請說明理由。問題解決 (3)如圖，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，現(xiàn)想從板材中裁出一個面積盡可能大的四邊形EFGH部件

36、，使EFG=900 ， EF=FG=米, EHG=450.經(jīng)研究，只有當(dāng)點(diǎn)E、F、G分別在邊AD、AB、BC上，且AF<BF。并滿足點(diǎn)H在矩形ABCD內(nèi)部或邊上時，才可能裁出符合要求的部件，試問能否裁出符合要求且面積盡可能大的四邊形EFGH部件？若能，求出裁得的四邊形EFGH部件的面積；若不能，請說明理由。53如圖，面積為6的平行四邊形紙片ABCD中，AB3，BAD45°,按下列步驟進(jìn)行裁剪和拼圖.第一步：如圖，將平行四邊形紙片沿對角線BD剪開，得到ABD和BCD紙片，再將ABD紙片沿AE剪開（E為BD上任意一點(diǎn)），得到ABE和ADE紙片；第二步：如圖，將ABE紙片平移至DCF

37、處，將ADE紙片平移至BCG處；第三步：如圖，將DCF紙片翻轉(zhuǎn)過來使其背面朝上置于PQM處（邊PQ與DC重合，PQM與DCF在CD同側(cè)），將BCG紙片翻轉(zhuǎn)過來使其背面朝上置于PRN處（邊PR與BC重合，PRN與BCG在BC同側(cè)）。則由紙片拼成的五邊形PMQRN中，對角線MN長度的最小值為_.54如圖，ABC中，ABC45°，AHBC于點(diǎn)H，點(diǎn)D在AH上，且DHCH，連接BD.(1)求證：BD=AC；(2)將BHD繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)，得到EHF（點(diǎn)B，D分別與點(diǎn)E，F(xiàn)對應(yīng)），連接AE.）如圖，當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時（F不與C重合），若BC4，tanC=3,求AE的長；）如圖，當(dāng)EHF是由BHD繞點(diǎn)H逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到時，設(shè)射線CF與AE相交于點(diǎn)G，連接GH，試探究線段GH與EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由。55如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且OC=OB（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動點(diǎn)，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，若線段PA繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A的對