1、. . . . 動物集群運動行為研究摘 要以集群現象為研究對象的群體系統是一個由大量自治個體組成的集合，在無集中式控制和全模型的情況下，一般通過個體的局部感知作用和相應的反應行為使得整體呈現出復雜的涌現行為。本文著重解決了動物群的遷徙、逃避捕食者以與覓食等群體行為。針對問題一，研究群體遷徙行為，在考慮靠近規則、對齊規則、避免碰撞規則的基礎上，建立了一個個體自身運動受視野圍其他個體共同作用的模型。在模型中主要考慮了個體的位置變化、瞬時速度大小和方向。通過每一時間間隔的變化，觀察最后的運動趨勢。通過計算機仿真得到個體運動行為圖，經過一段時間，各個個體運動趨向于同一方向，并向集群質心靠攏。針對問題二

2、，研究逃避捕食者的運動行為，通過分析個體與捕食者間的相對位置變化，來判斷每個個體的運動速度大小和方向，模擬出動物群躲避捕食者的運動路線圖。針對問題三，研究覓食行為，在遷徙模型的基礎上，當種群中出現一些帶有引導信息的個體時，研究對整個種群的影響，考慮帶信息的個體運動是不受其他個體影響的。通過仿真，對誤差數據進行分析，研究領導者占不同比例時，覓食行為的結果，當領導者比例至少為12%時，才能成功覓食。關鍵字：集群運動 遷徙模型 躲避模型 覓食模型 智能仿真17 / 17一、問題重述1.1 問題背景自然界中存在著大量的群體運動現象，在宏觀上，天體（恒星，行星，星云等）之間的聚集形成星系的運動，大氣層中

3、的水汽聚集形成大氣運動，以與生物界中的鳥群、魚群、蟻群等的運動。在微觀上，細菌等微生物以與人類的黑色素細胞也會進行群體運動，奇怪的是，盡管生物群體中的個體具有有限的感知能力和智力水平，整個群體卻能表現出復雜的運動行為，例如保持群體成員間在運動速度和方向上的同步，朝同一目標（食物、棲息地等）行進，這些群體還可以形成特殊的空間結構以應對緊急情況（如躲避障礙物或逃避抵御捕食者）等。以集群現象為研究對象的群體系統是一個由大量自治個體組成的集合，在無集中式控制和全模型的情況下，一般通過個體的局部感知作用和相應的反應行為使得整體呈現出復雜的涌現行為。如何對這種集群行為進行數學建模，并將其應用與人工世界，是

4、目前復雜性科學的前沿課題。研究群集系統具有實際意義，一方面，它是理解生物復雜性的一個途徑，另一方面，可以借鑒生物的智慧，把分布式策略用在自治多代理系統（如多機器人或自治飛行器系統）的控制、協調以與編隊控制中。這些系統的共同特點是：個體自治、無全局通訊、無集中式控制。通過設計一定的控制規律，可以使系統整體呈現出所期望的涌現行為。群集的研究還有可能用來解釋群集智能的產生，每一個個體并不是非常智慧的主體，但它們之間通過協作卻可以展現出一定的智能行為，因此在工程上具有潛在的應用價值。1.2 目標任務觀察給出的圖片和視頻資料，或者在網上搜索相關資料觀察，思考動物集群運動的機理，建立數學模型刻畫動物集群運

5、動、躲避威脅等行為，例如，可以考慮以下問題的分析建模：(1). 建立數學模型模擬動物的集群運動。 (2). 建立數學模型刻畫魚群躲避黑鰭礁鯊魚的運動行為。(3). 假定動物群中有一部分個體是信息豐富者 (如掌握食物源位置信息，掌握遷徙路線信息) ，請建模分析它們對于群運動行為的影響，解釋群運動方向決策如何達成。二、模型假設（1）、假設個體運動只受其視野圍其它個體運動的影響。（2）、假設不考慮個體形狀的差別。（3）、假設不考慮個體轉彎需要的時間。（4）、假設領導者的運動是不受其它個體影響的。（5）、假設遷徙和覓食的過程中，忽略慮捕食者的存在。三、符號說明符號意義鄰居平均值當前個體的位置當前各個鄰

