1、精選優質文檔-傾情為你奉上中考總復習：二次函數知識講解（基礎）【考綱要求】1二次函數的概念常為中檔題主要考查點的坐標、確定解析式、自變量的取值范圍等；2二次函數的解析式、開口方向、對稱軸、頂點坐標等是中考命題的熱點；3拋物線的性質、平移、最值等在選擇題、填空題中都出現過，覆蓋面較廣，而且這些內容的綜合題一般較難，在解答題中出現【知識網絡】 【考點梳理】考點一、二次函數的定義 一般地，如果（a、b、c是常數，a0），那么y叫做x的二次函數要點詮釋： 二次函數(a0)的結構特征是：(1)等號左邊是函數，右邊是關于自變量x的二次式，x的最高次數是2(2)二次項系數a0考點二、二次函數的圖象及性質1.

2、二次函數(a0)的圖象是一條拋物線，頂點為2.當a0時，拋物線的開口向上；當a0時，拋物線的開口向下3.|a|的大小決定拋物線的開口大小|a|越大，拋物線的開口越小，|a|越小，拋物線的開口越大 c的大小決定拋物線與y軸的交點位置c0時，拋物線過原點；c0時，拋物線與y軸交于正半軸；c0時，拋物線與y軸交于負半軸 ab的符號決定拋物線的對稱軸的位置當ab0時，對稱軸為y軸；當ab0時，對稱軸在y軸左側；當ab0時，對稱軸在y軸的右側4.拋物線的圖象，可以由的圖象移動而得到將向上移動k個單位得：將向左移動h個單位得：將先向上移動k(k0)個單位，再向右移動h(h0)個單位，即得函數的圖象函數解析

3、式開口方向對稱軸頂點坐標當時開口向上當時開口向下(軸)(0，0)(軸)(0，)(，0)(，)()要點詮釋：求拋物線（a0）的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優缺點，應根據實際靈活選擇和運用考點三、二次函數的解析式1.一般式：(a0) 若已知條件是圖象上的三個點，則設所求二次函數為，將已知條件代入，求出a、b、c的值2.交點式（雙根式）： 若已知二次函數圖象與x軸的兩個交點的坐標為(x1，0)，(x2，0)，設所求二次函數為，將第三點(m，n)的坐標(其中m、n為已知數)或其他已知條件代入，求出待定系數，最后將解析式化為一般形式3.頂點式： 若已知二次

4、函數圖象的頂點坐標或對稱軸方程與最大值(或最小值)，設所求二次函數為，將已知條件代入，求出待定系數，最后將解析式化為一般形式4.對稱點式：若已知二次函數圖象上兩對稱點(x1，m)，(x2，m)，則可設所求二次函數為，將已知條件代入，求得待定系數，最后將解析式化為一般形式要點詮釋： 已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.(可以看成的圖象平移后所對應的函數).已知圖象與軸的交點坐標、，通常選用交點式：（a0）.(由此得根與系數的關系：).考點四、二次函數(a0) 的圖象的位置與系數a、b、c的關系1.開口方向：a0時，開口向上，否則開口向下2.對稱軸：

5、時，對稱軸在y軸的右側；當時，對稱軸在y軸的左側3.與x軸交點：時，有兩個交點；時，有一個交點；時，沒有交點要點詮釋： 當x1時，函數ya+b+c； 當x-1時，函數ya-b+c； 當a+b+c0時，x1與函數圖象的交點在x軸上方，否則在下方； 當a-b+c0時，x-1與函數圖象的交點在x軸的上方，否則在下方考點五、二次函數的最值1.當a0時，拋物線有最低點，函數有最小值，當時，2.當a0時，拋物線有最高點，函數有最大值，當時，要點詮釋： 在求應用問題的最值時，除求二次函數的最值，還應考慮實際問題的自變量的取值范圍考點六、二次函數與一元二次方程的關系函數，當時，得到一元二次方程，那么一元二次方

6、程的解就是二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標，因此二次函數圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.(1)當二次函數的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；(2)當二次函數的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；(3)當二次函數的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根. 通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數圖象和一元二次方程的關系：的圖象的解方程有兩個不等實數解方程有兩個相等實數解方程沒有實數解要點詮釋： 二次函數圖象與x軸的交點的個數由的值來確定. (1)當二次函數的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；(2)當二次函數的圖象與x軸有且只有一

7、個交點，這時，則方程有兩個相等實根；(3)當二次函數的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.【典型例題】類型一、應用二次函數的定義求值1二次函數y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，且圖象的對稱軸在y軸的右側，則k的值是 2【思路點撥】因為圖象的對稱軸在y軸的右側，所以對稱軸x=k+10，即k-1；又因為二次函數y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，所以y最小值= =-4，可以求出k的值【答案與解析】解：圖象的對稱軸在y軸的右側，對稱軸x=k+10，解得k-1，二次函數y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，y最小值= =k+3-（k+1）2=-k2-k+2=-4，整

