1、第第2章章 極限與延續極限與延續一、數列概念一、數列概念數列可看作自變量為正整數的函數數列可看作自變量為正整數的函數(下標函數下標函數)( )nyuf n2.1 數列的極限數列的極限2.特性特性:1)有界性有界性:2)單調性單調性:1.定義定義:按正整數編號依次陳列的一列數按正整數編號依次陳列的一列數12,nu uu稱為無窮數列稱為無窮數列,簡稱數列簡稱數列,記為記為un.其中的每個數其中的每個數稱為數列的項稱為數列的項, un稱為通項稱為通項(普通項普通項).nuM 12nuuu 稱此數列單調添加稱此數列單調添加 12nuuu 稱此數列單調減少稱此數列單調減少 “割之彌細，所失彌少，割之又割

2、，以致于不可割，那么與圓周合體而無所失矣1.早期極限思想的表達早期極限思想的表達放映放映1二、數列極限概念二、數列極限概念當自變量當自變量n趨于無窮大時，數列趨于無窮大時，數列yf (n)的變化趨的變化趨勢勢?yn(1)劉徽的割圓術劉徽的割圓術:極限：研討函數在自變量的某個變化過程中，函極限：研討函數在自變量的某個變化過程中，函數值無限趨近于某個常數的性質。數值無限趨近于某個常數的性質。 對于數列：對于數列：R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS(2) 莊子的截丈問題莊子的截丈問題:1;221;21.2n第

3、一天剩余第一天剩余u1第二天剩余第二天剩余u2第第n天剩余天剩余un12n0 但但0n 時時, un“一尺之棰,日取其半,萬世不竭.1111248161)011812n21102nn 當時，當時，312423452)012132431nn11nnn 當當時時，3)1111 0-11間擺動間擺動與與在在時，時，當當1111nn14 limnnnuaua n 或或4) 3 6 12 24 2.直觀定義：直觀定義：數列數列un, 假設當假設當n無限增大時無限增大時, un無無限趨限趨近于常數近于常數a, 那么稱數列那么稱數列un以以a為極限為極限, 或稱或稱un收收斂于斂于a, 記：記：12nnu

4、1nnnu 11nnu 132nnu 13 2nn ，發散發散無限增大無限增大例例, 否那么稱否那么稱 un發散發散.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數數列列 nnn播放播放對于較簡單的數列的極限對于較簡單的數列的極限, 可經過察看法求得，例可經過察看法求得，例:11151( 1)limlim(2)limln( 1)limlim(1)nnnnnnnnnennnnn 02011lim1nnn 0數列數列極限極限的的嚴厲嚴厲定義定義？1( 1),11.nnnun 當無限增大時無限接近于當無限增大時無限接近于問題問題: “無限接近意味著什么無限接近意味著什么?如何用數學言語刻劃它如何用

5、數學言語刻劃它.1nu nnn11)1(1 ,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n11,100nu 有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n11,10000nu 有有,100001給定給定,10000時時只只要要 n11,1000nu 有有, 0 給給定定,)1(時時只只要要 Nn1.nu 有成立有成立3.“e N定義：定義：例例1. 1)1(lim1 nnnn證證明明證證1)1(1 nnnn1 , 01nu 要要1,n 只只要要,1 N取取1( 1)1nnn 有有1( 1)lim1.nnnn 故故, lim0,dnnnuaNnNua limnnnuaua n

6、 或或設有數列設有數列un, 假設對恣意假設對恣意 , 總總 那么稱那么稱a是數列是數列un的極限，或稱的極限，或稱un收斂于收斂于a，記作記作:0 存在正整數存在正整數N, 使得當使得當nN時，恒有時，恒有nua 成立成立, 否那么稱數列否那么稱數列un發發散。散。那么當那么當nN時時,注注:3.N普通與恣意給定的正數普通與恣意給定的正數e 有關有關,e 越小，越小，N 越大。越大。例例2(),lim.nnnuC CuC 設設為為常常數數證證明明證證nuC CC , 成成立立,0 任任給給0 lim.nnuC 故故闡明闡明:常數列的極限等于同一常數常數列的極限等于同一常數.nua 1.e 具

7、有二重性具有二重性: 恣意性和不變性。在取恣意性和不變性。在取e 時時, 對其大小對其大小不加限制，正由于這種恣意性，才干用不加限制，正由于這種恣意性，才干用 刻劃刻劃un與與a恣意接近。而在根據恣意接近。而在根據e 找找 N 時它是不變的時它是不變的.2. e 刻劃刻劃un與與a接近的程度接近的程度, N刻劃數列作為動點運動到什刻劃數列作為動點運動到什么時辰可使么時辰可使un與與a接近程度小于給定的接近程度小于給定的e .假設把數列看成假設把數列看成函數函數, 那么那么e 、N分別用來刻劃因變量及自變量的變化過分別用來刻劃因變量及自變量的變化過程程.4. N是不獨一的，用定義證明數列極限時是