6、居的位置當前個體的方向各個鄰居的方向鄰居中小于碰撞距離的鄰居個數鄰居的平均方向個體在時刻的位置向量個體在時刻時的速度是采樣周期對個體產生影響的個體集合每個個體的視野圍半徑個體和個體之間的距離安全距離群體中個體總個數個體在時刻的速度方向魚群個體為確保安全而必須與鯊魚保持的安全距離。魚群個體與鯊魚的距離種群中第個帶信息者角度誤差角度方差距離誤差領導者個數四、模型的建立與求解4.1 遷徙模型建立與求解4.1.1問題分析為了模擬動物的集群運動，考慮物體的運動規律，在群體運動中每個個體的行為會受到其他個體的影響。根據這種影響，建立一個位置和速度的改變模型，通過對不同時刻不同個體的位置以與運動方向等信息的

7、描述就可以判斷整個群體的運動規律，進而分析集群運動的一致性。4.1.2模型原則以集群形式為生存策略的群居性動物組成的群體系統是一個由大量自治個體組成的集合。這種系統的特點是其每個個體進行集中式控制并建立全局模型。而Vicsek模型通過個體的局部感知作用和周圍其他個體對其影響形成對個體的位置和速度的確定，最終完成對整體的描述。每個個體的行為由下面的三條簡單規則控制：（1）靠近規則的實現：每個個體都有向鄰居中心靠攏的特性，鄰居中心觀察圍各個體所在位置的平均值，為鄰居平均值，為當前個體的位置，為當前各個鄰居的位置，為當前個體的方向。（2）對齊規則的實現：個體會和它的鄰居朝同一個方向游動。公式表示為，

8、為各個鄰居的方向，為鄰居的個數，為鄰居的平均方向。（3）避免碰撞規則的實現：當個體和它的鄰居靠的太近的時（距離小于碰撞距離），應自動避開。公式表示為，為小于碰撞距離的鄰居到當前個體方向的平均值，為鄰居中小于碰撞距離的鄰居個數。這三條規則是按照優先級從高到低排列的。碰撞避免具有最高優先級而聚合具有最低優先級。因此，通過定義靜態優先級避免了可能的行為沖突。4.1.3二維空間模型陸生動物中的群居性動物，如鹿群通常在平坦的地面運動。通常可將其運動看作是二維空間的運動。因此，先在二維空間建立集群運動的數學模型。4.1.3.1坐標更新原則首先，本文將一個動物群體中的個體視為一個具有速度和初始位置的個體。由

9、于個體的運動不會發生突變，因此假設個體在很短的一段時間遵循勻速直線運動。所以本文將時間進行離散化處理。當采樣頻率比較高時，離散的模型造成的誤差可忽略不計。在平面坐標系中，可知時刻個體的位置可由式(1)確定：其中，為個體在時刻時的速度；是采樣周期，用來減小個體運動時的步長，它的引入會使個體的運動軌跡更加平滑。個體的初始位置是已知的，因此只要知道個體每一采樣時刻對應的速度大小和方向，就可根據上式遞推求出其運動軌跡。最終，所有個體的軌跡都求得后，整個群體的集群運動便由模型求出。4.1.3.2速度方向更新原則速度方向的確定：在二維空間，個體的運動方向是會發生改變。而集群動物中的個體聚集性很強，總盡可能

10、地保持運動方向和速度大小一致。所以，個體的運動不僅受自身意愿控制，還受周圍臨近的其他個體的運動狀態影響。因此在模型中，個體在某時刻的運動方向不僅與自身上一時刻的方向有關，還與其周圍個體的運動方向有關。首先分析周圍個體的運動方向對其速度方向的影響。個體對周圍同伴的感知是局部圍的，他們只能與距離較近的同伴交換信息。自然界中的動物主要依靠視覺和聽覺感知和獲取來自鄰近同伴的運動方向，并且這種感知是有一定圍的。根據生物學知識可知，動物的視覺圍是半徑為，角度為的扇形（不同物種的和取值不同），聽覺的感知圍是一個半徑為的圓形區域（一般）。所以定義一個以個體自身為圓心的，半徑為的圓形區域為感知圍。也就是說，只有

11、處在這個圓形的感知區域中的同伴才會對本個體的運動產生影響。對個體產生影響的其他個體可構成下面這個集合。受距離影響，兩個體的距離越近，互相影響的程度越大。因此定義當個體與個體的距離為時，個體對個體的速度方向改變影響力大小為，為集合中元素的個數。因此，整個感知區域的個體對個體運動方向的影響力大小為：?？紤]到個體的運動方向還受自身上一時刻運動方向的影響，所以個體在時刻的速度方向可由式(2)確定：其中，為個體在時刻的速度方向。和為賦予兩個不同影響因素的權值，有。關于和值的確定比較復雜。因為個體行為由初始狀態（初始角度和位置）、鄰域半徑和運動速率確定，進一步每個個體的鄰居由其他個體的位置決定，每個個體的