8、理得k2+k-6=0，解得k=2或k=-3，k=-3-1，不合題意舍去，k=2【總結升華】求二次函數的最大（?。┲涤腥N方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法舉一反三：【變式】已知是二次函數，求k的值【答案】是二次函數，則由得，即，得，顯然，當k-3時，原函數為y0，不是二次函數 k2即為所求類型二、二次函數的圖象及性質的應用2把拋物線向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為( ) A B C D【思路點撥】拋物線的平移問題，實質上是頂點的平移，原拋物線y=-x2頂點坐標為（0，0），向左平移1個單位，然后向上平移3個單位后，頂點坐標為（-1，3）

9、，根據拋物線的頂點式可求平移后拋物線的解析式【答案】 D；【解析】根據拋物線的平移規律可知：向左平移1個單位可變成，再向上平移3個單位后可變成【總結升華】(1)圖象向左或向右平移|h|個單位，可得的圖象(h0時向左，h0時向右) (2)的圖象向上或向下平移|k|個單位，可得的圖象(k0時向上，k0時向下)舉一反三：【變式】將二次函數的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度后，所得圖象的函數表達式是( )A B C D【答案】按照平移規律“上加下減，左加右減”得故選A.類型三、求二次函數的解析式3已知二次函數的圖象經過點(1，0)，(-5，0)，頂點縱坐標為，求這個二次函數的解析式 【

10、思路點撥】將點（1，0），（-5，0）代入二次函數y=ax2+bx+c，再由 ，從而求得a，b，c的值，即得這個二次函數的解析式【答案與解析】解法一：由題意得 解得所以二次函數的解析式為解法二：由題意得 把代入，得，解得所以二次函數的解析式為，即 解法三：因為二次函數的圖象與x軸的兩交點為(1，0)，(-5，0)，由其對稱性知，對稱軸是直線所以，拋物線的頂點是可設函數解析式為即【總結升華】根據題目的條件，有多種方法求二次函數的解析式舉一反三：【變式】已知：拋物線經過點（1）求的值；（2）若，求這條拋物線的頂點坐標；（3）若，過點作直線軸，交軸于點，交拋物線于另一點，且，求這條拋物線所對應的二次

11、函數關系式（提示：請畫示意圖思考）【答案】解：（1）依題意得：， （2）當時， 拋物線的頂點坐標是 yxOBPA（3）解法1：當時，拋物線對稱軸，對稱軸在點的左側因為拋物線是軸對稱圖形，且 又，拋物線所對應的二次函數關系式 解法2：當時，對稱軸在點的左側因為拋物線是軸對稱圖形，且 又，解得：這條拋物線對應的二次函數關系式是 解法3：， 軸， 即：解得：，即 由，這條拋物線對應的二次函數關系式. 類型四、二次函數圖象的位置與a、b、c的關系4如圖所示是二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過A點（3，0），對稱軸為x=1，給出四個結論：b2-4ac0；2a+b=0；a+b+c=0；當x=

12、-1或x=3時，函數y的值都等于0把正確結論的序號填在橫線上 【思路點撥】根據函數圖象得出拋物線開口向下得到a小于0，且拋物線與x軸交于兩個點，得出根的判別式大于0，即選項正確；對稱軸為x=1，利用對稱軸公式列出關于a與b的關系式，整理后得到2a+b=0，選項正確；由圖象得出x=1時對應的函數值大于0，將x=1代入拋物線解析式得出a+b+c大于0，故選項錯誤；由拋物線與x軸的一個交點為A（3，0），根據對稱軸為x=1，利用對稱性得出另一個交點的橫坐標為-1，從而得到x=-1或x=3時，函數值y=0，選項正確，即可得出正確的選項序號【答案與解析】解：由圖象可知：拋物線開口向下，對稱軸在y軸右側，

13、對稱軸為x=1，與y軸交點在正半軸，與x軸有兩個交點，a0，b0，c0，b2-4ac0，選項正確；當x=1時，y=a+b+c0，選項錯誤；圖象過A點（3，0），對稱軸為x=1，另一個交點的橫坐標為-1，即坐標為（-1，0），又，2a+b=0，選項正確；當x=-1或x=3時，函數y的值都等于0，選項正確，則正確的序號有故答案為：.【總結升華】此題考查了拋物線圖象與系數的關系，其中a由拋物線的開口方向決定，a與b同號對稱軸在y軸左邊；a與b異號對稱軸在y軸右邊，c的符合由拋物線與y軸的交點在正半軸或負半軸有關；拋物線與x軸的交點個數決定了根的判別式的正負，此外還要在拋物線圖象上找出特殊點對應函數值