8、不獨一的，用定義證明數列極限時, 關鍵是對恣意關鍵是對恣意 給定的給定的e 0, 由由 來尋覓來尋覓N, 但不用要求最小的但不用要求最小的N.nua 對于一切正整數對于一切正整數n，例例31lim0.2nn 證明證明證證102n1,2n , 00nu 要要21log,n 只只要要21logN 取取102n 有有1lim0.2nn 故故12n 即即1,n (無妨設無妨設N時時,102n12n 0nu 要要例例3可用放大手法可用放大手法:1,n 只只要要1 N 取取注注:1)“放大是為方便解不等式。留意不能放大是為方便解不等式。留意不能“放過頭放過頭, 上上例例假設將假設將 放大為放大為1，那么，

9、那么1不能夠小于恣意給定的正數。不能夠小于恣意給定的正數。12n2)“放大后找到的放大后找到的N通常比不放大解得通常比不放大解得(假設易解假設易解)的要大的要大x1u2u1Nu 3u 2 a aa2Nu 三、數列極限的幾何意義三、數列極限的幾何意義lim0nnuaN ，則則： ， 正正整整數數 ，使得數列從使得數列從(,)aaa 的的 鄰鄰域域內內，第第N+1項起，以后一切項項起，以后一切項uN 1, uN2 ,都都落在落在至多只需至多只需N項落在該項落在該鄰域之外。鄰域之外。lim0,dnnnuaNnN ua naua 1.獨一性獨一性定理定理 每個收斂的數列只需一個極限每個收斂的數列只需一

10、個極限. .證證lim,lim,nnnnuaub 設設又又由定義由定義,120,NN 、使得、使得1;nnNua 當當時時恒恒有有2;nnNub 當當時時恒恒有有 ,max21NNN 取取時時有有則則當當Nn ()()nnabubuannubua.2 .時時才才能能成成立立上上式式僅僅當當ba 故收斂數列極限獨一故收斂數列極限獨一.四、數列極限的性質四、數列極限的性質limnab或或:即即: a=b證證lim,nnua 設設由定義由定義, 1 取取,1,nNnNua 則則使使得得當當時時恒恒有有11.naua即有即有1max,1 ,1,NMuuaa記記 .nu故有界故有界留意：有界性是數列收斂

11、的必要條件留意：有界性是數列收斂的必要條件.推論推論( (逆否命題逆否命題) ) 無界數列必定發散無界數列必定發散. .定理定理 收斂的數列必定有界收斂的數列必定有界. .lim,nnua 設設lim0,dnnnuaNnN ua naua 取取1，那么，那么nN時時un有有界界那么對一切正整數那么對一切正整數n, 皆皆有有nuM 2.有界性有界性五五.小結小結數列數列: :研討其變化規律研討其變化規律; ;數列極限數列極限: :極限思想極限思想, ,準確定義準確定義, , 幾何意義幾何意義; ;收斂數列的性質收斂數列的性質: :獨一性、有界性獨一性、有界性. .思索題：思索題：1.試判別以下結

12、論能否正確試判別以下結論能否正確1)假設假設n越大越大, |un-a|越接近于零越接近于零, 那么有那么有 limnnua 3)假設對假設對 存在正整數存在正整數N, 當當nN時時, 數列數列un中有無窮多項滿足不等式中有無窮多項滿足不等式 , 那么有那么有 , 0nua limnnua 2)假設假設 , 那么那么n越大，越大， 越接近越接近于零于零 nua limnnua 反例：反例：1( 1)n n越大越大, 越接近于零越接近于零, 但但1lim0nn 反例：反例：limnCC 反例：反例：210ku或：或：1( 1)lim0nnn 210ku 而而( 1) ,nnu 但但 不存在不存在l

13、im( 1)nn -14)假設對假設對 數列數列un中除了有限項外都滿足中除了有限項外都滿足不等式不等式 , 那么有那么有 , 0nua limnnua 3.從幾何直觀層次思索：假設數列為單調添加從幾何直觀層次思索：假設數列為單調添加(減減少少)且有上界且有上界(下界下界)的數列，此數列的斂散性如何？的數列，此數列的斂散性如何？ 定義：從數列定義：從數列un中用恣意一種方式選取無窮多項并按原中用恣意一種方式選取無窮多項并按原來的相對次序陳列，所得數列稱為數列來的相對次序陳列，所得數列稱為數列un的一個子列。的一個子列。2.假設數列假設數列un收斂，它的子列將會出現什么情況？收斂，它的子列將會出

14、現什么情況？收斂于上收斂于上(下下)確界確界最小最小(大大)的上的上(下下)界界.收斂于同一個常數收斂于同一個常數.作業：P33：2-3 (3)(4)思索思索 2-4一、一、x 時函數時函數f (x)的極限的極限2.2 函數的極限函數的極限例例f (x) 無限增大時，無限增大時， f (x)01xx,當,當1.直觀定義：直觀定義： lim()()xfxAfxAx 或或函數函數f (x), 假設當假設當 無限增大時無限增大時, f (x)無無限趨近于常數限趨近于常數A, 那么稱那么稱f (x)當當x趨于無窮大時以趨于無窮大時以A為極限為極限, 記：記：x數列極限：自變量取自然數離散地趨于正無窮大