12、角度由鄰居的角度決定，同樣角度也會影響位置，因此所有個體之間的位置和角度之間形成復雜的非線性關系。下面對這兩各參數取不同的值進行比較，觀察其變化對個體方向變化的影響。下圖是根據一個由四個個體組成的集群的運動方向的改變過程。圖1：速度方向收斂示意圖取值的大小反映出其他個體對個體的影響力大小。值越大，個體的速度方向改變決策越依賴于其他個體的運動狀態。但由上面兩圖可以看出，不管的取值是多少，集群中的個體最終都會聚合到同一個運動方向。但當的值增加時，個體的運動方向振蕩比較嚴重。4.1.3.3速度大小更新原則速度大小的確定：考慮到集群運動過程中，個體運動要盡量聚合到一起，但在聚合過程中速度控制不好可能會

13、發生碰撞。因此要避免碰撞并盡量聚合，則每個個體的運動速度要實現匹配。當兩個體距離較遠時，后面的個體會加快速度，以縮短距離，提高聚合度。而距離太近時，為防止某以個體速度突然改變而造成碰撞，后面的個體又會降低速度，以保持安全距離。如下圖所示：圖2：速度大小更新示意圖個體的速度方向確定后，速度大小可由以下分析得出，在一維方向上單純分析速度時，定義個體的速度為：其中，為前后兩物體的安全距離，為兩物體的實際距離，為前者的速度。現假設安全距離，則若兩個體在一維空間同向運動，當前面的個體以的速度運動時，后面的個體運動速度隨兩者的距離變化如下圖所示。圖3：速度大小隨距離變化示意圖可見，當距離較大時，后者會以較

14、高的速度接近前者，但隨著兩者距離的減小，后者的速度也會隨之減小。而前者的速度一直不變主要是因為后者并不再其視覺的感知區域。圖4：距離變化示意圖由圖(a)可知，當兩個體的距離時，后者會通過調節速度，最終平穩地使兩者的距離增大到安全距離以避免發生碰撞；相應地由圖(b)可知，當兩個體的距離時，后者會通過調節速度，最終平穩地使兩者的距離減小到安全距離以提高聚合。在二維空間，速度可由兩個不同向的一維空間速度合成，最終二維空間的速度大小便可確定。在二維空間中，為確定不同個體的位置，建立一個平面直角坐標系。則個體的位置坐標為。由此可知，兩個體的距離為：而個體在時刻時的位置可由式(4)確定：4.1.4模型仿真

15、根據上文建立的模型，本文選擇一個的區域，在其中隨機投放100個位置和速度不同的個體形成一個集群。通過matlab軟件對其進行仿真檢驗，得到不同時刻的集群中各個體的運動狀態和所處位置，如下圖所示。圖中的黑點代表集群中的個體，紅線代表其運動方向。下面得到的是在運動過程中的4個中間狀態的示意圖。圖5：遷徙模型仿真（a）圖為初始時刻，集群中各個體處于隨機無序的狀態，各點的運動方向差別很大。（b）、（c）和（d）圖依次為其調整期間先后的采樣圖像。可以看出，各個體的運動方向隨時間的推移漸趨一致，但各點的運動趨勢并沒有表現出聚集靠攏的特征。為了便于觀察集群的運動規律，對各點的運動軌跡進行記錄，并且形成了下圖

16、所示的情況。圖6：遷徙模型仿真軌跡圖由圖可以看出，各個體在最初的時間段運動軌跡是雜亂的，表明其速度方向有很大差別。而隨后速度方向很快趨于一致，所以運動軌跡基本形成了一個平行線簇。可見，集群最終雖然達到了速度匹配和方向一致，但并沒有形成一個緊密的聚集群體。4.1.5模型仿真的改進設定個體總是趨向于向集群質心的位置運動。這種設定也符合集群動物的特性，即盡力向集群中心靠近，以免遭受天敵的攻擊?；谝陨峡紤]，在模型中的運動方向確定公式中加入一個變量，即（集群的質心坐標為）。集群質心的坐標可由式(5)求得：由此可修正個體i在時刻（t+1）時的速度方向為：其中，。在將模型改進后，可得集群運動的軌跡為下圖中

