1、2指數擴充及其運算性質1指數概念的擴充(1)整數指數冪正整數指數冪：一個數a的n次冪等于n個a的連乘積，(nN)，a叫作冪的底數，n叫作冪的指數，an讀作“a的n次冪”零指數冪：任何一個不為零的數的0次冪都等于1，即a01(a0)負整數指數冪：一個數的負整數次冪等于這個數的正整數次冪的倒數，即an (a0，nN)(2)分數指數冪給定正實數a，對于任意給定的整數m，n(m，n互素)，存在唯一的正實數b，使得bnam，我們把b叫作a的次冪，記作.它就是分數指數冪對分數指數冪概念的兩點說明：分數指數冪不是個相同因式a相乘，它實質上是關于b的方程bnam的解為什么分數指數冪的定義中規定b0?剖析：由整

2、數指數冪的規定知，當a0時，對任意整數m，總有amb0，當n為正整數時，bn0，此時bnam；當n為負整數或零時，bn無意義，bnam無意義若b0，當n為奇數時，bn0，此時bnam；當n為偶數時，雖然bnam成立，但此時，0bb0.談重點 分數指數冪與根式的互化有時我們把正數的正分數指數冪寫成根式形式，即(a0，m，nN，且n1)正數的負分數指數冪的意義與負整數指數冪的意義相仿，即(a0，m，nN，且n1)在這樣的規定下，分數指數冪可以看作是根式的一種新的寫法，它們表示的意義相同，只是形式上不同而已另外，我們規定：0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義(3)無理數指數冪當a0，p是

3、一個無理數時，ap的值就可用兩個指數為p的不足近似值和過剩近似值構成的有理數冪序列無限逼近而得到(這個逼近結果的極限就等于ap)，故ap是一個確定的實數(4)實數指數冪：規定了分數指數冪的概念后，指數概念就實現了由整數指數冪向有理數指數冪的擴充；規定了無理數指數冪后，指數概念就由有理數指數冪擴充到了實數指數冪自然地，對于任意的實數，有11和a(a0)【例11】把下列各式中的b寫成分數指數冪的形式(b0)：(1)b34；(2)b25；(3)bm32n(m，nN)分析：根據分數指數冪的概念可知，若bnam(a0，b0，mZ，nZ)，則b.解：(1)b；(2)b；(3).【例12】用分數指數冪表示下

4、列各式：(1)；(2)；(3)；(4).分析：用分數指數冪表示根式時，要緊扣分數指數冪的根式形式(a0，m，nN且n1)在中指數的分母n是開方次數，分子m是被開方數的乘方次數解：(1)；(2)；(3)；(4).【例13】求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4).分析：求的值，可緊扣分數指數冪的概念，即滿足bnam時，b(m，nZ，a0，b0)；也可將分數指數冪寫成根式的形式再求值解：(方法1)(1)設x，則x36424 096，又1634 096，x16，即16；(2)設，則x4811，又，即；(3)設，則x31251，又，即；(4)設，則x38264，又4364，x4，即.(方法2)(

5、1)；(2)；(3)；(4).2指數運算的性質(1)正整數指數冪的運算性質am·anamn；(am)namn；(ab)nanbn；當a0時，有n(b0)其中m，nN.(2)實數指數冪的運算性質當a0，b0時，對任意實數m，n都滿足以下三條：am·anamn(兩個同底數的冪相乘，底數不變，指數相加)；(am)namn(冪的乘方，底數不變，指數相乘)；(ab)nanbn(兩個實數積的冪等于它們冪的積)破疑點 指數運算性質的理解1在實數范圍內，性質n可歸入性質(ab)nanbn(其中a0，b0)這是因為n(ab1)nan·(b1)nanbn可由性質(ab)nanbn推出

6、2在實數范圍內，性質可歸入性質am·anamn(其中a0)這是因為，當mn時，am·anam(n)amn；當mn時，am·anam(n)amna01；當mn時，am·anam(n)amna(nm)都可由性質am·anamn推出(3)在實數指數冪的運算性質中為何規定a0，b0剖析：這是由分數指數冪的定義決定的，因為我們規定a0時表示一個根式，負數的分數指數冪的意義并沒有定義，指數冪的運算性質不作這樣的限制的話，就會出現運算上的錯誤例如：2，顯然這是錯誤的【例21】用分數指數冪的形式表示下列各式(式中a0)(1)；(2)；(3).分析：先利用分數指

7、數冪與根式的互化關系將根式化為分數指數冪的形式，再根據指數運算的性質化簡解：(1)；(2)；(3).析規律 的應用此類問題應熟練應用(a0，m，nN，且n1)當各式中含有多重根號時，要搞清被開方數，由里向外用分數指數冪寫出，然后再利用指數運算的性質化簡【例22】設a0，將表示成分數指數冪，其結果是()ABC D解析：.答案：C【例23】求下列各式的值(1)；(2)；(3)；(4).解：(1)2×36；(2)；(3)；(4).析規律 含根式的式子如何化簡對于含有根式的式子化簡問題，常把根式化成分數指數冪的形式；熟練掌握指數的運算性質并靈活應用3利用指數運算性質化簡或求值的方法(1)在進

8、行指數冪和根式的混合運算時，一般要先將根式化為分數指數冪，然后根據指數冪的運算性質進行運算當化簡式含有多重根號時，要遵循由內向外的原則，逐層脫去根號(2)進行指數運算時，一般化負指數為正指數冪，化根式為分數指數冪，化小數為分數幾個冪相乘時，要特別注意幾個冪底數的關系，能統一底數的要統一底數，再利用指數運算性質化簡(3)運算結果不強求一致，若題目給出的是分數指數冪的形式，結果一般也用分數指數冪形式；若題目給出的是根式形式，結果一般也用根式形式；若題目給出的是指數與根式的混合形式，最后結果一般保留分數指數冪的形式值得注意的是，結果不能同時含有根號和分數指數冪，也不能既有分母又含負指數冪，能合并同類

9、項的必須合并【例3】化簡或求值(1)；(2)(0.25)625；(3)；(4)；(5) (a0)；(6).解：(1)原式；(2)原式2350；(3)原式；(4)原式a0b01；(5)原式；(6)原式.4給值求值問題已知代數式的值求其他代數式的值，通常又簡稱為“知值求值”，解決此類題目要從整體上把握已知的代數式和所求的代數式的特點與聯系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值要注意正確地變形，像平方、立方等一些公式的應用問題，還要注意開方時的取值符號問題例如，已知，求下列各式的值：(1)aa1；(2)a2a2；(3) .顯然，從已知條件中解出a的值，然后再代入求值，這種方法是不可取的，

10、而應設法從整體尋求結果與條件的聯系，進而整體代入求值將兩邊平方，得aa129，即aa17.再將上式平方，有a2a2249，即a2a247.由于，所以有aa118.【例41】已知2x2x5，求(1)4x4x；(2)8x8x.解：(1)4x4x(22)x(22)x(2x)2(2x)2(2x)22×2x×2x(2x)22(2x2x)2252223.(2)8x8x(23)x(23)x(2x)3(2x)3(2x2x)(2x)22x×2x(2x)2(2x2x)(4x4x1)5×(231)110.析規律 平方法在求值中的應用遇到式子中含有指數互為相反數的數，通常用平方法進行解決，平方后觀察條件和結論的關系，變形求解即可本題中用到了兩個公式(ab)2a22abb2，a3b3