15、數列極限：自變量取自然數離散地趨于正無窮大;普通的函數極限：自變量延續取值普通的函數極限：自變量延續取值, 因此能夠趨于因此能夠趨于正無窮、負無窮，或從左、右兩側趨于某一定點正無窮、負無窮，或從左、右兩側趨于某一定點.2.“e X定義定義(P32):0, 0,X ,( )xX f xA lim ( )xf xA d0, ,N ,nnN ua limdnnualim( )0,0,( )xf xAXxXf xA x0時時:x X, xx0時時:xX 或或x X 或或x X1|,x 即即例例1 證明證明22lim11xxx 211x 21,x X 時時,例例2 證明證明sinlim0 xxx 1,x

16、 , 0sin0 xx 要要1,x 只要只要證證二、二、xx0時，函數時，函數f (x)的極限的極限 例例:f(x)x+2, x2時時, f (x)24( )2xf xx x2時時, f (x)44, x2時時, f (x)x+21.直觀定義：直觀定義： 00lim()()xxfxAfxA xx 或或函數函數f (x)在點在點x0的某空心鄰域內有定的某空心鄰域內有定義義,假設當假設當x無限接近于無限接近于x0(但不等于但不等于x0)時時, f (x)無限趨近無限趨近于常數于常數A, 那么稱那么稱f (x)當當x趨于趨于x0時以時以A為極限為極限, 記：記：2.“e d 定義定義(P33):0,

17、0, 0|xx0|, | f (x)A|0，由，由| f (x)A| e找到找到0|xx0| d中的中的d.3)f (x)在在x0的極限研討的極限研討f (x)在在x0附近的變化趨勢附近的變化趨勢,與與x0點的定義無關，故有關問題討論均假定點的定義無關，故有關問題討論均假定xx0 .2|24| |2|xxx 例例3 證明證明224lim42xxx , 02442xx 要要證證只需只需0 |x-2| e , 0時時, 00 xx要要只需只需 e,取取 0 xx 有有證證00 xxxx 00 xxx 0 x 00,xxx 那么當那么當0|xx0| 0|xx0| 時時, ,00limxxxx Ox0

18、 x 0min, x？0?x 3.幾何意義幾何意義:恣意給定正數恣意給定正數e,無論它多小無論它多小, 總總存在存在x0的去心鄰的去心鄰域域0|x-xo| d,使使得得y=f(x)在該去在該去 心鄰域內的圖心鄰域內的圖 形介于兩條平形介于兩條平 行線行線y=A-e和和y=A+e之間之間. (部分有界性部分有界性)0,0, 0|xx0| d, |f (x)A| e0,0, 0|xx0| d, | f (x)A|e0 xx0 d , | f (x)A|e0lim( )xxf xAd0lim( )xxf xA 0,0, d0 x0 x d , | f (x)A|e0lim( )xxf xA 0,0,

19、 d或或 x0 x x0+ d或或 x0 d x x0右極限右極限左極限左極限4.單側極限單側極限000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xAf xf xA 106( )00010 xxf xxxxx ，例例考考察察，當當的的極極限限是是否否存存在在？，xy0110lim( )xf x 0lim( )xf x不不存存在在。0lim( )xf x 解：解：0lim(1)xx1, 0lim1xx1,2sin,0(),012,1.xxfxxxx 例例7試討論當試討論當x0及及x1時，函數時，函數f(x)的極限的極限能否存在。能否存在。前述七種方式的極限：前述七種方式的極限：其本質都

20、是研討在自變量的某個變化過程中其本質都是研討在自變量的某個變化過程中, 函數函數值的變化趨勢值的變化趨勢: f(x)A, 抓住這一本質抓住這一本質, 將它們一將它們一致表示為：致表示為：三、變量的極限三、變量的極限 變量的極限變量的極限lim f(x) A 或或 f(x) Alim,nnuA lim ( ),xf xA lim( ),xf xA lim( ),xf xA 0lim(),xxfxA 0lim(),xxfxA 0lim().xxfxA 0|xx0|0,nN正整數正整數N,limnnu時時,|un-A| e =A 0, 0,lim( )xf x時時,| f(x) -A|XX0, x0

21、,x X 0, 0,時時,| f(x) -A|e =A 0, 0,lim( )xf x時時,| f(x) -A|e =A 0, 0,lim( )xf x | f(x) -A|e =A 0, 0,0lim( )xxf x0 x0 x 時時, 0, 0,| f(x) -A|e =A 0, 0,0lim( )xxf x 0 xx0時時, 0, 0,| f(x) -A|e =A 0, 0,0lim( )xxf x 作業：P38：2-6 2-7 (2)(3)思索：思索：8預習：預習：2.4無窮小與無窮大無窮小與無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大(量量).一、無窮大量一、無

