1、2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬卷（3)本試題卷共、選擇題：本大題共合題目要求的?！窘馕觥坑深}意得2x5x1uBx12.歐拉公式eix文科數(shù)學(xué)5頁(yè),23題（含選考題）。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘.cos40,sin40,故e【解析】由已知有3.如圖，趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（陰影部分）圍成一個(gè)大正方形，中間空出一個(gè)小正方形組成的圖形，若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在小正方形的概率為三角形中較大銳角的正弦值為（12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符R,集合Acosxxllx12x51，則應(yīng)uBC.uB選C.isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著

2、名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位.特別是當(dāng)x時(shí)，ei10被認(rèn)為是數(shù)學(xué)上最優(yōu)美的公式，數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是上帝創(chuàng)造的公式”.根據(jù)歐拉公式可知，e4i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（A.第一象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限aT5【解析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,直角三角形的直角邊分別為x,111.r何概型可彳導(dǎo)12，解得x1,xx21x5直角三角形中較大銳角的正弦值為4.下列命題中：2x,x2x，由幾2(舍)，所以直角三角形邊長(zhǎng)分別為275,225小，選B.X1"是x21”的充分不必要條件定義在a,b上的偶函數(shù)f1命題

3、x0,都有x一x已知函數(shù)fx的定義域?yàn)檎_命題的個(gè)數(shù)為（A.1個(gè)B.x21b最小值為5；2”的否定是0,使得XoXo0,2,則函數(shù)gxC.3個(gè)f2xxV82x的定義域?yàn)?,1.D.4個(gè)1,所以x1"是X21”的充分不必要條件；第1頁(yè)，共 7頁(yè)因?yàn)閒x為偶函數(shù)，所以a5,因?yàn)槎x區(qū)間為a,b所以b5,因此fxx258+8冗C.316+8冗D.2"的否定是Xo0,使得與12”Xo2X0【解析】由三視圖可知：該幾何體由兩部分構(gòu)成，一部分側(cè)放的四棱錐，一部分為四分之一球由條件得2x0,282X00,1,3X0.1;體，該幾何體的體積是1242+4因此正確命題的個(gè)數(shù)為，選C.7.已知

4、實(shí)數(shù)y滿足:5.九章算術(shù)中的玉石問(wèn)題:今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩.今有石方三寸,中有玉，并重十一斤（即176兩），問(wèn)玉、石重各幾何？”其意思為:寶玉1立方寸重7兩，石料1A.8B.立方寸重6兩，現(xiàn)有寶玉和石料混合在一起的一個(gè)正方體，棱長(zhǎng)是3寸，質(zhì)量是11斤（即176兩),問(wèn)這個(gè)正方體中的寶玉和石料各多少兩？”如圖所示的程序框圖給出了對(duì)此題的一個(gè)求解算法,運(yùn)行2x該程序框圖，則輸出的xy分別為（）A.90,86B.94,82C.9878D.102,74【解析】執(zhí)行程序:x86,y90,s27;x90y86,s27;x94,s27；x98,y78,s27,故輸出的xy分別為986.某幾

5、何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（16+24冗A.16+16冗B.第2頁(yè)，共7頁(yè)俯視圖6，則zlx2y1的最大值（6C.6D.5【解析】根據(jù)不等式組畫出可行域是封閉的四邊形區(qū)域，對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行分類,當(dāng)x2y10時(shí)，令zx2y1,y的部分，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)3,0時(shí)有最大值4.當(dāng)x2y10時(shí),的部分，這時(shí)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)8.設(shè)函數(shù)y的最小值是（【解析】將y2cosB.x2y12,42cos時(shí)有最大值,C.2cos九d十一172cos1yz,這時(shí)可行域?yàn)橹本€x2y1下方1yz，這時(shí)可行域?yàn)橹本€代人得到最大值為1的圖象向右平移x2y1上方5.故答案為:D.45個(gè)單位后與原圖象重合,3D.1的圖象向