14、的正負來進行判斷舉一反三：【變式】如圖所示是二次函數圖象的一部分，圖象經過點A(-3，0)，對稱軸為給出四個結論：；其中正確結論是（ ） A B C D【答案】本例是利用二次函數圖象的位置與a、b、c的和、差、積的符號問題，其中利用直線， 交拋物線的位置來判斷，的符號問題應注意理解和掌握由圖象開口向下，可知a0，圖象與x軸有兩個交點，所以， 確對稱軸為，所以，又由a0，b2a，可得5ab，正確故選B.類型五、求二次函數的最值5某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件(每件售價不能高于65元)設每件商品的售價上漲x元(x為

15、正整數)，每個月的銷售利潤為)y元(1)求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍 (2)每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤?最大的月利潤是多少元?(3)每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據以上的結論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元?【思路點撥】（1）每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件，當每件商品的售價上漲x元時，每個月可賣出（210-10x）件，每件商品的利潤為x+50-40=10+x；（2）每個月的利潤為賣出的商品數和每件商品的乘積，即（210-10x）（10+x），當每個月的利潤恰為2200元時得到方程（2

16、10-10x）（10+x）=2200求此方程中x的值【答案與解析】(1)y(210-l0x)(50+x-40)-10x2+110x+2100(0<x15且x為整數) (2)y-10(x-5.5)2+2402.5 a-100， 當x5.5時，y有最大值2402.5 0<x15，且x為整數， 當x5時，50+x55，y2400(元)；當x6時，50+x56，y2400(元) 當售價定為每件55元或56元時，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元 (3)當y2200時，-10x2+110x+21002200， 解得x11，x210 當x1時，50+x51；當x10時，50+x60 當

17、售價定為每件51元或60元時，每個月的利潤為2200元【總結升華】做此類應用題時，要明確題目中所給的信息，并找到其中相等的量可以用不同的表達式表示就可以列出方程舉一反三：【變式】某水果批發商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規定每箱售價不得高于55元，市場調查發現，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高l元，平均每天少銷售3箱。 (1)求平均每天銷售量y(箱)與銷售價x(元/箱)之間的函數關系式 (2)求該批發商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售價x(元/箱)之間的函數關系式(3)當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少?【答案】解：(1)， 化簡得y-

18、3x+240(50x55)(2)w(x-40)(-3x+240)(50x55) (3)w， a0， 拋物線開口向下當時，w有最大值， 又x60，w隨x的增大而增大 當x55元時，w的最大值為l125元。 當每箱蘋果的銷售價為55元時，可以獲得1125元的最大利潤類型六、函數與方程6已知拋物線與x軸沒有交點求c的取值范圍； 試確定直線經過的象限，并說明理由【答案與解析】（1）拋物線與x軸沒有交點，0，即12c0，解得c(2)c，直線y=x1隨x的增大而增大，b=1，直線y=x1經過第一、二、三象限.【點評】拋物線與x軸沒有交點，0，可求c的取值范圍.舉一反三：【變式1】無論x為何實數，二次函數的

19、圖象永遠在x軸的下方的條件是( ) AB C D【答案】二次函數的圖象與x軸無交點，則說明y=0時，方程無解，即又圖象永遠在x軸下方，則 答案：B【變式2】對于二次函數，我們把使函數值等于0的實數x叫做這個函數的零點， 則二次函數(m為實數)的零點的個數是( ) A1 B2 C0 D不能確定【答案】當y=0時， ， 即二次函數的零點個數是2 故選B.中考總復習：二次函數鞏固練習（基礎）【鞏固練習】一、選擇題1二次函數的圖象的頂點坐標是( ) A(-1，8) B(1，8) C(-1，2) D(1，-4)2若，三點都在函數的圖象上，則的大小關系是( )A. B. C. D. 3函數在同一直角坐標系

20、內的圖象大致是( ) 4.如圖是二次函數yax2bxc圖象的一部分，圖象過點A（3，0），對稱軸為x1給出四個結論：b24ac；2ab=0；abc=0；5ab其中正確結論是（）AB. C. D. 5.拋物線y=ax2+bx+c圖象如圖所示，則一次函數與反比例函數在同一坐標系內的圖象大致為（ ）6.矩形ABCD中，動點E從點C開始沿邊CB向點以2cm/s的速度運動至點B停止，動點F從點C同時出發沿邊CD向點D以1cm/s的速度運動至點D停止如圖可得到矩形CFHE，設運動時間為x（單位：s），此時矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面積為y(單位：)，則y與x之間的函數關系用圖象表示大致是下圖