22、窮大量0lim( );lim( ).xxxf xf x 1.定義定義:記作記作:分析定義分析定義:0|xx0|M M 0,M 0,0lim( )dxxf x |x| X 時時,X 0,有有| f(x)| M M 0,M 0,lim( )dxf x 0( )(;( )().f xxxf xx 或或：）2.3 無窮大量與無窮小量無窮大量與無窮小量0,( )MxXf xM 使使f (x)在在X上無界上無界比較比較:3.單說變量是無窮大量是無意義的，要指明單說變量是無窮大量是無意義的，要指明自變量的變化過程。自變量的變化過程。 留意留意1. 無窮大量是變量無窮大量是變量, 不能與很大的數混淆不能與很大

23、的數混淆;4. 無窮大量是無界變量無窮大量是無界變量, 但無界變量未必是但無界變量未必是無窮大量無窮大量.02.lim( )xxf x 切切勿勿將將認認為為極極限限存存在在； 11nnun 當當n是無界變量是無界變量, 但不是無窮大量但不是無窮大量.例例:f(x)xsinx當當x是無界變量是無界變量, 但不是無窮大量但不是無窮大量;xxy1sin1 110,sin,.xyxx 時時是是無無界界變變量量 但但不不是是無無窮窮大大量量00()()lim( )(lim( )xxxxxxf xf x 或或2. 正無窮大、負無窮大正無窮大、負無窮大:注：注： 正正(負負)無窮大不可籠統地寫作無窮大無窮大

24、不可籠統地寫作無窮大;01limxx 2limtanxx 20lim logxx 211lim(1)xx 1limxxe 1lim( )xxe 3lim(1)nn = =例例:11lim1xx 000lim( )()lim( )(),( ).xxxxf xf xxxyf x 注注：如如果果或或則則直直線線是是曲曲線線的的鉛鉛直直漸漸近近線線11 xy圖示：圖示：1.定義定義:極限為零的變量稱為無窮小極限為零的變量稱為無窮小(量量). 記作記作: 二、無窮小量二、無窮小量0lim( )0 ;lim( )0.xxxf xf x分析定義分析定義:0|xx0|時時, 0, 0,有有| f(x) |0,

25、lim( )xf x時時,有有| f(x) |X0( )0() ;( )0().f xxxf xx 或或：例如例如, 0sinlim0 xxsin0.xx函函數數是是當當時時的的無無窮窮小小量量1lim( )0,2xx 1( ).2xx 函數是當時的無窮小量函數是當時的無窮小量, 0)1(lim nnn( 1).nnn 數列是當時的無窮小量數列是當時的無窮小量留意留意1.無窮小量是變量無窮小量是變量, 不能與很小的數混淆不能與很小的數混淆;2.零是可以作為無窮小量的獨一的數；零是可以作為無窮小量的獨一的數；3.單說變量是無窮小量是無意義的，要指明自單說變量是無窮小量是無意義的，要指明自變量的變

26、化過程。變量的變化過程。 ex當當 時是無窮小量時是無窮小量; lnx當當 時是無窮小時是無窮小量量.x- x 12. 變量極限與無窮小量的關系變量極限與無窮小量的關系:證證0lim( ),xxf xA 設設,)()(Axfx 令令0( )( )lim( )0.xxf xAxx則且則且),()(xAxf 設設0lim( )0.xxx 其中其中lim( )( ),f xAf xA lim0 僅對僅對xx0的情形證明。的情形證明。 0,0, 則則|f(x)-A|e,0lim ( )0 xxf xA 0|x-x0|d 時時,0,0, 由由無無窮窮小小定定義義: : |(x)|e0|x-x0|d 時時

27、, 即即|f (x)-A|e,0lim( )xxf xA 21lim2,xxx 例例2112,xxx 1lim0 xx定理定理3. 無窮小的運算性質無窮小的運算性質:(1)有限個無窮小量的代數和仍為無窮小量有限個無窮小量的代數和仍為無窮小量.證證0,0,X 12max,XXX 取取,xX 當當時時 恒恒有有 22留意無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小留意無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小. .lim0lim0 xx 設設，則則lim()0 x要證要證120,X X1時時, 有有|X2時時, 有有| .2 2 111lim()nnnnn 個個例例：0 111lim()lim1nnnnnnnn 個

28、個0lim( )0 xxf x 證證(3)無窮小量與有界變量之積仍為無窮小量無窮小量與有界變量之積仍為無窮小量.證證1010,0,0( ).Mxxf xM 時時有有(2) 有限個無窮小的乘積仍為無窮小量有限個無窮小的乘積仍為無窮小量.01sinlimsin0,lim0,xxxxxx2則則0|xx0| d2時時, |(x)| e. 1M推論推論 常數與無窮小的乘積是無窮小常數與無窮小的乘積是無窮小.12min, 取取則則00,xx 當時 恒有當時 恒有( )f x MM 0lim( ) ( )0 xxf xx 例如例如: :2011limarctan0,lim(1)cos02nxnxnx0lim

