1、課時作業(三十二)1已知ABC中，(·)(·)(·)123，則ABC的形狀為()A鈍角三角形B等邊三角形C直角三角形 D非等腰銳角三角形答案D解析設·k，故a2c2b22k，同理可得a2b2c24k，b2c2a26k聯立解得a23k，b25k，c24k.故最大角的余弦cosB>0，故選D.2在ABC中，若2···，則ABC是()A等邊三角形 B銳角三角形C鈍角三角形 D直角三角形答案D解析由已知，2····()·2·，·0.3設O點在三角形ABC內部

2、，且有230，則三角形ABC的面積與三角形AOC的面積之比()A2 B.C3 D.答案C解析聯想三角形ABC重心滿足0可延長OB至E使2延長OC至F使3，則O為三角形AEF的重心從而SAOCSAOFSAEF，SAOBSAOESAEF，SBOCSBOFSAEF.SABCSAOCSAOBSBOCSAEF.4(2010·湖南卷改編)已知A，B是圓心為C半徑為的圓上兩點，且|，則·等于()AB.C0 D.答案A解析本題考查向量的數量積的運算由于弦長|AB|與半徑相同，則ACB60°··|·|·cosACB··co

3、s60°.5已知a，b是兩個非零向量，給定命題p：|a·b|a|b|，命題q：tR，使得atb，則p是q的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案C解析|a·b|a|b|cos|a|b|，0°或180°，即a，b共線tR，使得atb成立p是q的充分條件若tR，使得atb，則a，b共線|a·b|a|b|.p是q的必要條件綜上可知，p是q的充要條件6若O是ABC所在平面內一點，且滿足|2|，則ABC的形狀是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等邊三角形答案B解析2，|2|2·0，

4、三角形為直角三角形，故選B.7已知兩個非零向量a(m1，n1)，b(m3，n3)，且a與b的夾角是鈍角或直角，則mn的取值范圍是()A，3 B2,6C(，3) D(2,6)答案B解析根據a與b的夾角是鈍角或直角得a·b0，即(m1)(m3)(n1)(n3)0.整理得(m2)2(n2)22.所以點(m，n)在以(2,2)為圓心，為半徑的圓上或圓內令mnz，nmz表示斜率為1，在縱坐標軸上的截距為z的直線，根據線性規劃知識得2mn6.8在ABC中，·3，ABC的面積S，則與夾角的取值范圍是()A，B，C， D，答案B解析設，因為·|·|·cos3|

5、·|，又S|·|·sin()··sin()tan，而Stantan1.故選B.9如圖所示，E、F、G、H分別是四邊形ABCD的所在邊的中點，若()·()0，則四邊形EFGH是()A平行四邊形，但不是矩形B矩形C菱形D正方形答案B解析，且()·()0，·0，即.又E、F、G、H為四邊形ABCD四邊的中點，.故四邊形EFGH為平行四邊形且，即為矩形10已知非零向量與滿足()·0且·，則ABC為()A三邊均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等邊三角形 D等邊三角形答案D分析本題可先由條件的幾何意義得

6、出ABAC，再求得A，即可得出答案解析因為非零向量與滿足()·0，所以BAC的平分線垂直于BC，所以ABAC.又cosBAC·，所以BAC.所以ABC為等邊三角形故選D.11已知|a|2|b|0，且關于x的方程x2|a|xa·b0有實根，則a與b的夾角的取值范圍是()A0， B，C， D，答案B解析|a|2|b|0，且關于x的方程x2|a|xa·b0有實根，則|a|24a·b0，設向量a·b的夾角為，cos，12已知坐標原點為O，拋物線y22x與過焦點的直線交于A、B兩點，則·等于_答案解析設A(，y1)，B(，y2)，則(

7、，y1)，(，y2)又由y1y2p21，·(，y1)·(，y2)yyy1y21.13已知向量i和j為互相垂直的單位向量，向量ai2j，bij，a與b的夾角為銳角，則實數的取值范圍是_答案(，2)(2，)解析0<a，b<，0<cosa，b<1，0<<1，即0<<1，解得<且2，的取值范圍是(，2)(2，)14已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x1,0,1,2，y1,0,1，求向量ab的概率；(2)若x1,2，y1,1，求向量a，b的夾角是鈍角的概率解析(1)設“ab”為事件A，由ab，得x2y.基本事件空間為1(1

