1、第6節 等差數列的性質【基礎知識】1.等差數列的性質:(1在等差數列n a 中,從第2項起,每一項是它相鄰二項的等差中項;(2在等差數列n a 中,相隔等距離的項組成的數列是等差數列, 如:1a ,3a ,5a ,7a ,;3a ,8a ,13a ,18a ,;(3在等差數列n a 中,對任意m ,n N +,(n m a a n m d =+-,n m a a d n m-=-(m n ; (4在等差數列n a 中,若m ,n ,p ,q N +且m n p q +=+,則m n p q a a a a +=+,特殊地,2m p q =+時,則2m p q a a a =+,m a 是p q

2、 a a 、的等差中項.(5等差數列被均勻分段求和后,得到的數列仍是等差數列,即232,n n n n n S S S S S -成等差數列.(6兩個等差數列n a 與n b 的和差的數列n n a b ±仍為等差數列.(7若數列n a 是等差數列,則n ka 仍為等差數列.2.設數列n a 是等差數列,且公差為d ,(若項數為偶數,設共有2n 項,則-S S nd =奇偶; 1n n S a S a +=奇偶;(若項數為奇數,設共有21n -項,則S S -偶奇n a a =中(中間項;1S n S n =-奇偶. 3.(,p q a q a p p q =,則0p q a +=,

3、m n m n S S S mnd +=+.4.如果兩個等差數列有公共項,那么由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列,且新等差數列的公差是兩個原等差數列公差的最小公倍數.5.若n a 與n b 為等差數列,且前n 項和分別為n S 與'n S ,則2121'm m m m a S b S -=. 【規律技巧】1. 等差數列的性質是等差數列的定義、通項公式以及前n 項和公式等基礎知識的推廣與變形,熟練掌握和靈活應用這些性質可以有效、方便、快捷地解決許多等差數列問題.2.等差數列的性質多與其下標有關,解題需多注意觀察,發現其聯系,加以應用, 故應用等差數列的性質解答問題的關鍵是

4、尋找項的序號之間的關系.3.應用等差數列的性質要注意結合其通項公式、前n 項和公式.4.解綜合題的成敗在于審清題目,弄懂來龍去脈,透過給定信息的表象,抓住問題的本質,揭示問題的內在聯系和隱含條件,明確解題方向、形成解題策略.【典例講解】【例1】 (1設S n 為等差數列a n 的前n 項和,S 8=4a 3,a 7=-2,則a 9=( A .-6B .-4C .-2D .2【答案】A(2(2014·浙江卷已知等差數列a n 的公差d >0.設a n 的前n 項和為S n ,a 1=1,S 2·S 3=36.求d 及S n ;求m ,k (m ,k N *的值,使得a

5、m +a m +1+a m +2+a m +k =65.規律方法 (1一般地,運用等差數列性質,可以化繁為簡、優化解題過程.但要注意性質運用的條件,如m +n =p +q ,則a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q N *,只有當序號之和相等、項數相同時才成立.(2在求解等差數列基本量問題中主要使用的是方程思想,要注意公式使用時的準確性與合理性,更要注意運算的準確性.在遇到一些較復雜的方程組時,要注意整體代換思想的運用,使運算更加便捷.【變式探究】 (1設數列a n ,b n 都是等差數列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,則a 37+b 37等于(

6、A .0B .37C .100D .-37(2若一個等差數列前3項的和為34,最后3項的和為146,且所有項的和為390,則這個數列的項數為( A .13B .12C .11D .10(3已知等差數列a n 的前n 項和為S n ,且S 10=10,S 20=30,則S 30=_.【答案】(1C (2A (360【針對訓練】1、在等差數列n a 中,已知3810a a +=,則753a a += ( A .10B .18C .20D .28【答案】C【解析】因為3810a a +=,所以由等差數列的性質,得5610a a +=,所以753a a +=562220a a +=,選C.2、在等差數

7、列n a 中,若58113a a a +=,則該數列的前15項的和為_.【答案】15【解析】因為在等差數列n a 中,若58113a a a +=.所以8833,1a a =.又因為等差數列的前15項和為1158158(152*a a a S a +=.故填15. 3、設等差數列n a 的前n 項和為n S ,若911a =,119a =,則19S 等于 .a a a +=,191019190S a =. 綜合點評:這些題都是等差數列的性質的應用,熟記等差數列的性質,并能靈活運用是解這一類題的關鍵,注意等差數列與等比數列的性質多與其下標有關,解題需多注意觀察,發現其聯系,加以應用. 網Z+X+

8、X+K【鞏固提升】1、等差數列n a 中的1a 、4025a 是函數16431(23-+-=x x x x f 的極值點,則=20132log a ( A .B .C .D .【答案】A2、設n S 為等差數列n a 的前n 項和,給出四個結論:(12810a a a +(22(0n S an bn a =+(3若,*m n p q N ,則m n p q a a a a +=+的充要條件是m n p q +=+(4若611S S =,則90a =其中正確命題的個數為( A .1B .2C .3D .4【答案】A3.已知a n 是等差數列,a 1=1,公差d0,S n 為其前n 項和,若a 1,a 2,a 5成等比數列,則S 8=_.【答案】64 【解析】設數列a n 的公差為d ,由a 1,a 2,a 5成等比數列,得(1+d2=1·(1+4d,解得d =2或d =0(舍去,所以S 8=8×1+8(8-12×2=64. 4.在等差數列a n 中,a 15=33,a 25=66,則a 35=_.【解析】a 25-a 15=10d =66-33=33,a 35=a 25+10d =66+33=99.【答案】995.設S n 為等差數列a n 的前n 項和,S 2=S 6,a 4=1