29、0 xx 設設，0.A0.0,0, ()A 不妨設 不妨設 2 21010,( )xxf xA ( )Af xA即即( )f xA 2020, 0,xx又又00,( )( )xxf xf x 當當0lim0( )xxf x 12min, 取取則則？2A?22AAA 2A 0結論？結論？思索思索! !4. 無窮小量階的比較無窮小量階的比較例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim022210, sin ,sin,.xx xx xxxx 當當時時都都是是無無窮窮小小極限不同極限不同, ,反映了它們趨近于零的反映了它們趨近于零的“快慢程度不同快慢程度不同. . 203limxxxx 兩個無窮小

30、量的和、差、積仍為無窮小量。商呢兩個無窮小量的和、差、積仍為無窮小量。商呢? ?20limxxx=0=3=1無窮小量的商未必是無窮小量。無窮小量的商未必是無窮小量。 0lim3xx 01limxx 0lim(3)xx(1)lim0,( );o 若若則則稱稱 是是比比 高高階階的的無無窮窮小小量量 記記定義定義: :,0. 設是同一過程中的兩個無窮小量 且設是同一過程中的兩個無窮小量 且1,;C 特特別別地地，則則稱稱 與與 是是等等價價的的無無窮窮小小量量, , 記記(3)0,C 則則稱稱 是是 的的同同階階的的無無窮窮小小量量；(2), 則則稱稱 是是比比 低低階階的的無無窮窮小小量量；例例

31、304tanlimxxxx30,4 tan.xxxx故當時為 的高階無窮小故當時為 的高階無窮小注：常數零是比任何其它無窮小量更高階的無窮小量。注：常數零是比任何其它無窮小量更高階的無窮小量。 30lim 4 tan0 xx (后面我們會利用等價無窮小量簡化某些極限的計算后面我們會利用等價無窮小量簡化某些極限的計算) 定理定理 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大量的倒數為無窮小量無窮大量的倒數為無窮小量; ;恒不為零的無窮小量的倒數為無窮大量恒不為零的無窮小量的倒數為無窮大量. .證證.)(lim0 xfxx設設 1.( )f x 01lim0( )xxf x三、無窮大量與無窮小量之間的關系

32、三、無窮大量與無窮小量之間的關系. 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設設反反之之: 則則1.( )Mf x 故故01lim( )xxf x( )0,f x 而而意義意義: :關于無窮大的討論關于無窮大的討論, , 都可歸結為關于無窮小的討論都可歸結為關于無窮小的討論. .01lim0()xxfx 要要 證證01lim()xxfx 要要 證證1M0, 0, 0M 0,0,0( ),xxf x 時時, ,00,xx ( )1f x 那么即1ln(2)x 當當 時是無窮大量時是無窮大量; 當當 時是無窮小量時是無窮小量.10 x 當當 時是無窮大量時是無窮大量; 當當 時是無窮小量時是無

33、窮小量.x 1或或 x 2xxx +練習練習:無窮大無窮大:ln(2x)為無窮小為無窮小(t)2x 1無窮小無窮小:ln(2x)為無窮大為無窮大(t)2x+x 或或 x 2x 1或或(t)2x0(畫畫lnt的圖形的圖形!)(畫畫lnt的圖形的圖形!)試說出以下極限的數學定義：試說出以下極限的數學定義：1)lim( )xf x 2) lim( )xf x 23) lim( )xf x 0lim( )lim( )xxxf xf x 、證明證明34) lim( )xf x limxxe M 0,M 0, 證明：證明：只需只需x lnM,M ,那么當那么當xX 時時,取取X=lnM(無妨設無妨設M1)

34、,要要e xe x M limxxe 解答解答:2.不能保證不能保證. 例例0,x 1( )0f xx ，1lim0.xx 而而1. 未必例未必例01sinlimxxxx 01limsinxx不存在且不為無窮大不存在且不為無窮大思索題思索題:1. 任何兩個無窮小量都可以比較階的高低嗎？任何兩個無窮小量都可以比較階的高低嗎？故當故當x0時時,無窮小無窮小 與與x不可以比較階的高低不可以比較階的高低1sinxx小 結1. 主要內容主要內容:三個定義三個定義;兩個定理兩個定理;四個性質四個性質;一個推論一個推論.2. 幾點留意幾點留意:無窮小量與無窮大量是相對于過程而言的無窮小量與無窮大量是相對于過

35、程而言的.(1) 無窮小無窮小(大大)量是變量量是變量,不能與很小不能與很小(大大)的數混淆的數混淆, 零是獨一的無窮小的數；零是獨一的無窮小的數；(2) 無窮多個無窮小的代數和無窮多個無窮小的代數和(乘積乘積)未必是無窮小未必是無窮小;(3) 無界變量未必是無窮大量無界變量未必是無窮大量.3.無窮小量的比較無窮小量的比較:反映了同一過程中反映了同一過程中, 兩個無窮小量趨于零的速度快慢兩個無窮小量趨于零的速度快慢.高高(低低)階無窮小階無窮小; 等價無窮小等價無窮小; 無窮小的階無窮小的階.作業：P52：2-14思索：思索：2-13、2-17 (下次課后做在書上下次課后做在書上)絕對值無限增