6、右平移多個(gè)單位后對(duì)應(yīng)的函數(shù)為九4九-1,函數(shù)y2cos73X-1的圖象7向右平移4個(gè)單位后與原圖象重合，所以有9.A.小值為（3k，又2I0,k1,a6a72a6q4q11-2L2Za4a2q1q1q212122q21q21已知函數(shù)fx與其導(dǎo)函數(shù)fx的圖象如圖，則滿足0,4B.的x的取值范圍為當(dāng)且僅當(dāng)qJ2時(shí)取等號(hào)，即a6a7的最小值為4,選d.,0J1,4C.0,3D.0，U4,則OD積得,V【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可知，當(dāng)fx0時(shí),函數(shù)fx單調(diào)遞增,x0時(shí)，函數(shù)fx單調(diào)遞減,x1時(shí)，函數(shù)4時(shí)，函數(shù)y所以滿足fxf10.A.由圖象可知：H2PA2若正項(xiàng)遞增等比數(shù)列B.【解析】因?yàn)?f

7、x的圖象在x的圖象在y的解集為x0an滿足1a2C.2fx圖象的下方，滿足fx圖象的下方，滿足fa44,故選a3a5D.4D.,貝Ua6a7的最的是（a41(q1),a4a21H11.設(shè)正三棱錐PABC的高為H，且此棱錐的內(nèi)切球的半徑RH,則一2（7PA2A.293932B.3934C.39D.3539【解析】取線段.3a2AB中點(diǎn)D,設(shè)P在底面ABC的射影為O,連接CD,PD,ma,則正三棱錐PABC的表面積31-ama2設(shè)AB,32a，由體42H3VSpd2OD3512%13PAa,235人，選D.3912.已知ex,若函數(shù)f2kfx1恰有三個(gè)零點(diǎn),則下列結(jié)論正確A.k遞減，在0,B.k_

8、8-2eC.2e+42x在區(qū)間單調(diào)遞增，在2,0單調(diào)單調(diào)遞增，如下圖，0,令t22tkt10,因?yàn)間x要有二個(gè)零點(diǎn)，tkt4象可得：當(dāng)t1t2時(shí),t1e4“人人-2,符合題意,e10有解，設(shè)為此日kt1t2t1t2，由短22+且，當(dāng)t14t20,根據(jù)圖。意e第 18 頁(yè)，共 7頁(yè)4時(shí)，可求得t1t21F，不符合題意.綜上所述,e14e2二kf+，故選D.e24【解析】由已知有2,2abc2ab,cosC2.22abc2abab12ab二、填空題：本大題共13.向量a,b滿足a14.拋物線y2PAF周長(zhǎng)的最小值為【答案】13第II卷4小題，每小題5分.由于C0,九sinCb2ab2ababab,

9、貝Uab16,1,b|立可得23,整理可得2向1Saabc-absinC24J3,當(dāng)且僅當(dāng)ab4時(shí)等號(hào)成立.故ABC面積的最大值為4/3.16.過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段的長(zhǎng)稱為雙曲線的通徑,其長(zhǎng)等于2b（a、b分別為雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)）.已知雙曲線C:a2今y21(a0)aY3,a與b的夾角為60,則28x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A6,3的左、右焦點(diǎn)分別為F1、過(guò)第二、四象限的漸近線,F2,若點(diǎn)M是雙曲線C上位于第四象限的任意一點(diǎn)，直線l是雙曲線的經(jīng)MQl于點(diǎn)Q,且MQMFi的最小值為3,則雙曲線C的通徑為2abb2代入a1可得0,解得b1，故答案為2MF1MF22

