1、第 23 講 三角不等式競賽熱點含有未知數的三角函數的不等式叫做三角不等式。在高中數學競賽內容中，涉及三角不等式的問題有三類：一是三角不等式的證明，二是解三角不等式，三是應用三角不等式求最值。處理三角不等式的問題一方面要有扎實的三角變形能力，另一方面還需要有三角函數的圖象和性質的認識。同時，對不等式的有關性質和證明方法要能靈活運用。解題示范例 1：已知 nN ， n2 ，求證： cos 1 cos 1cos12 .23n3思路分析：本題從三角變形入手不易，不可考慮利用sin xx 放縮，轉化為代數不等式。證明：因為 01n1111.n132所以sin 11 .0kk又11 sin2 11(k1

2、)(k1) .cos21kkk 2k 2所以11cos121324n 1 n 1(coscos)(?)(? )(n?)23n2233n(1 ?2 ?3n 1)( 3 ? 4 ? 5 n 1)234n234nn11(2)2.2n23即1112coscoscos.23n3點評：此題應用三角函數中重要的不等式：若x(0,)，則 sin xxtan x. 此結論的應用，將三角不等式轉化為代數不等式，疊乘即證得。2例 2：當1,2,30, n時，求證：sin1sin2sin3 3 sin123.3思路分析；利用和差化積公式和變為乘積的形式，再放縮證明。證明：因為sin1sin2sin3sin12332s

3、in12 cos1222sin1243 cos 12232662 sin122 sin1243264 sin12312233cos64 sin1233所以1 sin 2sin3 sin3 .sin3123引申：此證明中利用cos1進行放縮，從證明過程中可以看出，等號當且僅當時成立。123因為 sin x 在 (0,內上凸，所以我們很容易推廣此不等式為nsin insin (1i 1nni ), i0, , i 1,2,3, , n.i 1特殊地，在ABC 中，有sin B sin C3成立。sin A23例 3：已知x, y ,z R,0 x y，證明：2 sin xcos y 2 sin y

4、cos zsin 2x sin 2 y sin 2z.z2 2思路分析：原不等式等價為sin xsin y sin y cos zsin x cosx sin y cos y sin z cosz ，再考慮利用幾4何意義構造證明。證明：因為原不等式等價為sin xcos y sin y cos zsin xcos x sin y cos y，sin z cos z4即sin y(cos y cos z)sin zcosz.sin x(cos x cos y)4如圖 OM1 cosx,OM2 cosy, OM3 cosz,M 1 Asin x,M 2B sin x2 , M 3C sin z ，

5、sin x(cos xcos y)M1A?M2M ，sin y(cos ycos z)M2B?M3M 2，sin z· cos zOM 3·M3C，、分別表示圖中陰影矩形的面積，而表示單位圓在第一象限的面積。4所以sin x(cos xcos y)sin y(cos ycos z)sin z cos z成立。4即2 sin ycos z sin 2 xsin 2ysin 2 z.2 sin x cos y2點評：此題巧妙地利用三角線幾何意義，構造矩形的面積證明，有較強的技巧性。例 4：已知, ,(,) ，求證： (tantan) 2 (tan2 tan )( 2 tanta

6、n ).22思路分析：所證不等式中涉及三個變量,，結合結構特征，考慮一元二次方程構造證明。證明：當 tan2 tan0 時，原不等式顯然成立。當 tan2 tan0 時，構造一元二次方程(tan2 tan )x 22 (tantan) x(2 tantan )0.因為 (tan2tan) 2(tantan)(2 tantan)0，所以所作方程必有一根x1，從而4(tantan) 24(tan2 tan) (2 tantan) 0.即 (tantan)2(tan2tan )( 2 tantan ).點評：三角不等式的證明常通過代數方法去解決。例 5：在ABC 中，求SAB13tanBC1CA的整