36、大的變量稱為無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大(量量).分析定義分析定義:0|xx0|M M 0,M 0,0lim( )dxxf x |x| X 時時,X 0,有有| f(x)| M M 0,M 0,lim( )dxf x 0,( )MxXf xM 使使比較比較:f (x)在在X上無界上無界 無窮大量與無窮小量無窮大量與無窮小量 三個定義三個定義;兩個定理兩個定理;四個性質四個性質;一個推論一個推論.定義定義1. 1. 極限為零的變量稱為無窮小極限為零的變量稱為無窮小(量量).定義定義2.2.(4) 無窮小量除以極限不為零的變量，其商仍為無無窮小量除以極限不為零的變量，其商仍為無窮小量窮小量

37、.(3) 有界函數與無窮小的乘積是無窮小有界函數與無窮小的乘積是無窮小.(2) 有限個無窮小的乘積是無窮小有限個無窮小的乘積是無窮小.推論推論 常數與無窮小的乘積是無窮小常數與無窮小的乘積是無窮小.(1) 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的代數和仍是有限個無窮小的代數和仍是無窮小無窮小.定理定理2.2.在同一過程中在同一過程中, , 無窮大量的倒數為無無窮大量的倒數為無窮小量窮小量; ; lim( )( ),f xAf xA lim0 定理定理1.1.lim0,( );o 稱稱 是是比比 高高階階的的無無窮窮小小 記記lim0,C 稱稱 是是 的的同同階階的的無無窮窮小小定義定義3.3.

38、恒不為零的無窮小量的倒數為無窮大量恒不為零的無窮小量的倒數為無窮大量.2.4 極限的性質與運算法那極限的性質與運算法那么么一、極限的性質一、極限的性質1(獨一性獨一性). 假設假設limf(x)存在，那么極限值獨一。存在，那么極限值獨一。2(部分有界性部分有界性). 假假設設存在，存在，0lim()xxfx那么函數那么函數f (x)在在x0的某空心鄰域內的某空心鄰域內有界有界.3(保號性保號性). 假假設設0lim(),xxfxA 且且A0A0那么在那么在x0的某空心鄰域內的某空心鄰域內f (x)0(或或A0)，(或或f (x)00lim()xxfxA A0且且2,0()1 ,0 xxfxx

39、反例反例: :即即lim( ),lim ( ),(1) lim ( )( );(2) lim ( )( );( )(3) lim,0.( )f xAg xBf xg xABf xg xA Bf xABg xB設則設則其中其中二、極限的四那么運算法那么二、極限的四那么運算法那么 在極限存在的條件下，和、差、積、商在極限存在的條件下，和、差、積、商( (分分母不為母不為0)0)的極限等于極限的和、差、積、商的極限等于極限的和、差、積、商. .留意法那么條件留意法那么條件極限存在極限存在; 分母極限不為零分母極限不為零.證：由極限與無窮小量的關系，證：由極限與無窮小量的關系， 再由極限與無窮小量的關

40、系再由極限與無窮小量的關系,法那么法那么(1)、 成立。成立。( ), ( )f xAg xB( )( )()()f xg xAB ( ) ( )()()()f x g xABABAB ( ),0( )()f xAAAABABg xBBBBB B()BAB B 都都用到法那么用到法那么(1)(2)其中其中lim=lim=0, AB，(2)、 (3)是無窮小量是無窮小量2 lim( )lim( )Cf xCf x （）3 lim ( )lim( )nnf xf x （）（）4 lim( )0,f xA（）（）lim ( )lim( )nnf xf x 則則推論推論:0033000lim(0),

41、limxxxxxxxxx ，故推論故推論(3)中的中的n還可推行到分數以致任何實數還可推行到分數以致任何實數.由直觀得由直觀得:5 lim ( )lim( )f xf x （）(1)法那么可推行到有限個函數的和、差、法那么可推行到有限個函數的和、差、積積(“函數極限一節已函數極限一節已證證)三、極限不等式三、極限不等式00lim( ), lim( ),xxxxf xAg xB 假設在假設在x0的某空心鄰域內的某空心鄰域內f (x)g (x)，且，且那么那么AB證：由證：由f (x)g (x)得得f (x)g (x)0，0lim ( )( )xxf xg xAB 又又由極限性質由極限性質4(保號

42、性保號性) AB0即即AB僅對僅對xx0情形表達、證明情形表達、證明, 其它情形有類似結論其它情形有類似結論.注注:與與“保號性類似保號性類似, 即使條件改為即使條件改為“f (x)g (x),結論仍為結論仍為“AB定理定理例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 四、求極限舉例四、求極限舉例小結小結: :則則有有設設,)(. 1110nnnaxaxaxf

43、nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則則有有且且設設, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf 21232 lim54xxxx 例例2154lim023xxxx 解解：原式原式=假設假設Q(x0)=0, 那么那么商的法那么不能運商的法那么不能運用用解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時時x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無窮小先約去