8、，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)，(2,1)，共包含12個基本事件其中A(0,0)，(2,1)，包含2個基本事件，則P(A)，即向量ab的概率為.(2)設“a，b的夾角是鈍角”為事件B，由a，b的夾角是鈍角，可得a·b<0，即2xy<0，且x2y.基本事件空間為2(x，y)|，B(x，y)|，如圖所示，則P(B)，即向量a，b的夾角是鈍角的概率是.15(2013·煙臺調研)已知向量m(ac，b)，n(ac，ba)，且m·n0，其中A，B，C是ABC的內角，a，

9、b，c分別是角A，B，C的對邊(1)求角C的大小；(2)求sin Asin B的取值范圍解(1)由m·n0，得(ac)(ac)b(ba)0a2b2c2ab.由余弦定理，得cosC.0<C<，C.(2)C，AB.sinAsinBsinAsin(A)sinAsincosAcossinAsinAcosA(sinAcosA)sin(A)0<A<，<A<.<sin(A)1.<sin(A)，即<sin Asin B.16在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足(2ac)cosBbcosC.(1)求B的大小；(2)設m(sinA，c

10、os2A)，n(4k,1)(k>1)，且m·n的最大值是5，求k的值解析(1)(2ac)cosBbcosC，(2sinAsinC)cosBsinBcosC，即2sinAcosBsinBcosCsinCcosBsin(BC)ABC，2sinAcosBsinA.0<A<，sinA0，cosB.0<B<，B.(2)m·n4ksinAcos2A2sin2A4ksinA1，A(0，)，設sinAt，則t(0,1則m·n2t24kt12(tk)212k2，t(0,1k>1，t1時，m·n取最大值依題意得(m·n)max2

11、4k15，k.1在平行四邊形ABCD中，a，b，則當(ab)2(ab)2時，該平行四邊形為()A菱形 B矩形C正方形 D以上都不正確答案B解析數形結合，在平行四邊形中，ab，ab，由|ab|ab|，|，對角線相等的平行四邊形為矩形，故選B.2(2013·唐山統考)在邊長為1的正三角形ABC中，x，y，x>0，y>0，且xy1，則·的最大值為()A BC D答案D解析建立如圖所示的直角坐標系，則A(，0)，B(，0)，C(0，)，設D(x1,0)，E(x2，y2)，x，(x1，0)x(1,0)，x1x.y，(x2，y2)y(，)x2y，y2y.·(x1，

12、)·(x2，y2)(x1，)·(y，y)(x，)·(1，x)(x2x1)(x)2.0<x<1，當x時，·取得最大值.故選D.3已知向量a，b滿足|a|2|b|0，且關于x的函數f(x)2x33|a|x26a·bx5在實數集R上單調遞增，則向量a，b的夾角的取值范圍是()A0， B0，C(0， D，答案B解析f(x)6x26|a|x6a·b，由36|a|24×6×6|a|·|b|cosa，b0，且|a|2|b|0.得cosa，b，故選B.4設G是ABC的重心，且(56sinA)(40sinB)(

13、35sinC)0，則B的大小為()A15°B30°C45° D60°答案D解析G為ABC的重心，0.56sinA40sinB35sinC，結合正弦定理有56a40b35c，ab，cb，由余弦定理有cosB，B60°.5設P是ABC所在平面內的一點，2，則()A.0 B.0C.0 D.0答案B解析根據向量加法的幾何意義2P是AC的中點，故0.6設向量a(3，)，b為單位向量，且ab，則b()A(，)或(，)B(，)C(，)D(，)或(，)答案D解析設b(x，y)，由ab可得3yx0.又x2y21，得b(，)或b(，)，故選D.7已知三點A(2,3

14、)，B(1，1)，C(6，k)，其中k為常數若|，則與的夾角的余弦值為()A B0或C. D0或答案D解析由|解得k0或6，當k0時，與的夾角為，其余弦值為0；當k6時，與的夾角余弦值為.8已知a(，)，b(1，)，則|atb|(tR)的最小值等于()A1 B.C. D.答案B解析方法一atb(t，t)，|atb|2(t)2(t)24t22t14(t)2.當t時，|atb|2取得最小值，即|atb|取得最小值.故選B.方法二如圖所示，a，b，在OB上任取一點T，使得tb(t<0)，則|atb|，顯然，當ATOB時，取最小值由·(atb)·ba·btb20，得