10、a,P為拋物線上一點(diǎn)，且P不在直線AF上，則當(dāng)且僅當(dāng)Q,【解析】由拋物線定義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離PF等于這點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離FPd.所以周長(zhǎng)lPAPFAFPAdAFPAd513,填13.15.在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,cabcabc3ab,且c4,則ABC面積的最大值為所示：連接MF2|MQ|MF1MF2F2三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值MQ曲線的定義知Fi2a|F2Q|3,此時(shí),由F2c,02a,到直2b2知通徑等于2ba1一x的距離|F2Q|ac1a22ac2aca1,由定義三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生

11、根據(jù)要求作答.（一）必考題:60分，每個(gè)試題12分.17.設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a11,&22an1.1721題為必考題，如下:（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn1(1)1時(shí),S1當(dāng)n2時(shí)，Snlog1an,求數(shù)列2Sn22anbn的前n項(xiàng)和工.,n為奇數(shù)21,n為偶數(shù)2ai1,22a2，得a21122%,p1八又a2一a1，一4分2，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為(2)由(1)知,bnTn0123當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，TnTn,n為奇數(shù)2,n為偶數(shù)anan12nT0分S1122時(shí)，anai2an241,即a、11為首項(xiàng),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),1為公比的等比數(shù)歹u.2Tn18.2018年為我國(guó)改

12、革開放40周年，某事業(yè)單位共有職工600人，其年齡與人數(shù)分布表年齡段22,3535,4545,5555,59人數(shù)（單位：人定：此單位45歲59歲為中年人，其余為青年人，現(xiàn)按照分層抽樣抽取30人作為全市慶祝晚會(huì)的觀眾.（1）抽出的青年觀眾與中年觀眾分別為多少人（2）若所抽取出的青年觀眾與中年觀眾中分別有12人和5人不熱衷關(guān)心民生大事，其余人熱衷關(guān)心民生大事.完成下列22列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認(rèn)為年齡層與熱衷關(guān)心民生大事有關(guān)?熱衷關(guān)心民生大事不熱衷關(guān)心民生大事總計(jì)青年12中年5總計(jì)30（3）若從熱衷關(guān)心民生大事的青年觀眾（其中1人擅長(zhǎng)歌舞，3人擅長(zhǎng)樂(lè)器）中，隨機(jī)

13、抽取2PK2k00。1000.0500。0250.0100。001k02.7063。8415。0246。63510.828人上臺(tái)表演節(jié)目，則抽出的2人能勝任才藝表演的概率是多少?2K2nadbcabcdacbd【答案】（1）18,12；（2）列聯(lián)表見解析，沒有90%的把握認(rèn)為年齡層與熱衷關(guān)心民生大事有關(guān)；（3）.5【解析】（1）抽出的青年觀眾為18人，中年觀眾12人2分（2）22列聯(lián)表如下:熱衷關(guān)心民生大事不熱衷關(guān)心民生大事總計(jì)青年61218中年7512總計(jì)131730(2)已知。為AD的中點(diǎn)，AC與OB交于點(diǎn)E,當(dāng)PB/平面MAC時(shí)，求三棱錐EBCM的體積.【答案】(1)當(dāng)M為PD中點(diǎn)時(shí)，P

14、B/平面MAC;(2)f./；-3.:域a""x.fjriiu【解析】如圖，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)N,1：'當(dāng)M為PD的中點(diǎn)時(shí)，PB/平面MAC,？分也二仁產(chǎn)匯入/Lin證明.四邊形ABCD是菱形，可得：DNNB,223065127K2131718124052211.8332.706,6分沒有90%的把握認(rèn)為年齡層與熱衷關(guān)心民生大事有關(guān).7分(3)熱衷關(guān)心民生大事的青年觀眾有6人，記能勝任才藝表演的四人為A,4,A3,A4,其余兩人記為B1,B2,則從中選兩人，一共有如下15種情況：A,A2,AA,AA,A2人,A2A,AA,A,B,AH,A2,B1,人2島，A3,B