17、的（b）圖。圖7：距離變化示意圖圖（a）是未改進的集群軌跡圖，圖（b）是加入集群質心影響因素后的軌跡圖。可見，改進模型后，在運動方向基本一致后，個體會產生聚攏的運動趨勢，并在取得較高的聚集度后轉為運動方向平行。總之，改進的模型更逼近于真實的集群動物運動特征。4.1.6三維空間模型水中的魚類，空中的鳥類的集群運動是在三維空間中的運動，所以它們的位置與運動軌跡可以在確定的三維立體坐標系中描述。定義在這個立體坐標系中，個體在時刻的位置坐標為。在三維空間研究此問題時，我們將二維空間的模型拓展到三維空間。而在時刻，個體的位置變化可由式(7)確定：其中：表示位置向量與水平面的夾角。關于速度大小和方向的確定

18、，首先要確定個體在三維空間中的感知圍。在此，以魚類為例進行說明。經過科學實驗證明，魚類的感覺是靠眼睛的視覺，耳的聽覺和側線的觸覺聯合作用的。在這些感覺中，聽覺的感知圍最大。因此可以認為其感知區域是以個體自身為球心，半徑為的球形區域。也就是說，只有以個體為球心，半徑為的球體區域的其他個體會對個體的運動造成影響。兩個個體間的距離變為：依舊沿用上述在二維空間建立的模型，對個別變量進行調整，同樣可以模擬仿真出動物種群的集聚運動。4.2躲避模型的建立與求解4.2.1問題分析集群生活的動物之所以選擇這種生活生存策略，其很重要的原因之一就是降低天敵對其傷害。本文將建立數學模型刻畫魚群躲避黑鰭礁鯊魚的運動行為

19、。從而展現集群動物躲避天敵的優勢所在。4.2.2初始狀態分析通過查閱一些文字以與視頻資料，可以發現魚群不在遷徙或覓食狀態時，整個群體的輪廓形狀不斷變化，但其質心基本保持不變，整體上沒有明顯的移動。從速度的角度分析，此時魚群整體沒有表現出一致的速度方向和大小。所以魚群只是部的各個小部分存在規律游動或部呈現無序狀態。部的狀態在整體宏觀上表現為靜止。在模型建立過程中，考慮到這個問題，要保證下面兩式始終成立。當捕食者鯊魚靠近魚群時，魚群并沒有四散逃離，也沒有整體遷移躲避，而是始終保持與鯊魚在一定的安全距離之外。當鯊魚深入魚群部時，魚群會形成一個變化的包圍圈，個體之間聯系緊密。4.2.3躲避原則下面分析

20、魚群對鯊魚形成包圍圈后，魚群部的運動狀態。假設魚群形成的包圍圈是以鯊魚為圓心的圓形。在鯊魚游動過程中，魚群個體為保持與鯊魚的安全距離，總是向背離鯊魚的方向逃離，而鯊魚始終保持著一個前進的速度。因此，鯊魚周圍的魚移動速度就相對與鯊魚的移動速度存在一個相對速度。這個相對速度隨魚個體與鯊魚相對位置的不同而有所變化。根據運動學的知識，包圍圈上的魚個體相對鯊魚的初始運動規律如下圖所示。圖8：躲避方向示意圖設定包圍圈上的魚群個體與鯊魚前進的垂直方向的夾角為。由于鯊魚前進方向上的魚最危險，所以假定其游動的速度最大，為。而由于鯊魚轉彎相對于前進困難，所以在其他方向上的魚游動速度會隨夾角的減小而降低。而在鯊魚后

21、方的魚群，一方面受攻擊的可能性比較小，另一方面受到從鯊魚前方運動到后方的魚群的擠壓，所以后方的魚群不可避免地向著鯊魚運動。由此得出包圍圈上魚群個體的相對速度為：而在包圍圈外圍的魚相對比較安全，但受其他魚的影響以與位置變動可能帶來的危險增大，所以這些個體也會以一樣的規律運動，只是速度大小會有所降低。所以增加個體與鯊魚的距離為影響因素，進而魚群個體的相對運動速度公式改進為公式(8)：其中，為魚群個體為確保安全而必須與鯊魚保持的安全距離。以上分析僅是針對魚群個體面臨鯊魚威脅的初始反應速度。但當初始反應后，魚群個體的運動會受周圍同伴較大的影響，可能會對其逃離鯊魚造成一定的阻礙。此時，魚群個體的運動更多

