1、2.5信號流圖與梅森公式2.5.1信號流圖信號流圖是表示復雜的又一種圖示方法信號流圖相對于結構圖更簡便明了，而且不必對圖形進行簡化，只要根據統一的公式，就能方便地求出系統的傳遞函數1.信號流圖的組成及基本性質信號流圖由節點和支路組成一個節點代表系統中的一個變量，用小圓圈”O”表示;連接兩個節點之間有箭頭的定向線段為支路支路相當于信號乘法器，乘法因子（或支路增益）表在支路上；信號只能沿箭頭單方向傳遞，經支路傳遞的信號應乘以乘法因子；只有輸出支路，無輸入支路的節點稱為輸入節點，代表系統的輸入變量；只有輸入支路，無輸出支路的節點稱為輸出 節點，代表系統的輸出變量；既有輸入支路，也有輸出支路的節點稱為

2、混合節點信號流圖的特征描述還需要以下專用術語 ：前向通路信號從輸入節點到輸出節點傳遞時，對任何節點只通過一次的通路稱為前向通路而前向通路上各支路增益之積，為前向通路總增益回路 如果信號傳遞通路的起點和終點在同一節點上，且通過任何一個節點不多于一次的閉合通路稱為單獨回路，簡稱回路回路中各支爐增益的乘積稱為回路增益不接觸回路兩個或兩個以上回路之間沒有任何公共節點，此種回路稱為不接觸回路由圖2-31的信號流圖可以說明以上的基本元素，即X 1X 2X 3X 4X7是節點；a，b，c，d，h，j 為支路增益；Xi，X4為輸入節點；X 7為輸入節點；X 2X 3X 5X 6為混合節點。信號流圖共有三條前向

3、通道，第一條是 X1 >X 2 >X3 >X5 >X6 >X 7 ；第二條是X 1_.X 3 _.X 5_.x 6_.x 7 ；第三條是 X 4r X 2_.x 3_.x 5r X 6_.x 7。有兩個單獨回路，一個是 X 5 >X 6 >X 5，起點和終點是X 5 ；另一個起點、終點在 X 3的 自回路。而且這兩個回路無公共節點，是不接觸回路。圖2-31信號流圖注意：對于確定的控制系統，其信號流圖不是唯一的。2.5.2信號流圖的繪制信號流圖可以根據系統方框圖的繪制，也可以根據數學表達式繪制。1 .根據系統方框圖繪制將方框圖中比較點和引出點分別作為信號

4、流圖的節點，方框圖中的方框變為信號流圖中 標有傳遞函數的線段，便得到支路。若在方框圖的比較點之前沒有引出從系統方框圖繪制信號流圖是時應盡量精簡節點數目。點，但在比較點之后有引出點時，只需在比較點之后設置一個節點即可，如圖2-32 (a)所示；若方框圖的比較點之前有引出點，就需要在比較點和引出點處各設一個節點，分別表示兩個變量，兩個節點之間的增益是1如圖2-32(b)所示。<=>圖2-32比較點與節點對應關系亠 % (I1ej巧J-q(b)系統結構圖如圖2-33所示，其對應的信號流圖如圖2-34所示。圖2-33比較點與節點對應關系2 .根據系統方程繪制信號流圖某線形系統由下方程組描述

5、X 2 二 aX iX 3 = bX 2 eX 4X 4 二 CX 2 dX 3 fX 4根據系統(2-55),首先確定接點Xi,X 2,X3,X 4 ，然后繪制式(2-55)中各方程信號流圖，如圖2-35 (a) ,(b),(c),所示；最后將各個圖連接起來，即得到系統的信號流圖，如圖2-35 (d)所示。X i為輸入變量，X 4為輸出變量。圖2-35系統信號流圖如果采用克萊姆法則求解，將輸入變量Xi留到方程右側，其余移到方程左邊經整理式( 2-55)變為X 2 = aX i-bX 2X3_eX4 = 0_bX 2 x 3 _eX 4 = 0上述方程組的系數行列式為10 = b1_c - d

6、10亠=一b1-c - d0一 e = -de +1 f1 - fa%0= -abd Xt + acXt0則有從上式求解過程可知，系數行列式與信號流圖之間有一種巧妙的關系，首先作為傳遞函數分母的系數行列式厶，其中的兩項恰巧與信號流圖中的兩各回路增益之和相對應，即(f de)。其次，作為傳遞函數分子系數行列式的系數，其中的兩項恰好與信號流圖中的兩個前向通道總增益之和相對應，即abd - ac。這種對應關系，為我們直接從信號流圖采用觀察的方法，求區系統的傳遞函數提供了一般規律，這就是梅森公式的基本指導思想。2.5.3梅森公式即任意兩個節點之間的總增益。由信號流圖可以得到任意輸入接點之間的傳遞函數,

