1、 廣西桂林中學20122013學年度下學期期中考試高二數學理試題時間 120分鐘, 滿分150分 第卷(選擇題, 共60分)一 、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分）1. 下列說法正確的是 ( ) 平面和平面只有一個公共點 兩兩相交的三條線必共面 不共面的四點中, 任何三點不共線 有三個公共點的兩平面必重合2. 設均為直線,其中在平面的（ ）條件 充分不必要 必要不充分 充分必要 既不充分也不必要3.有三個球，一個球內切于正方體的各個面，另一個球切正方體的各條棱，第三個球過正方體的各個頂點（都是同一正方體），則這三個球的體積之比為（ ） 4.過三棱錐高的中點與底面平行的平面把這個

2、三棱錐分為兩部分，則這上、下兩部分體積之比為( ) 14 17 23 185. 已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是（ ） 6. 如圖，四棱錐PABCD中，底面是邊長為1的菱形，ABC60°，PA底面ABCD，PA1，則異面直線AB與PD所成角的余弦值為 ( ) 7. 某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數為 ( )14 24 28 488. 在正三棱柱中，則與平面所成的角的正弦值為（ ） 9.用數字1，2，3，4，5可以組成沒有重復數字，并且比20000大的五位偶數共有（ ）48個

3、36個 24個 18個10如圖：已知矩形ABCD中，AB2，BC，若PA平面ABCD，在BC邊上取點E，使PEDE，則滿足條件的E點有兩個時，的取值范圍是（ ） 4 4 04 0411. 若地球半徑為，在北緯45°圈上有兩點，且這兩點間的球面距離為，則北緯45°圈所在平面與過兩點的球的大圓面所成的二面角的余弦值為 ( ) 12在棱長為1的正方體ABCD中，若點P是棱上一點，則滿足的點P的個數為（ ） 4 6 8 12 第卷(非選擇題,共90分)二、填空題：（本大題4小題，每小題5分，滿分20分）13. 菱形中，已知垂直于所在平面且，則到的距離為 。14. 把邊長為1的正方形

4、紙片ABCD沿對角線AC翻折，使頂點B和D的距離為1，此時D點到平面ABC的距離為 。15展開式中， 的系數是_ 。16. 一個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側棱上已知正三棱柱的底面邊長為2，則該三角形的斜邊長為 。三、解答題：（本大題共6小題，滿分70分，解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟）17（本小題10分）（）計算：； （）解方程：18（本小題 12 分） 從4名女同學和6名男同學中，選出3名女同學和4名男同學，7人排成一排.（1）如果選出的7人中，3名女同學必須站在一起，共有多少種排法?（2）如果選出的7人中，3名女同學互不相鄰，共有多少種排法?(注:必須用數字表示最終

5、結果)A119（本小題 12 分） 在長方體中，、分別為、的中點（）求證：平面；（）求證：平面 20（本小題 12 分） 直三棱柱中，側棱，是棱的中點，是中點，求: （） 二面角的大小； （） 到平面的距離.21（本小題12分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，、分別為、的中點（）求證：平面；（）設，求與平面所成的角的正弦值CDEAB22（本小題 12 分） 四棱錐中，底面為矩形，側面底面，（）證明：；（）設與平面所成的角為，求二面角的大小參考答案 第卷(選擇題, 共60分)一 、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分）1. 下列說法正確的是 ( C )平面和平面只有一個公共點 兩

6、兩相交的三條線必共面不共面的四點中, 任何三點不共線 有三個公共點的兩平面必重合2.設均為直線,其中在平面的（ A ）條件A. 充分不必要B. 必要不充分 C. 充分必要D. 既不充分也不必要3.有三個球，一個球內切于正方體的各個面，另一個球切正方體的各條棱，第三個球過正方體的各個頂點（都是同一正方體），則這三個球的體積之比為（ C ） 4.過三棱錐高的中點與底面平行的平面把這個三棱錐分為兩部分，則這上、下兩部分體積之比為( B ) 14 17 23 185、已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是（ C ）A B C D6.如圖，四棱錐PABCD中，底面是邊長