15、t.當t時，|atb|取得最小值.9(2011·浙江理)若平面向量，滿足|1，|1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是_答案，解析對于以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積S|·sin，×2|sin，因此sin，1，因此與的夾角的取值范圍是，10(2011·江西理)已知|a|b|2，(a2b)·(ab)2，則a與b的夾角為_答案解析由|a|b|2，(a2b)·(ab)2，得a·b2·cosa，b，所以a，b60°.11已知a(1,2)，b(1,1)，且a與ab的夾角為銳角，求實數的取值

16、范圍解析a與ab均不是零向量，夾角為銳角，a·(ab)>0,3>5，>.當a與ab共線時，abma，即(1，2)m(1,2)由得0，即當0時，a與ab共線0.故>且0.12已知ABC內接于以O為圓心，1為半徑的圓，且3450.(1)求數量積·，·，·；(2)求ABC的面積解析(1)|OA|OB|OC|1，由條件可得345，兩邊平方得9|224·16|225|2.·0.同理可得·，·.(2)由·0，可得.SAOB|.由·，得cosBOC.sinBOC.SBOC|sinBOC

17、.由·，得cosCOA，sinCOA.SAOC|sinCOA，即可得SABCSAOBSBOCSCOA.小結由a與ab的夾角為銳角，可得a·(ab)>0，但由a·(ab)>0，并不能推得a與ab的夾角為銳角，如0時，a·(a·b)>0，但此時夾角為0，所以a·(ab)>0僅是a與ab夾角為銳角的必要條件，而不是充分條件三角形的“心”的向量表示及應用1三角形各心的概念介紹重心：三角形的三條中線的交點；垂心：三角形的三條高線的交點；內心：三角形的三個內角角平分線的交點(三角形內切圓的圓心)；外心：三角形的三邊的垂直平

18、分線的交點(三角形外接圓的圓心)根據概念，可知各心的特征條件比如：重心將中線長度分成21；垂線與對應邊垂直；角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；外心到三角形各頂點的距離相等2三角形各心的向量表示(1)O是ABC的重心0；(2)O是ABC的垂心···；(3)O是ABC的外心|(或222)；(4)O是ABC的內心·()·()·()0.注意向量()(0)所在直線過ABC的內心(是BAC的角平分線所在直線)1將平面向量與三角形內心結合考查例1O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足()，(0，)，則點P的軌跡一定通過A

19、BC的()A外心B內心C重心 D垂心【解析】因為是向量的單位向量，設與方向上的單位向量分別為e1和e2，又，則原式可化為(e1e2)，由菱形的基本性質可知AP平分BAC，那么在ABC中，AP平分BAC，故選B.【答案】B2將平面向量與三角形垂心結合考查例2點P是ABC所在平面上一點，若···，則點P是ABC的()A外心 B內心C重心 D垂心【解析】由··，得··0，即·()0，即·0，則PBCA.同理PABC，PCAB，所以P為ABC的垂心故選D.【講評】本題考查平面向量有關運算，及“數量積為零，則兩向量

20、所在直線垂直”、三角形的垂心的定義等相關知識將三角形的垂心的定義與平面向量有關運算及“數量積為零，則兩向量所在直線垂直”等相關知識巧妙結合【答案】D3將平面向量與三角形重心結合考查例3點P是ABC所在平面內任一點G是ABC的重心()【證明】3()()點G是ABC的重心，00，即3，由此得()反之亦然(證略)4將平面向量與三角形外心結合考查例4若O為ABC內一點，|，則O是ABC的()A內心 B外心C垂心 D重心【解析】由向量模的定義知O到ABC的三頂點距離相等，故O是ABC的外心，故選B.【答案】B5將平面向量與三角形四心結合考查例5已知向量，滿足條件0，|1，求證：P1P2P3是正三角形【證明】由已知條件可得，兩邊平方得·.同理··.|.從而P1P2P3是正三角形1O為空間中一定點，動點P在A、B、C三點確定的平面內且滿足()·()0，則點P的軌跡一定過ABC的()A外心 B內心C重心 D垂心答案D2已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是ABC的重心，動點P滿足(2)，則點P一定為三角形ABC的()AAB邊中線的中點BAB邊中線的三等分點(非重心)C重心DAB邊的中點答案B解析取AB邊中點M，則2.由(2)，可得332，即點P為ABC中AB邊上的中線的一個三等分點，且點P不