1、分類(lèi)討論思想方法在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類(lèi)，并逐類(lèi)求解，然后綜合得解， 這就是分類(lèi)討論法。分類(lèi)討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類(lèi)整理的方法。有關(guān)分類(lèi)討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、 探索性， 能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。引起分類(lèi)討論的原因主要是以下幾個(gè)方面： 問(wèn)題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類(lèi)進(jìn)行定義的。如|a| 的定義分a0、 a 0、 a2 時(shí)分 a0、 a 0 和 a0 三種情況討論。這稱(chēng)為含參型。另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形

2、狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過(guò)分類(lèi)討論，保證其完整性，使之具有確定性。進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)， 我們要遵循的原則是：分類(lèi)的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的， 不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類(lèi)討論問(wèn)題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類(lèi)，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類(lèi)互斥（沒(méi)有重復(fù)）；再對(duì)所分類(lèi)逐步進(jìn)行討論， 分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果； 最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。、再現(xiàn)性題組：1集合 A x|x| 4,x R，Bx|x 3| a，x R，若 AB，那么 a 的范圍是 _。A

3、. 0 a 1B. a 1C.a1D. 0a0 且 a 1， p loga(a3 a 1) ， q loga(a2a 1) ，則 p、 q 的大小關(guān)系是_。A. p qB. pqD.當(dāng) a1 時(shí)， pq；當(dāng) 0a1 時(shí)， p0、 a0、 a1、 0a1 兩種情況討論，選C；3 小題：分 x 在第一、二、三、四象限等四種情況，答案4,-2,0；4 小題：分 、 0 、40、 x0 兩種情況，選B；6 小題：分側(cè)面矩形長(zhǎng)、寬分別為2 和 4、或 4 和 2 兩種情況，選7 小題：分截距等于零、不等于零兩種情況，選C。、示范性題組：例 1.設(shè) 0 x0 且 a 1，比較 |loga(1 x)| 與|

4、loga(1 x)| 的大小。【分析】比較對(duì)數(shù)大小，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a 有關(guān)，所以對(duì)底數(shù) a 分兩類(lèi)情況進(jìn)行討論。【解】 0 x1 01 x1 當(dāng) 0a0 ， loga(1 x)1 時(shí)， loga(1 x)0 ，所以|loga(1x)| |loga(1 x)| loga(1 x)x2)0 ；由、可知， |loga(1 x)|loga(1 x)| 。【注】本題要求對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax 的單調(diào)性的兩種情況十分熟悉，即當(dāng)增函數(shù)，當(dāng) 0a1 時(shí)其是減函數(shù)。去絕對(duì)值時(shí)要判別符號(hào)，用到了函數(shù)的單調(diào)性；最后差值的符號(hào)判斷，也用到函數(shù)的單調(diào)性。例 2.已知集合 A 和集合 B 各含有12

5、 個(gè)元素， A B 含有 4個(gè)元素，試求同時(shí)滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件的集合C 的個(gè)數(shù)：. CAB 且 C 中含有 3 個(gè)元素；【分析】由已知并結(jié)合集合的概念，C 中的元素分兩類(lèi)：屬于而屬于 B 的元素。并由含A 中元素的個(gè)數(shù) 1、 2、3, 而將取法分三種。【解】 C1C2C2C1C3C0108412128128【注】本題是排列組合中“包含與排除”的基本問(wèn)題，正確地解題的前提是合理科學(xué)的分類(lèi)， 達(dá)到分類(lèi)完整及每類(lèi)互斥的要求，還有一個(gè)關(guān)鍵是要確定C 中元素如何取法。另一種解題思路是直接使用“排除法”，即 C3 C3 1084。208例3.設(shè) an 是 由 正 數(shù) 組 成 的 等 比 數(shù) 列 ， Sn是

6、前n 項(xiàng) 和 。 .證 明 ：lg Snlg Sn 20，使得lg(Snc)lg( Sn22（Sn 1 c）成立？并證明結(jié)論。(95 年全國(guó)理 )【分析】要證的不等式和討論的等式可以進(jìn)行等價(jià)變形；再應(yīng)用比較法而求解。其中在應(yīng)用等比數(shù)列前n 項(xiàng)和的公式時(shí)，由于公式的要求，分q1 和 q1 兩種情況。【解】設(shè) an的公比q，則a10，q0當(dāng) q 1時(shí)，Snna1，從而SnSn 2Sn 12na1(n2)a1 (n 1)2a1a120；a1(1qn)當(dāng) q 1 時(shí)， Sn，從而1qSS S2a12(1qn)(1qn2)a12(1qn 1)22qn0；n1 ann 2(1 q)2(1q)21由上可得

7、SSS2，所以lg(SnSn 2)lg(S2)，即lg Snlg Sn 2nn 2n 1n 12lg( Snc)lg( Sn2c). 要使 lg （Sn 1 c）成立，則必有 (Sn c)(S2(Sn 1 c)2,分兩種情況討論如下：當(dāng) q 1 時(shí)， Sn na1，則22(Sn c)(Sn 2 c) (Sn 1 c) (na1 c)(n 2)a1 c (n 1)a1 ca120當(dāng) q 1 時(shí)， Sa1(1 qn)，則 (Sc)(S c) (S c)2a1(1 qn)nnn 2n 1 1q1 qa1(1 qn 2)a1(1 qn1)2aqna c(1 q)cc c11q1q1 a1qn0 a1c