21、中的（ ）二、填空題7如圖所示的拋物線是二次函數的圖象，那么的值是 8二次函數y =ax2bxc 的圖象如圖所示，且P=| abc | 2ab |，Q=| abc | 2ab |，則P、Q的大小關系為 . 第8題 9給出下列命題：命題1點(1，1)是雙曲線與拋物線的一個交點命題2點(1，2)是雙曲線與拋物線的一個交 點命題3點(1，3)是雙曲線與拋物線的一個交點請你觀察上面的命題,猜想出命題(是正整數): .10拋物線y=ax2與直線x=1，x=2，y=1，y=2組成的正方形有公共點，則a的取值范圍是 .11如圖，在第一象限內作射線OC，與x軸的夾角為30°，在射線OC上取一點A，過

22、點A作AHx軸于點H在拋物線y=x2（x0）上取點P，在y軸上取點Q，使得以P，O，Q為頂點的三角形與AOH全等，則符合條件的點A的坐標是 第11題 12已知函數，則使y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為 . 三、解答題13已知雙曲線與拋物線y=zx2+bx+c交于A(2,3)、B(m,2)、c(3,n)三點. (1)求雙曲線與拋物線的解析式； (2)在平面直角坐標系中描出點A、點B、點C,并求出ABC的面積.yx11o第13題圖-1-1 14. 已知：二次函數y=x2bx3的圖像經過點P（2,5）（1）求b的值，并寫出當1x3時y的取值范圍；（2）設點P1（m,y1）、P2（m+1,y2）

23、、P3(m+2,y3)在這個二次函數的圖像上當m=4時，y1、y2、y3能否作為同一個三角形的三邊的長？請說明理由；當m取不小于5的任意實數時，y1、y2、y3一定能作為同一個三角形三邊的長，請說明理由15關于x的方程（1）當a取何值時，二次函數的對稱軸是x=-2；（2）求證：a取任何實數時，方程總有實數根.16. 如圖，開口向上的拋物線與軸交于A（，0）和B（，0）兩點，和是方程的兩個根（），而且拋物線交軸于點C，ACB不小于90°.（1）求點A、點B的坐標和拋物線的對稱軸；（2）求系數的取值范圍；（3）在的取值范圍內，當取到最小值時，拋物線上有點P，使，求所有滿足條件的點P的坐標

24、. 【答案與解析】一、選擇題1.【答案】A；【解析】求拋物線的頂點坐標有兩種方法：拋物線的頂點坐標為，將中的a，b，c直接代入即可求出；采用配方法，即將變形為，所以的頂點坐標為(-l，8)2.【答案】A；【解析】主要考查反比例函數的圖象和性質.解答時，應先畫出的圖象，如圖，然后把 三點在圖中表示出來，依據數軸的特性，易知，故應選A. 3.【答案】C；【解析】當>0時，拋物線開口向上，一次函數圖象過一、三象限，所以排除A選項，再看B、C選項，拋物線對稱軸在y軸右側，a、b異號，所以一次函數應與y軸交于負半軸，排除B選項；當<0時，拋物線開口向下，而一次函數圖象過二、四象限，排除D選項

25、.所以答案選C.4.【答案】B； 5.【答案】D；【解析】從二次函數圖像可看出>0，>0,得b0,c0,b2-4c>0.又可看出當x=1時，y0. 所以0，由此可知D答案正確.6.【答案】A；【解析】分段函數y1=-2x2+48 (0x<4)； y2=-8x+48 (4x<6),故選A.二、填空題7【答案】1；【解析】圖象經過原點（0,0），把點（0,0）代入得，因為拋物線開口向下，所以.8【答案】P<Q ；【解析】由拋物線的圖象可以知道：（1）開口向下， a0；（2）拋物線過原點，c=0 ；（3）對稱軸x=1，則b2a，即b+2a0；（4）當x=1時，y

26、=ax2bxc= ab+ c0；（5）當x=1時，y =ax2bxc= a+b+ c0；（6）因為a0，b2a，所以，b0，因此，2ab0；則：PQ=（ab+c）+(2a+b)(a+b+c)(2ab) =a+bc+2a+babc+2ab =2a0所以，PQ9【答案】點(1，n)是雙曲線與拋物線的一個交點 10【答案】 【解析】如圖，四條直線x=1，x=2，y=1，y=2圍成正方形ABCD，因為拋物線與正方形有公共點，所以可得a0，而且a值越大，拋物線開口越小，因此當拋物線分別過A（1，2），C（2，1）時，a分別取得最大值與最小值，代入計算得出：a=2，a=；由此得出a的取值范圍是11【答案】（3，）、（，）、（2，2）、（，） 【解析】由題可得A的縱坐標是橫坐標的倍，故設A的坐標為（t，t）；則Q的坐標為（0，2t）或（0，t）；可求得P點對應的坐標，解