44、不為零的無窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 0()0型型(消去零因子法消去零因子法)22042lim93xxx 222022242lim9393934242xxxxxxx 解解：原原式式= = 2202293lim42xxxxx 2209363lim4242xxx 0()0型型例例4例例5 5.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x() 型型.,3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim14753

45、2limxxxxxxxxxx .72 3243235lim741xxxxx 244235lim417xxxxxx變變:=0=0小結小結: :為為非非負負整整數數時時有有和和當當nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當當當當例例6 63113lim().11xxx 求求22113lim(1)(1)xxxxxx 解：原式=解：原式=21(1)(2)lim(1)(1)xxxxxx = =1=12222()()limxxxxxxxxx解 原式解 原式22lim()xxxxx求求例例7222limxxxxxx 2lim1111xxx

46、 1 10()0型型() 型型(-型型)(-型型)x1+:+(-)x1-:-+(+)例例8 8).21(lim222nnnnn 求求解解222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 無窮多項之和無窮多項之和, 不可用法那么不可用法那么. 先變形再求極先變形再求極限限.例例9 931lim (11)nnn求求3111lim1nnn 解：原式解：原式233lim11111( 1)nnnn 13 0()0型型2331lim1111( 1)nnn 11(1)n “型”“型”00或“型”或“型”a3-b3 =(a-b)(a2+ab+b2)(

47、0型型)10 01 例例10 10 設設1,01( )0,01,0 xxf xxxx 0lim( )xf x求求0lim( )xf x 0lim( )xf x 0lim( )1xf x=1解解01lim1xx 0lim(1)xx =1留意解題步驟留意解題步驟例例11 無窮遞縮等比數列求和公式推導無窮遞縮等比數列求和公式推導等比數列等比數列211111,na a q a qa q 前前n項和項和1(1)1nnaqSq 無窮遞縮等比數列一切項之和無窮遞縮等比數列一切項之和limnnSS1q 11aq 221(1)()11xa xab xbaxbxx 2(1)()lim01xa xab xbx 10

48、101aaabb 例例12解解21lim()01xxax bx 假設假設 , 求求a，b小結曾經學過的幾種求極限的方法小結曾經學過的幾種求極限的方法在簡單的情形可經過直觀分析來求極限在簡單的情形可經過直觀分析來求極限利用左、右極限與極限的關系來求極限利用左、右極限與極限的關系來求極限利用無窮大量與無窮小量的關系求極限利用無窮大量與無窮小量的關系求極限 利用無窮小量的性質來求極限利用無窮小量的性質來求極限利用極限四那么運算法那么求極限利用極限四那么運算法那么求極限(能夠需求預能夠需求預先對函數式作適當的變形先對函數式作適當的變形)后面我們將進一步討論較復雜極限的求解方法后面我們將進一步討論較復雜

49、極限的求解方法.解答解答沒有極限沒有極限假設假設 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限， 由極限運算法那么可知：由極限運算法那么可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與知矛盾，與知矛盾，故假設錯誤故假設錯誤思索題思索題 在某個過程中，假設在某個過程中，假設 有極限，有極限， 無極限，那么無極限，那么 能否有極限？為能否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 作業： P46：2-9 (3)(12)(14) 2-10 P52：2-16 (1)(4)(5)1.獨一性獨一性定理定理 每個收斂的數列只需一個極限每個收斂的數列只需一個極限. .證

50、證lim,lim,nnnnuaub 設設又又由定義由定義,使使得得., 021NN 1;nnNua 當當時時恒恒有有2;nnNub 當當時時恒恒有有 ,max21NNN 取取時時有有則則當當Nn ()()nnabubuannubua.2 .時時才才能能成成立立上上式式僅僅當當ba 故收斂數列極限獨一故收斂數列極限獨一.四、數列極限的性質四、數列極限的性質 返返 回回幾何解釋幾何解釋:2.5 極限存在準那么與兩個重要極限極限存在準那么與兩個重要極限一、極限存在準那么一、極限存在準那么(1)單調遞增有上界；單調遞增有上界；準那么準那么 單調有界數列必有極限單調有界數列必有極限.注注: 根據準那么只

51、能判別極限存在根據準那么只能判別極限存在, 無法求出極限無法求出極限值值.(2)單調遞減有下界單調遞減有下界.1111211 1(1)(1)(1)(1)2!1!121112(1)(1)(1)(1)!121nnnnnnnnnnn 1,nnuu 顯然顯然 ;nu是單調遞增的是單調遞增的證明證明1(1)nnun數列收斂數列收斂1(1)nnun證：證： 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!) 1() 1( 1nu =例例1 11212111 n, 3 nu有界有界limnnu 存存在在1lim(1)nnen 記記：)71

52、828. 2( e1213 n又又nu 11112111(1)(1)(1)(1)2!nnnnnn 11112!n 1( !(1)2 12 22 12)nnn n 1121112n 例例2 2333 ()nun 證證明明重重根根式式 收收斂斂(1)證證1,nnuu 顯然顯然 nu單單調調遞遞增增133,u 3,ku 設設13kkuu 則則33 , 3 nu有有上上界界limnnu 存存在在13,nnuu 230AA 113113,22AA (舍去舍去)113lim.2nnu limnnuA設=設=兩邊取極限得兩邊取極限得3AA并求極限值并求極限值.(2)解解(2)limlimnnnnyaz 準那

