1、常微分期終考試試卷（1）一、填空題（30%）1、方程M（X,y）dx + NX,y）dy = 0有只含x的積分因子的充要條件是）。有只含y的積分因子的充要條件是利為黎卡提方程，它有積分因子稱為伯努利方程，它有積分因子4、若X,X2（r）,X/r）為n階齊線性方程的n個解，則它們線性無關的充要條件是5、形如的方程稱為歐拉方程。6、若0（0和以f）都是X = At）x的基解矩陣，貝ij0a）和以r）具有的關系是7、當方程的特征根為兩個共軌虛根是，則當其實部為時,零解是穩定的，對應的奇點稱為 二、解答題（60%）31、ydx （X + ）dy = 02、x"' + x = sinr

2、-cos2t3 s若人=2 1-1 4試求方程組x' = Ax的解0（/）,0（0）= ="1“2并求expAt4、（少_4勺¥ + 8'2=0axdx5、求方程牛十y2經過0. 0）的第三次近似解dt6 .求竺y + l,©F_y_5的奇點拼判斷奇點的類型及穩定性. dt三、證明題（10%）n階齊線性方程一定存在Z7個線性無關解。試卷答案一填空題dM dNdM dN氐-g)勿加=卩（刃-M4、贄切用+0（如恥）心刃=）廠厶"st+%錢+%u°V(O = 0(/)C7、零穩定中心二計算題1 .解.因為勿所以此方程不是恰當方程，方

3、程有積分因子“（y）jh 之-心=1 ,兩邊同乘占得"2 yy y+ 3昇-x+y _yy2 "0所以解為Jg/x+Jdy = c/=0 ' 蘭+ 2_ = c即2x =)o2 + c)另外yuO也是解 )'22 .線性方程昇+ x = 0的特征方程” + 1 = 0故特征根2 = ±/i（z） = sinz久=,是特征單根，原方程有特解x = r（Acosr + BsinO代入原方程A=- B=0/2（z） = -cos2r 2 = 2/不是特征根,原方程有特解2Acos2, + Bsin2,代入原方程“§ B=0所以原方程的解為 x

4、= c, C0S/ + C2 sin r - - r cos z + - cos 2t3、解：/?(2)=2-4=護6/1 + 9 = 0解得人2=3此時k= 1 /?! = 271“2I fi/=0 '“2帀+"-帀+"2)02+071+772)n-l J由公式expAt=2石(A-兄£7得；_A i expAz =e引E + r（A-3£）1 0"-1 1、"1-r t "+ r> = e0 1-1 1-t 1 + r=貝徑 Jr3 ,4、解：方程可化為x = M丿令©+則有*厶也:（*） 4丫生

5、 dx4yp dx（*）兩邊對 y 求導：2y（p3-4護）一+ p（8y2 ”3） = 4/dy BP（p-4v2）（2v -P）= 0 由 2y如-p = 0得 p =巧空即，=（£）2將 y dydyc代入"呂+鄉即方程的含參數形式的通解為：.3 2px = + 氣4 / P 尸（導C為參數又 rtlp3_4y2=o 得 p =（4y2）3 代入（*）得:43y = X27也是方程的解% = yo + Jo 皿=空5、解：Z兀2兀2F0> =刃）+（兀）dx =1*2 丿0 Jo 42204107"XXX 、70 =為 + （兀1-H）ax =*3 M Jo'4400 2025X X 11!220 4400 160二二二解得奇點0-2）令XZY=y+2則dx= x y dtt/v = xydt因為= 1 + 1 mO故有唯一零解（0, 0）=久2 + 2/1 + 1 + 1 = ；12+2久+ 2 = 0得兄=_1±/故（3, -2）為穩定焦點。三、證明題 由解的存在唯一性定理知：n階齊線性方程一定存在滿足如下條件的n解:看（：0）= l'X2（/o）= O9，兀?（0）= 0-l