1、精選優質文檔-傾情為你奉上2000年真題1（14分）設f (x),g (x),h (x)都是數域P上的一元多項式，并且滿足： （1） （2）證明：能整除。2（14分）設A是nr的矩陣，并且秩（A）= r，B，C是rm矩陣，并且AB=AC，證明：B=C。3（15分）求矩陣的最大的特征值，并且求A的屬于的特征子空間的一組基。(14分)設(14分)設A,B都是實數域R上的矩陣,證明:AB,BA的特征多項式相等證明：要證明AB,BA的特征多項式相等，只需證明：(14分)設A是實對稱矩陣,證明：是一個正定矩陣證明：A是實對稱矩陣，則的特征值均為實數(15分)設A是數域P上的n維線性空間V的一個線性變換,

2、設但是證明：是的一組基并且求線性變換在此基下的矩陣，以及的核的維數2000年真題答案1、證明： （3）將（3）帶入（1）中，得到：注：本題也可以把g,h作為未知量對線性方程求解，用克萊姆法則導出結果。2、證明：，即方程3、解：，當時，求出線性無關的特征向量為，則是的特征子空間的一組基4、解：不妨設則矩陣對應的特征值為：故5、利用構造法，設，令，兩邊取行列式得（），兩邊取行列式得（）由（），（）兩式得（）上述等式是假設了，但是（）式兩邊均為的n次多項式，有無窮多個值使它們成立（），從而一定是恒等式注：此題可擴展為是矩陣，是矩陣，的特征多項式有如下關系：，這個等式也稱為薛爾佛斯特（Sylveste

3、r）公式6、設為的任意特征值，則的特征值為故是一個正定矩陣7、證明：令（）用左乘（）式兩邊，得到由于，帶入（）得（）再用左乘（）式兩端，可得這樣繼續下去，可得到線性無關在此基下的矩陣為，可見,即A的核的維數為12001年真題2002年真題1（15分）設，都是矩陣。解矩陣方程。2（20分）設，是否相似于對角矩陣？如果相似于對角矩陣，求可逆矩陣，使得是一個對角矩陣。3（10分）設都是非負整數。設。證明：整除。4（10分）設，都是矩陣，是矩陣，并且的秩是。證明：如果，則。5（10分）設是矩陣，并且是可逆的。證明：如果與的所有的元素都是整數，則的行列式是或。6（10分）設是反對稱矩陣，證明：是半正定的

4、。7（15分）設是矩陣。如果，并且的秩是，是否相似于一個對角矩陣？如果是，求這個對角矩陣。8（10分）設是有理數域上的線性空間，的維數是，與是的線性變換。其中可對角化，并且。證明：存在正整數，使得是零變換。2003年真題2004年真題2004年真題答案2005年真題1、（20分）設A,B均為n階方陣,A中的所有元素均為1,B中的除元素為1外,其余元素均為0.問A,B是否等價?是否合同?是否相似?為什么?2、（20分）設A=。v是的A最大的特征值。求A的屬于v的特征子空間的基。3、（20分）設f（x）是一個整系數多項式。證明：如果存在一個偶數m和一個奇數n使得f（m）和f（n）都是奇數，則f（x

5、）沒有整數根。4、（20分）設A是一個2n×2n的矩陣。證明：如果對于任意的2n×2矩陣B，矩陣方程AX=B都有解，則A是可逆的。5、（20分）證明實系數線性方程組AX=B有解的充要條件是用它的常數項依次構成的列向量B與它所對應的齊次線性方程組AX=0的解空間正交。6、（20分）設A，B是n×n實對稱矩陣，且A+B=E,E為單位矩陣。證明下列結論等價：（1）AB=O,O為零矩陣（2）秩(A)+秩(B)=n7、（20分）設V是復數域上的n維線性空間，q，p是V上的兩個可對角化的線性變換，且qp=pq。證明：（1）如果k是q的特征值，那么V（k）是的不變子空間。（2）

6、存在一組基使得q、p在這組基下的矩陣都是對角矩陣。8、（10分）設A，B，C分別是m×m,n×n,m×n矩陣（m>n）,且AC=CB,C的秩為r.證明: A和B至少有r個相同的特征值。注意：7題中V(k)在原題中k為V的下標。2006年真題一，用正交線性替換將實三元二次型變成標準形，并寫出所用的非退化線性變換。二、設。A是否相似于一個對角陣？如果相似，則求出可逆矩陣C，使得為對角陣，且寫出此對角陣。三、設是一個整系數多項式，證明：如果是一個奇數，則不能被x-1整除，也不能被x+1整除。四、 設A是一個矩陣，證明：如果A的秩等于的秩，則齊次線性方程組AX=0與

7、齊次線性方程組X=0同解。五、 設V是有理數域Q上的線性空間，id是V的恒等變換。又設是V的一個線性變換，證明：如果，則沒有特征值。六、 設 A是實對稱矩陣，b是A的最大的特征值。證明：對任意n維非零的實列向量，都有。七、 設V=是F上全體次數<5的多項式及零多項式構成的線性空間。，定義映射，其中，=0或a) 證明映射是V的一個線性變換。b) 求在基1，x, ,下的矩陣。8設A,B都是矩陣，并且AB=BA。證明：如果A,B都相似于對角矩陣，則A+B也相似于對角矩陣。2007年真題一，化二次型為標準型,并給出所用的非退化線性替換.二，求三階矩陣的Jordan標準型.三，設且長度為2,矩陣求

8、的特征多項式.四，設是階反對稱矩陣,為單位矩陣.證明： 可逆設, 求證是正交陣.五，設是3階對稱矩陣,且的各行元素之和都是3,向量是的解,求矩陣的特征值,特征向量,求正交陣和矩陣使得六，設是一個數域,是中次數大于0的多項式,證明：如果對于任意的,若有,那么是不可約多項式.七，設歐氏空間中有證明：如果,那么八，設是維歐氏空間中的一個對稱變換,則2007年真題答案1. 解 所給二次型的矩陣為其特征多項式為.故特征值為.,解對應的特征方程得,.,解對應的特征方程得.以作為列向量作成矩陣.則可逆,且為對角陣.這時做非退化線性替換得.2. 解 ,將其對角化為.故的若當標準形為.3. 解 的特征多項式為

9、.4. 證 是反對稱實矩陣,故其特征值為零或純虛數.其實,假定是的特征值,是相應的特征向量.則,又,故,這說明是零或純虛數.由此得,因而可逆. 由知可逆,這說明有意義.而,因此 .故是正交矩陣. 5. 解 依題意有因而其特征多項式為.故特征值為.,解特征方程得,.特征向量為.,解特征方程得.特征向量為.以上.把向量正交并單位化得,.把向量單位化得.以作為列向量作成矩陣,則為正交矩陣且. ,則滿足.6. 證 假設可約,不妨設,其中.這時顯然有,但不可能有或者.這與題設矛盾,故假設錯誤.因而不可約. 7. 證 依題顯然有,假設,則.于是 ,這說明可被線性表出.記給上式兩邊同時計算得,于是,與題設矛盾,故假設錯誤, 原命題成立. 8. 證 對于任意的及任意的,有，于是有,因而.又,于是,故.2008年真題2009年真題2010年真題回憶版1. 求非負m,n,k, s.t. 整除.(本題中可能為).2. 已知,求A的不變因子,行列式因子及Jordan標準型.3. A,B,C為n階矩陣,A,B可逆,求