8、(1q)0即ca11q而 Sn c Sna1a1qn對(duì)數(shù)式無(wú)意義0, 使得lg（Sn1c）成立。2【注】本例由所用公式的適用范圍而導(dǎo)致分類(lèi)討論。該題文科考生改問(wèn)題為：證明log0.5Snlog0.5Sn 20 .5Sn 1，和理科第一問(wèn)類(lèi)似，只是所利用的是底數(shù)是 0.5log時(shí)，2對(duì)數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減。例 1、例 2、例 3 屬于涉及到數(shù)學(xué)概念、定理、公式、運(yùn)算性質(zhì)、法則等是分類(lèi)討論的問(wèn)題或者分類(lèi)給出的，我們解決時(shí)按要求進(jìn)行分類(lèi)，即題型為概念、性質(zhì)型。例 4.設(shè)函數(shù)f(x) ax2 2x 2，對(duì)于滿(mǎn)足1x0 ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。【分析】 含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域問(wèn)

9、題，需要先對(duì)開(kāi)口方向討論，再對(duì)其拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置與閉區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論，最后綜合得解。【解】當(dāng) a0 時(shí)， f(x)a（x1）21 1af (1) a22 01 4或af ( 4) 16a82014x14x1即 a1 a 1 或a1 或 ；22f (1) a22 0當(dāng) a1。2a 分 a0、 a0 時(shí)將對(duì)稱(chēng)軸與閉區(qū)間的關(guān)系分三種，即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間。本題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像，也可以看成是“數(shù)形結(jié)合法”的運(yùn)用。例 5. 解不等式( x 4a)( x6a)為常數(shù)，a10 (a)2a12【分析】含參數(shù)的不等式，參數(shù)a 決定了 2a1 的符號(hào)和兩根4a、 6a 的大

10、小，故對(duì)1a0、a0、 a 0、分別加以討論。【解】 2a 10 時(shí)， a122；4a0。所以分以下四種情況討論：2當(dāng) a0 時(shí)， (x 4a)(x 6a)0 ，解得： x6a；當(dāng) a 0 時(shí)， x20，解得： x 0；當(dāng)1a0 ，解得 : x 4a；2當(dāng) a1時(shí)， (x 4a)(x 6a)0 ，解得： 6ax0 時(shí)， x6a；當(dāng) a 0 時(shí)， x 0；當(dāng)a0 時(shí)， x214a；當(dāng) a時(shí)， 6ax0)， y2 2y a解得：y 11a（ 0a 1）由上可得， z ( 11a)或(11a) 【注】本題用標(biāo)準(zhǔn)解法（設(shè) z xy再代入原式得到一個(gè)方程組，再解方程組）過(guò)程十分繁難，而挖掘隱含，對(duì) z

11、分兩類(lèi)討論則簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)問(wèn)題。【另解】設(shè) z xy，代入得x2 y2 2x2y2 2xy a；x2y22x2y2a2xy0當(dāng) y 0 時(shí)， x22|x| a，解得x ( 11a) ，所以 z ( 11a) ；當(dāng) x 0 時(shí)，y2 2|y|a，解得 y (1 1a) ，所以 (1 1a) 。由上可得， z ( 11a)或(11a) 【注】此題屬于復(fù)數(shù)問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)解法，即設(shè)代數(shù)形式求解。其中抓住2xy 0 而分x 0和 y0 兩種情況進(jìn)行討論求解。實(shí)際上，每種情況中絕對(duì)值方程的求解，也滲透了分類(lèi)討論思想。例7.在xoy平面上給定曲線(xiàn)y22x，設(shè)點(diǎn)A(a,0)， a R，曲線(xiàn)上的點(diǎn)到點(diǎn)A 的距離的最小值

12、為f(a)，求 f(a)的函數(shù)表達(dá)式。（本題難度0.40 ）【分析】求兩點(diǎn)間距離的最小值問(wèn)題，先用公式建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件 x0 下的最小值問(wèn)題，而引起對(duì)參數(shù)a 的取值討論。【解】設(shè)M(x,y)為曲線(xiàn)y2 2x上任意一點(diǎn)，則|MA|2(x a)2y2(xa)22xx22(a1)x a2 x (a 1)2(2a1)由于y2 2x限定 x 0，所以分以下情況討論：當(dāng) a 1 0 時(shí)， x a 1 取最小值，即 |MA2min 2a1；當(dāng) a 10 時(shí)， x 0 取最小值，即 |MA2min a2；綜上所述，有2a 1( a 1 時(shí) )f(a) 。|a|( a1 時(shí) )【注】本題解題的基本思路是先建立目標(biāo)函數(shù)。求二次函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題我們十分熟悉，但含參數(shù) a，以及還有隱含條件 x 0 的限制，所以要從中找出正確的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，從而得到 d f(a) 的函數(shù)表達(dá)式。、鞏固性題組：1. 若 loga2loga(x2a)(a0且 a1)11.設(shè)首項(xiàng)為1，公比為 q (q0) 的等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和為 S，又設(shè)TnSn