1、 14 函數(shù)的極限函數(shù)的極限四、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限四、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、單側(cè)極限一、單側(cè)極限右極限的通俗定義、右極限的幾何意義、極限的局部保號(hào)性、右極限的精確定義、函數(shù)極限精確定義、極限的通俗定義、極限的精確定義、極限的幾何意義、水平漸近線(xiàn)二、雙側(cè)極限二、雙側(cè)極限左極限的精確定義、三、關(guān)于函數(shù)極限的定理三、關(guān)于函數(shù)極限的定理1.4 函數(shù)的極限函數(shù)的極限序列的極限是函數(shù)極限的特殊情形.( ),(0,),( ),1,2,nyf x xaf n n下面考慮一般函數(shù)的極限,即在自變量x的某一變化過(guò)程中,函數(shù) 的變化情況.這時(shí),自變量的變化有下面這些可能:( )yf x(1),0

2、;xaaxa從 的右側(cè)趨向記作(2),0;xaaxa從 的左側(cè)趨向記作a xx a(3),;xaaxa同時(shí)從 的兩側(cè)趨向記作(4),;xx 無(wú)限制地增大 記作(5),;xx 無(wú)限制地減小 記作a xo xx o(6),xxx無(wú)限制地增大 即 沿 軸的正向與負(fù)向同時(shí)無(wú)限,.x 遠(yuǎn)離原點(diǎn) 記作o x一、單側(cè)極限一、單側(cè)極限00.xaxa先討論或的情形先看幾個(gè)例子 例例 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)10sgn0010 xyxxx當(dāng)當(dāng)當(dāng)1-1xyo00,sgn1,00,sgn1,xxxx 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)稱(chēng)符號(hào)函數(shù)在原點(diǎn)的右極限為1,記作0 0lim sgn1;xx 稱(chēng)符號(hào)函數(shù)在原點(diǎn)的左極限為1,記作0 0lim sgn

3、1.xx .yx例函數(shù) 2.x 記為 3,x 3 0lim 3,xx 3 0lim 2.xx 30,x 而當(dāng)時(shí)30,x 當(dāng)時(shí)記為 33.yxx稱(chēng)在的右極限為 32.yxx稱(chēng)在的左極限為例3. 函數(shù)y = x= xx,表示x的小數(shù)部分.0 1 2 3 xy10, 0,10, 1.xxxx 當(dāng)時(shí)而當(dāng)時(shí)稱(chēng)函數(shù)x在點(diǎn)x=1的右極限為0,記作1 0lim 0;xx 稱(chēng)函數(shù)x在點(diǎn)x=1的左極限為1,記作1 0lim 1.xx 顯然,對(duì)任意整數(shù) n,都有0lim 0;xnx 0lim 1.xnx .sin ,20,sin1;yxxx例4函數(shù)當(dāng)時(shí)20,sin1;xx當(dāng)時(shí) 也有sin2yxx故函數(shù)在的1.左右極

4、限都是 記作2 0lim sin1.xx2 0lim sin1.xx1sin0.yxx因此函數(shù)在處的左右極限都不存在1x1xy1sin 例 2 函數(shù) ysinx1在點(diǎn) x0 沒(méi)有定義， 當(dāng)x0+0或x00時(shí)，函數(shù)值在-1與+1之間變動(dòng)無(wú)限多次，51sin.yxx0000,xx當(dāng)或時(shí) 函數(shù)值,0雖還是上下擺動(dòng) 但“振幅”不斷變小,且任意接近于 .(p.42圖)0 00 011limsinlimsin0.xxxxxx 例62121,sin1;,sin1,1,2,(41)(41)nnnnxxnnxnx 因 0,0,(0,0,0lim0 xayfxa blfxlxaxafxlfxlfxl xa 設(shè)是定

5、義在上的一個(gè)函數(shù).若存在一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)于任意給定的無(wú)論它多么小)都存在一個(gè)使得 只要 則稱(chēng)當(dāng)時(shí)以 為右極限,記作 或 a x b定義定義 ( 右極限和左極限右極限和左極限 ) 0,0,(0,0,0lim0 xbyf xa blf xlbxxbf xlf xlf xl xb 設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)于任意給定的無(wú)論它多么小)都存在一個(gè)使得 只要 則稱(chēng)當(dāng)時(shí)以 為左極限,記作 或 a x b右極限和左極限統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)極限.二、雙側(cè)極限二、雙側(cè)極限limxaf (x)=l 或 f (x) l (當(dāng)x a)雙側(cè)極限的通俗定義： 在自變量趨于常數(shù)a的過(guò)程中，如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 f(x)無(wú)限接近于某一

6、確定的常數(shù)l，那么這個(gè)確定的常數(shù)l就叫做在這一變化過(guò)程中函數(shù)f(x)的極限當(dāng)x a時(shí)，f(x)以 l為極限記為分析：當(dāng)xa時(shí)，f(x) l 當(dāng)| x-a | 0 時(shí)，|f (x)-l |能任意小任給e 0， 當(dāng)| x-a |小到某一時(shí)刻，有|f (x)-l |0， 存在d 0， 使當(dāng)|x-a | d 時(shí) ，有|f (x)-l|0, 要找d0，使得0|x-x0|d 時(shí)，有|f(x)-l|e.即 l-e f (x) l+e.哈哈, d找到了!yy=x-111y=x+1xO. 0, 1, 0, 0, 0, 1)(xxxxxxf 例7 函數(shù)當(dāng)x0時(shí)f(x)的極限不存在 因?yàn)閒(x)在 x = 0 的左