7、為1的菱形，ABC60°，PA底面ABCD，PA1，則異面直線AB與PD所成角的余弦值為 ( A) A. B. C. D.7. 某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數為 ( A )A. 14 B. 24 C. 28 D. 488. 在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB，則AC1與平面BB1C1C所成的角的正弦值為（ D ）A. B. C. D. 9.用數字1，2，3，4，5可以組成沒有重復數字，并且比20000大的五位偶數共有（ B ）A.48個 B.36個 C.24個 D.18個10如圖：已知矩形ABCD中，A

8、B2，BC，若PA面AC，在BC邊上取點E，使PEDE，則滿足條件的E點有兩個時，的取值范圍是（ A ） 4 4 04 0411. 若地球半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩點，且這兩點間的球面距離為，則北緯45°圈所在平面與過A、B兩點的球的大圓面所成的二面角的余弦值為 ( D ) A. B. C. D. 12在棱長為1的正方體ABCD中，若點P是棱上一點，則滿足|PA|的點P的個數為（ B）A4 B6 C8 D12 第卷(非選擇題,共90分)二、填空題：（本大題4小題，每小題5分，滿分20分）13. 菱形中，已知垂直于所在平面且，則到的距離為 。10cm14. 把邊長為

9、1的正方形紙片ABCD沿對角線AC翻折，使頂點B和D的距離為1，此時D點到平面ABC的距離為 15展開式中，的系數是_.2416. 一個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側棱上已知正三棱柱的底面邊長為2，則該三角形的斜邊長為 三、解答題：（本大題共6小題，滿分70分，解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟）17. （本小題滿分 10 分）（）計算：； （）解方程：解：（）=5×5×4×34×4×3 4分 =348 5分（） 7分2 x=1 或 2 x +1=5 9分 x=（舍） 或 x=2 故方程得解為x=2 10分18.（本小題滿分

10、12 分）從4名女同學和6名男同學中，選出3名女同學和4名男同學，7人排成一排.（1）如果選出的7人中，3名女同學必須站在一起，共有多少種排法?（2）如果選出的7人中，3名女同學互不相鄰，共有多少種排法?(注:必須用數字表示最終結果)解：（1）先選人，有種選法，再把3名女同學看成一個元素，與其余4名男同學相當于5個元素進行全排列，然后3名女同學再進行全排列，由分類計數原理，共有=43200種排法 (6分)(2) 選完人后，先讓4名男同學全排列，再把3名女同學在每兩男生之間（含兩端）的5個位置中插入排列，共有=86400種排法(12分)A119.（本小題滿分 12 分）在長方體中，、分別為、的中

11、點（）求證：平面；（）求證：平面 證明：側面，側面，3分在中，則有， ， A1又平面 6分（2）證明：連、，連交于， 連結OE，四邊形是平行四邊 10分又平面，平面，平面 12分20（本小題滿分 12 分）直三棱柱ABCA1B1C1中，側棱CC1 = 2，BAC = 90°，M是棱BC的中點，N是CC1中點，求 （1）二面角B1ANM的大小； （2）C1到平面AMN的距離.20、解法一：（1）建立坐標系如圖所示，則1分設平面AMN的法向量為，平面AB1N的法向量為 2分由，得，令，則，于是 3分由，得，令，則，于是 4分 5分所以二面角B1ANM的大小 6分 （2），C1到平面AMN

12、的距離：12分 解法二：BAC = 90°，AB = AC =，M是棱BC的中點.AMBC，BC = 2，AM = 1，AM平面BCC1B1，平面AMN平面BCC1B1.2分 （1）作B1HMN于H，HRAN于R，連B1R平面AMN平面BCC1B1 = MNB1H平面AMN，又由三垂線定理知，B1RAN，B1RH是二面角B1ANM的平面角3分由已知得 ，則又RtAMNRtHRN， 5分所以二面角B1ANM的大小 6分 （2）N是CC1中點C1到平面AMN的距離等于C到平面AMN的距離設C到平面AMN的距離為h，由VCAMN = VNAMC得 12分21.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，、分別為、的中點（1）求證：平面；（2）設，求與平面所成的角的正弦值解：取PA中點G, 連結FG, DG. 6分設AC, BD交于O，連結FO.設BC=a, 則AB=a, PA=a, DG=a=EF, PB=2a, AF=a.設C到平面AEF的距離為h.VCAEF=VF