22、受到同類的影響，所以其運動規律符合問題一中的模型。其后續運動仍沿用問題一的模型，在此不再做過多分析。圖9：相對速度示意圖圖(9)顯示的是魚群個體和鯊魚相對運動的示意圖。是鯊魚前進的速度，是魚群個體的絕對速度，根據運動學知識，可知此魚群個體相對鯊魚的運動速度是。而由于魚群個體與鯊魚的相對位置不同，所以相對速度也不盡一樣。通過對實際情況的分析和模型建立，鯊魚和魚群的運動軌跡模擬圖如圖(10)所示：4.2.4模型的仿真基于問題立的模型，利用軟件matlab對其進行仿真檢驗，可得圖(11)。由于該模型左右對稱，因此只模擬了右方魚群的運動軌跡。中間的圓形表示鯊魚的攻擊圍，而魚群的運動軌跡基本是沿著圖中的

23、曲線的?？梢娔Ｐ突究梢阅M出魚群躲避鯊魚攻擊的集群運動規律。圖10：運動軌跡計算圖圖11：運動軌跡仿真圖4.3覓食模型的建立與求解4.3.1問題分析在動物種群進行大量遷徙或者進行捕食時，往往在一個群體中會有部分個體掌握某種信息（如食物來源、遷徙路線等）。這部分個體對整個種群的影響是十分大的 。4.3.2模型建立前面的模型中都是沒有領導者的情況，而且每個個體的地位都一樣，下面建立領導者模型來引導群體達到同步，由于領導者知道某些信息，從而他會沿著固定的軌跡進行運動，在整個運動過程中不受其他個體的影響，但他的行為會影響其他個體，從而可能使得群體中其他個體與領導者同步。假設系統中只有少數個體帶有信息

24、，其他個體并不知道誰是領導者，即在不改變系統中原有個體局部規則的前提下加入幾個領導者來達到期望的集體行為，對于原群體的個體而言，領導者也只是一個是普通的個體， 它只會影響到其鄰居中的其他個體，對于帶有信息的個體，它們的運動規則是周圍平均方向與一有限方向的合作下作為下一時刻的方向。在問題一中研究的遷徙模型基礎上，我們研究有部分信息者的捕食或者遷徙模型。對于不知道信息的個體，它們的運動行為和問題中的模型是一樣的，運動同時受自身運動方向和視野圍其它個體的運動方向決定。即對于知道信息的個體，它們的運動方向決策取決于食物源的位置或者是固定的遷徙路線，所以對于它們運動方向為：為種群中第個帶信息者，因此帶信

25、息者的位置坐標變化為：從上面的模型，可以猜測出隨著種群中帶信息者個體的增加，對不帶信息者的影響作用越來越大，也會縮短種群達到一致性的時間，其他個體視野圍帶信息者比重越大，這部分帶信息的個體對其他不帶信息的個體的引導效果會越明顯。4.3.3模型仿真假定種群可視圍半徑為5，下面分別模擬在有100個個體的情況下，隨著領導者個數的變化，整個種群趨向于穩定和一致的規律。假設食物在覓食者的方向上。通過計算以下幾個誤差值來判斷領導者在種群中所占比例對種群最終覓食結果的情況。角度誤差： 角度方差： 距離誤差： 通過計算幾個參數值來判斷種群中有多少個領導者才能實現準確的覓食。下面分別作出在100個個體的種群中，

26、領導者個數分別為2、4、6、8、10、12的情況。領導者個數為2 領導者個數為4領導者為個數6 領導者為個數8領導者個數為10 領導者個數為12圖12：覓食模型仿真圖同時得到不同領導者的情況下，角度誤差、角度方差、距離誤差分別如下表所示：表1：不同領導者數量下誤差表領導者個數24681012角度誤差-0.4671-0.2559-0.1238-0.0767-0.0542-0.0439角度方差0.23790.07490.01910.00760.00390.0026距離誤差51.508232.068218.185912.33407.51044.9293根據表中數據可以直觀看出隨著領導者個數的增加，角度誤差誤差和角度方差在同時減小，同時，距離誤差也迅速減小。當領導者個數達到12時，誤差距離為4.9293恰小于了可視半徑5，因此可認為此時雖然有誤