7、極限為0 00 0lim( )lim (1)1,xxf xx 右極限為0 00 0lim( )lim (1)1,xxf xx 所以極限 不存在)(lim0 xfx0 00 0lim sgn1, lim sgn1,xxxx 又如sgn0.xx 故在處的雙側(cè)極限不存在因此對(duì)于任意給定的正數(shù)e ，任意取一正數(shù)d ，當(dāng)0|x-x0|d 時(shí)，都有|f (x)-c|=|c-c|=00 d0 當(dāng)0|x-x0|d 時(shí), 都有|f(x)-l|e . 證明： 因?yàn)?0 ， 0 ，所以只需 |x-1|d ，即取d = e |f(x)- 2|=|x-1|e ，使當(dāng)0|x-1|d ，有112xx |f (x)- 2|=

8、 | -2|=|x+1-2|=|x-1|， 要使|f (x)-2|0(或 A0(或f(x)0)注注:這樣的鄰域不唯一這樣的鄰域不唯一. 定理6 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)0(或f(x)0)，而且 證明： 設(shè)f(x)0 假設(shè)上述論斷不成立，即設(shè)l0， 那么由上面的定理5就有 x0 的某一去心鄰域, 在該鄰域內(nèi) f(x)0， X 0， x : x X，有 | f (x)-l|X的一切 x，對(duì)應(yīng)的函數(shù)數(shù)值 f(x) 都滿(mǎn)足不等式| f(x) -l | e， 則常數(shù) l 叫做函數(shù)f (x)當(dāng)x +時(shí)的極限記作( )( );f xlf xl表示任意小0,.XxXx 表示的過(guò)程lim( ).xf

9、xl例10 證明lim0.xxe證 0,0,ln .xxeex 為使只要即故取ln ,0,xXxXe 則當(dāng)時(shí) 必有從而lim0.xxe1.當(dāng)x+函數(shù)極限精確定義：02 .:x 情形0,0,( ).XxXf xl使當(dāng)時(shí) 恒有01 .:x 情形lim( )xf xl 0,0,( ).XxXf xl 使當(dāng)時(shí) 恒有l(wèi)im( ),xf xl2、另兩種情形:lim( )xf xl 定理lim( )lim( ).xxf xlf xl且,lim( )lim( ),xxf xf x因此 若與中有一個(gè)不存在 或兩個(gè)都存在但不lim( ).xf x相等,則不存在lim0.lim,lim.xxxxxxeee例 已證但

10、不存在 故不存在,lim( )lim(1).xyf xlfyl又 顯然有存在關(guān)于極限的夾逼定理,極限不等式,極限四則運(yùn)算,對(duì)無(wú)窮取限情形也都同樣成立.y=f (x)O xyXXl-el+el極限xlimf (x)A 的定義的幾何意義：l例 6 證明01limxx 例11 證明證明 |1| 01|)(|xxAxf 所以01limxx 因?yàn)?0 0 01X 當(dāng)|x|X 時(shí) 有 01X 當(dāng)|x|X 時(shí) 有 分析 |1| 01|)(|xxAxf 0 要使|f(x)A| 只要 0 要使|f(x)A| 只要1|x lll例例12 證明證明21121lim xxx證證|12|12321121 xxxx 因故

11、不妨設(shè)故不妨設(shè)|x|1， 而當(dāng)而當(dāng)|x|1時(shí)時(shí)|1|2|12|xxx |12|12321121 xxx|3|123xx 0 21121xx要要使使同同時(shí)時(shí)成成立立和和只只須須 3|1| xx3, 1max X令令時(shí)，便有時(shí)，便有則當(dāng)則當(dāng)Xx |12|12321121 xxx |3x11lim.212nxx即例例13 求證求證1lim 1.xxex1lim 1.nnen注:已證,1,xx 證先考慮任取 1111111, 1 xxxxxx 11lim 1lim 1 11xnxnxn 1111lim 1lim 1 xnnxxn1111lim 11.11nnenn11lim 11.nnenn 由夾逼定

12、理即得1lim 1.xxex,.xyxy 現(xiàn)在考慮令則于是11lim 1lim 1yxxyxylim1yyyy111lim 11.11yyeyy1lim 11yyy11lim 1lim 1,xxxxexx由即得1lim 1.xxx推論 10lim 1.yyye在此極限中令 即得1,yx11,!x yxy和和互為倒數(shù)例14 設(shè)k為正整數(shù),證明101(1) lim 1;(2)lim 1.kxkkxxxekxex證 (1) 由 11lim 1lim1kkxxxxxx111lim 1lim 1lim 1xxxxxxkxxx 個(gè);ke1101(2) lim 1lim 1k yykxxxykxy.ke證畢 設(shè) 在 的一個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義,若對(duì)于任意給定的正數(shù) ,