7、 意兩個節點之間傳遞函數的梅森增益公式為n1PP4.：k厶k 2式中：P為從輸入節點到輸出節點的總增益（或傳遞函數） n為從輸入節點到輸出節點的前向通道條數；注=17 LaLbLc 7 LdLeLf 為系統特征式，其中7 La為系統流圖中所有單獨回路的增益之和；、LbLc為所有兩個互不接觸回路的回路增益乘積之和；'、 LdLeLf為所有三個互不接觸回路的回路增益乘積之和；Pk為第k條的前向通道增益；卸為第k條前向通道的余因子，即在信號流圖中，把與第k條前向通道相接觸的回路除去以后的厶值。例2-11如圖2-36所示信號流圖，求輸入節點到輸出節點的傳遞函數。圖2-36例2-11的系統信號流

8、圖解根據梅森增益公式，從輸入節點到輸出節點之間，只有一條前向通道，其增益為P1 二 G G 2G 3G 4有三個單獨回路，即L = -G 2 G 3H 1， L2= -G 3G 4H 2， L2 = -G 1G 2G 3G 4H 3其回路之和為La = _G1G2 H _ G 3G 4H - G1G2G 3G4H 3這三個回路都有公共點，所以不存在互不接觸電路。于是特征式為：=1La =1 G1G2H 1 G 3G4H 2 G1G2G3G4H 3因為這三個回路都和前向通道接觸，所以其余因子式 ，最后得到輸入節點到輸出節點的總增益P即系統傳遞函數為P1A1G 1G 2G 3G 4P 二1 G 1

9、G 2H 1 ' G 3G 4 H 2 AG1G2G3G4H 3例2-12 求圖2-37所示信號流圖的傳遞函數。圖2-37例2-12的系統信號流圖解 由圖2-37知，系統有4個單獨回路，分別為L1 =af,L2=bg,L3 =ch,L4 = eghf其回路之和為' La=Li 亠 L2 亠 L3 亠 L4=af 亠 bg 亠 ch 亠 ehgf只有Li與L3回路互不接觸，所以兩兩互不接觸回路增益乘積為L iL 3 = afch于是特征式為= 1 - af - bg -ch - ehgf 亠 afch有兩個前向通道，分別為P i = abcd ， P 2 = ed第一條前向通道與

10、所有回路都接觸，第二條前向通道與回路L2 =bg 不接觸，因此L1 = 1,匚2 = 1 bgabcd ed (1bg)系統的總增益即傳遞函數為P = 2(P1：1 P2. ：2):l1 - af - bg - ch - ehgf 亠 afch5(1 +K 1S)(1 + K 2s)L 25(1 - K1s)(1 - K 2s)別為2 s5(1 - K1S)(1 - K 2 s)1 亠 K is5(1 + K 2s)L 4 二一L 5ss其增益之和為y La = Ll+L2+L3 + L4 + L5沒有互不接觸回路，系統特征式為5(1 Kis)(1 K2S)5(1 K1S)(1 K 2s)5(

11、1 K 1s)(1 K 2s)1 K 1s 1 K2S 5()ss2s -15(1 K1S)(1 K2S)s(1 K1S)5s(1 K 2s)前向通道有4條，分別為1 +K 1S P1s1 + K 2sP2=5()sP3 =-5(1 - K1S)(1 - K 2s)2s5(1 +K1S)(1 +K2S)P4 2s4個前向提到與所有的單獨回路都接觸，因此二 1 =1,二2 =1丄3 =1,二 4 =1由梅森公式得系統傳遞函數為G(s)二 P1(P1 ：.1 ：卜 P 2 ".2 ：卜 P 3 ：.3 ：； P 4 4)：- A1s(1 K1S)5s(1 K 2s) 10(1 K1S)(1 K2S)s(1 K1S) 5s(1 K2S) -10(1 K1S)(1 K 2S)2s s(1 K1S) 5s(1 K2S) -15(1 K 1S)(1 K 2s)對于單位負反饋系統，有門(s)二G(s)1 G(s)式中G (s)為系統的開環傳遞函數，則$ (s)s(1 - K is) - 5s(1 - K 2S)10 (1 - K is)( 1 K 2s)G (s)2