15、,人艮，AB,AH,B,a,t。分抽出的2人都能勝任才藝表演的有6種情況，代分所以p_6_2.12分15519.如圖，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD是菱形，PADABAD,平面PAD平面ABCD,AB4,PAPD,M在PD上運(yùn)動(dòng).B又M為PD的中點(diǎn)，可得：DM可得NM/PB,-4分又.NM平面MAC,PBtI(2)。為AD的中點(diǎn),IOBAD,且OB243BE-OB.33MP，.一NM為4BDP的中位線，3分平面MAC，.二PB/平面MAC.6分PAPD,則OPAD,又PADABAD,2clAEOs/XCEB,-OE-OA-BEBC2Saebc14W!迪.Y分233OP4273，點(diǎn)M為PD

16、的中點(diǎn),2M到平面EBC的距離為J3.11分8.-12分320.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F1J3,0，圓F2：x2y22w3x130,點(diǎn)Q是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段FQ的中垂線與線段F2Q交于點(diǎn)P.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)若直線l(斜率存在)與曲線E相交于A,B兩點(diǎn)，且存在點(diǎn)D4,0(其中A,B,D不共線)，使得ADB被x軸平分，證明：直線l過(guò)定點(diǎn).(1)當(dāng)M在何處時(shí)，PB/平面MAC；2【答案】土y21；1,0,4【解析】由已知FiJ3,0,F2<3,0MF2的半徑為r4,依題意有：|PFJ|PQ|,.l分|PFJ|PF2|PQ|PF2|QF2|r4-3分故點(diǎn)P的軌跡是以Fi,

17、F2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即cJ3,a2,bi.2故點(diǎn)P的軌跡E的方程為4(2)令A(yù)X,yiBX2,y2，因A,故l的斜率不為0,可令l的方程2i.設(shè)函數(shù)fxx2ex（i）討論fx的單調(diào)性；(2)設(shè)ai,當(dāng)x0時(shí)，f【答案】（i）見解析；（2）【解析】（i）由題意得x0時(shí)，當(dāng)x,i,fi2一ax2kx2,求k的取值范圍.0;當(dāng)xi,時(shí)，fx0；x在,i單調(diào)遞減在i,單調(diào)遞增.,2分xmymyn,則由22x24y2，得m244y22mnyn2400時(shí),令fxlna,2mn貝uyiy2，yim4y22n-2m7分當(dāng)ae時(shí)，x0；當(dāng)xi,lna時(shí)，fx0;ADB被x軸平分,kDAkDB0,lna

18、,時(shí)，f0;所以f(x)在,iln單調(diào)遞增，在i,lna單調(diào)遞減即xi4y20,亦即x24yiX2y2Xi4yiV2當(dāng)ae時(shí)，f0,所以fx在R單調(diào)遞增而yx2y2xiymy2ny2mvn2mvy2nyiy2代入得:當(dāng)ea0時(shí)，x,ln0;2myiV2n4%V2lna,i時(shí),0;當(dāng)xi,時(shí),0;n24代入得：2mn：m42mn-20i0分m4,lni,單調(diào)遞增，在lna,i單調(diào)遞減.5分;直線l的斜率存在，m1.ni，此時(shí)l的方程為：xmyi,過(guò)定點(diǎn)i,0,(2)kxx2ex-x2kx2,綜上所述，直線l恒過(guò)定點(diǎn).i2分令hxx1exx1k,有hxxex1,當(dāng)x0時(shí)，hxxex10,hx單調(diào)遞增.hxh02k,即gx2k7分當(dāng)2k0,即k2時(shí)，gx0,gx在0,單調(diào)遞增，gxg00,不等式fxkx2恒成立一4分當(dāng)2k0,k2時(shí)，gx0有一個(gè)解，設(shè)為刈根.，有x0,%,gx0,gx單調(diào)遞減；當(dāng)xx°,時(shí)，gx0；gx單調(diào)遞增，有g(shù)x°g00.，當(dāng)x0時(shí)，fxkx2不恒成立；11分的值.【答案】230,冗；或3t2cos133【解析】（1）C1的普通方程為x2y21y0,