7、數部分。3 tantantan23tantan122222思路分析：利用三角形內角和的特點考慮。證明：在ABC 中，ABCtan Btan C，tan22cot2BC21 tantan22所以tanA ·BtanB ·tanCtanC ·A2tan222tan1.22由冪平均不等式，則S3(3 tan A tan B1)(3 tan B tan C 1)(3 tan C tan A1)22222236325 .又當 0x1時， x2x.所以BC1tanBC1，3tantantan22223 tan C tan A 1tan C tan A，122223 tan A

8、 tan B1tan A tan B 1.2222故 S3tan B tan Ctan C tan Atan A tan B4.222222即 S 的整數部分為 4。點評：證明過程中利用了冪平均不等式和0x1時， x2x3x1x22 x13 x1 x1 ，既考慮了三角特點，又結合了代數不等式知識。例 6：求實數 a 的取值范圍，使不等式2232a ，在0, 恒成立。sin 2(2 22a) sin()24cos()4思路分析：對題中 sin()cos()2 (cossin) 與 sin 2關系換元解決。442解：設 sincosx ，由0, 可得 x1,2, sin 2x 21.2原不等式可化

9、為 x 21(2a)x432a0 ，x即2)( x2a )0.(xx因為 x1,2 ，所以 x2a0.x即 ax2.x記x2 ，易知f ( x) 在 1,2 上單調遞減。f ( x)x所以f ( x) maxf (1)23.11故 a 3.點評：換元之后，將三角不等化為代數不等式解決，既轉化了形式，又簡化了不等式。例7： 已 知 a,b, A,BR，若對于一切 實 數 x， 都 有 f ( x)1a cos xb sin xAcos2xBsin 2x0，求證：a 2 b 22, A2B 21.思路分析：分析題中結構，考慮引入輔助角方法證明。證明：若 a 2b 20, A2B 20 ，則結論顯然

10、成立。若a 2b 20, A2B 20, sina, cosb，a 2b 2a2b 2令sinA,cosB，A2A2B 2B 2于是 f (x)1a 2b 2 sin( x)A2B 2 sin(2 x)0 ，f (x)1a2b 2cos(x)A2B 2 sin(2x)0.2由 +得 2a2b 2 sin( x)cos( x)0 ，即 22(a 2b 2 ) sin( x)0.4所以a 2b 2sin( x4)2 對一切 xR 都成立。取 x42x4，即有a2b 22a2 b 22.又 f ( x)1a 2 b2 sin( x)A 2B 2 sin( 2x) 0.由 +得 22A2B 2 sin

11、( 2x)0 .即A2B2sin( 2x)1.取 2x2, x4時，A2B 21，即 A2B21.2點評：此題在恒成立的不等式中，通過賦值得、是關鍵的技巧。n1, 2, n ， 都 有例8： 已 知i(0,), tan1· tan 2·· tann22 , nN，若對任意一組滿足上述條件的2cos 1cos2cos n，求的最小值。思路分析：先退到特殊形式考慮，再進一步處理一般形式。解：當 n1 時，cos 133 ；3, min3當 n2 時，由 ab2(a 2b2 ) 得22時等號成立， tan 1 tan22,cos 1 cos 21可證 cos1cos 2

12、2(cos 1cos 2)，且12帶入所以2 ；3min3當 n3時，得證 cos 1cos 2cosnn2.事實上，不妨123n ，則 cos 1cos2cosn ，只需證 cos 1cos2cos32.因為 tan1· tan2 · tan322 ，所以22tan 21tan22 ? tan 38 cos2 cos3 .3sin22 sin 23即1sin2 sincos 13.1 tan 28cos22 cos2sin2 2 sin2133又1sin 211，cos 22sin 222cos 31sin2311 sin23，2所以1(sin 2sin 2cos2cos3223 )2sin 2sin3.2（1）若 8 cos 22 cos 23sin 22 sin 231 ，則 cos1sin 2 sin3 .所以 cos1cos2cos32.（2）