53、么準那么夾逼準那么夾逼準那么 假設數列假設數列xn、yn及及zn滿足滿足以下條件以下條件:(1) N0，nN時時, ynxnzn ;axnn lim那么那么注注: 1)函數極限的夾逼準那么函數極限的夾逼準那么 假設假設f(x)、g(x)及及h(x)滿足滿足:2)利用夾逼準那么求極限關鍵利用夾逼準那么求極限關鍵:0 (1)0(, )oxU x (|x|X) 00()()lim( )lim( )xxxxxxg xAh x(2)0()lim( )xxxf xA 那么那么g(x)f (x)h(x) ;(X0)時時, 構造構造yn與與zn ，且其極限易求，且其極限易求.例例3 3).12111(lim2

54、22nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnAC)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設設單單位位圓圓xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線二、兩個重要極限二、兩個重要極限0(:)0注型注型0sinlim1xxx 1.OABOABOACSSS 扇扇由由得得1122OA BDAB OAOA AC 1 12 2證證sin()sinxxxx - -0 x 只討論情形只討論情形,tansinxxx sincos1x

55、xx 即即有有111tansinxxxACxoBD,tansinxxx sincos1,xxx 即即有有cos x 而而212sin2x 212()2x212x, 1coslim0 xx0lim11,x 且且0sinlim1.xxx 2sin1cos1,2xxxx 20lim(1)12xx又又注注: 1.sintan,2xxxx sin,xxxR 2.(圖圖!)3. ,0limcos1xx 0limsin0 xx (2sin)xxx由 有： 由 有： 例例40sinlim1xxx 利用求極限時抓住特征：利用求極限時抓住特征：0(1)0型型0sin(2) lim=1=10tanlimxxx 00

56、sintanlim1limxxaxaxaxax 故有：故有：0sin1lim()1cosxxxx0(0型)型)(a為非零常數為非零常數!)x0時，時，sinxx tanx sinaxax tanax等價無窮小交換等價無窮小交換定理定理 ( (等價無窮小交換定理等價無窮小交換定理) ).limlim,lim, 則則存存在在且且設設證證 lim)lim( limlimlim.lim 常用等價無窮小常用等價無窮小: :22211cos2sin 2()222xxxx0arcsinlimxxx 20, sin, arcsin,tan, arctan,1ln(1) ,1 , 1cos2xxaxaxaxax

57、axaxaxaxxxexxx 當當時時(待證待證)0(0型)型)0arcsinlim1sin(arcsin )xxx 例例5 5.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 22012lim12xxx 原式原式0(0型)型)例例6 620tan 2lim1cosxxx 202(2 )lim12xxx . 8 不能濫用等價無窮小代換不能濫用等價無窮小代換.對于代數和中對于代數和中的各無窮小不的各無窮小不能分別交換能分別交換. .留意留意0(0型)型)用等價無窮用等價無窮小交換

58、定理小交換定理:例例7 7.2sinsintanlim30 xxxx 求求錯解錯解.sin,tan,0 xxxxx時時當當 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解33012lim8xxx .161 0(0型)型)30tan (1cos )lim(2 )xxxx 原式原式例例8 8.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解0tan51coslimsin3sin3xxxxx 原原式式2001552limlim333xxxxxx0(0型)型)013sin2sinlim()1xxxxx 例例9 90sin1lim(23sin)2xxxxx 0(0型)型) 思索思索:例例7可否拆成兩

59、可否拆成兩個極限之差個極限之差?不可不可!拆開后拆開后為為型型1lim(1)xxex ,1xt 令令101lim(1)lim(1)xtxttx. e exxx 10)1(lim2.(:1) 注注型型數列情形已證數列情形已證, 可推行至可推行至x + 及及x (1) 1 型型101(2) lim(1)lim(1)e 利用該重要極限解題時抓住特征：利用該重要極限解題時抓住特征：例例1111.)11(limxxx 求求解解普通地：普通地：lim 1xxkx lim1kxkxkx例例10102lim(1) .nnn 求求解解(1 型)型)(1 型)型)(1 型)型)不要仿照不要仿照教材解題教材解題步驟

60、步驟勿作變換勿作變換!1lim(1)2nn原式原式2n1lim(1)xx 原式原式x = e k=e2=e121例例121223lim()2xxxx 求求解解 原式原式1lim(1)2xx 43()2xx 例例13lim()xxxaxa 求求2x (1 型)型)(1 型)型)2=e2解解 原式原式lim(1)x ()axaxa 2x aa 2a=e2a2axa 0lim 12xxx 例例1414例例1510lim(12 )xxx原式原式0lim1( 2 )xx 3sec2lim(1cos )xxx 解解解解3cos2lim(1cos )xxx 原式原式31cos2lim (1cos )xxx