1、第四章 大數定律與中心極限定理4.1特征函數內容提要1. 特征函數的定義 設 X 是一個隨機變量 , 稱 ( (itX e E t =為 X 的特征函數 , 其表達式如下(, ( ( . ( , 在離散場合, 在連續場合, itx i iitX itx x e P X x t E e t e p x dx +-=-<<+由于 1sin cos 22=+=tx tx e itx , 所以隨機變量 X 的特征函數 (t 總是存在的 .2. 特征函數的性質 (1 1 0( (=t ;(2 , ( (t t =-其中 (t 表示 (t 的共 軛 ; (3 若 Y =aX +b , 其中 a

2、 , b 是常數 . 則 ; ( (at e t X ibt Y =(4 若 X 與 Y 是相互獨立的隨機變量 , 則 ; ( ( (t t t Y X Y X =+(5 若 ( l E X 存在 , 則 (t X 可 l 次求導 , 且對 l k 1, 有 ; ( 0( (k k k X E i = (6 一致連續性 特征函數 (t 在 , (+-上一致連續(7 非負定性 特征函數 (t 是非負定的 , 即對任意正整數 n , 及 n 個實數n t t t , , , 21 和 n 個復數 n z z z , , 21, 有 ; 0 (11-=j k j n k nj k z z t t (

3、8 逆轉公式 設 F (x 和 (t 分別為 X 的分布函數和特征函數 , 則對 F (x 的 任意兩個點 21x x <, 有=-+-+20( (2 0( (1122x F x F x F x F ; (21lim21dt t it e e TT itx itx T -+-特別對 F (x 的任意兩個連續點 21x x <, 有; (21lim( (2112dt t it e e x F x F TT itx itx T -+-=-(9 唯一性定理 隨機變量的分布函數有其特征函數唯一決定;(10 若連續隨機變量 X 的密度函數為 p (x , 特征函數為 . (t 如果+<

4、+-t (,則dt t e x p itx (21 (+-=3. 常用的分布函數特征表 習題與解答 4.11. 設離散隨機變量 X 的分布列如下 , 試求 X 的特征函數 . 解 t i t i it x e e e t 321. 02. 03. 04. 0 (+=2. 設離散變量 X 服從幾何分布 . , 2, 1, 1( (1 =-=-k p p k X P k 試求 X 的特征函數 , 并以此求 E(X 和 V a r(x .解 記 q =1-p , 則ititK itit k k itk itxqe pe q e pe p qe e E t -=+=+=-1 ( ( (111,2

5、9;1 (it itqe ipe t -=,42'' 1( 1(2 1( (it itit it it it qe qe qe pe qe pe t -=-=, pq p i X E 11( 0(1 (2' =-=, 242' ' 21 1( 1(2 1( 0(1 (pqq q pq q p i X E +=-+-=,22222 1(1( ( (pqp p q X E X E X Var =-+=-= 3.設離散隨機變量 X 服從巴斯卡分布 , 1(11 (rk r p p r k k X P - -= , 1, k r r =+ 試求 X 的特征函數

6、.解 設 r X X X , , , 21 是相互獨立同分布的隨機變量 , 且都服從參數為 p 的幾 何分布 Ge(p , 則由上一題知 j X 的特征函數為, 1 (X ititqepe t j -= 其中 q =1-p . 又因為 r X X X X += 21, 所以 X 的特征函數為=-=rj ritit x X qe pe t t j 11( ( (. 4.求下列分布函數的特征函數 , 并由特征函數求其數學期望和方差 .(1dt e a x F x t a -=2 (1 (a >0; (2 a t a x F x-+=2221( (a >0. 解 (1因為此分布的密度函數

7、為 , 2(1xa e a x p -= . +<<-x 所以此分布的特征函數為010( 22itx ax itxax a at e e dx ee dx +-=+(cossin (cossin 22ax axa atx i tx e dx tx i tx e dx +-=+=. cos 222ta a dx txea ax+=+-又因為 , (2 (2222' 1t a ta t +-= , 0 0(' 1= , ( 3(2 (322222'' 1t a a t a t +-= , 2 0(2' ' 1a -= 所以 0, (01

8、(' 1=i X E Va r(X = . a2(01 (2' ' 122=i X E(2 因為此分布的密度函數為 , 1(222a x ax p += . +<<-x 所以此分布的特征函數為, cos 2 (022222+-+=+=dx a x txadx a x e ax itx 又因為當 t >0時 , 有 (見菲赫金哥爾茨微積分學教程第二卷第三分冊或查積分表 . 2cos 022+-=+ate a dx ax tx 所以當 t >0時 , 有 . 22 (2at ate e aa t -= 而當 t <0時 , 有 , ( (22t

9、 a e t t -=-=所以. 22 (2ta at e e aa t -= 又因為 (2t 在 t =0處不可導 , 故此分布 (柯西積分 的數學期望不存在 .注:+-+=dx ax e ax itx222 (也可利用復變函數中的留數理論來計算 , 方法如 下:t >0時 , =+=+=+-ai z a z e i adx a x e ax itz itx , Res 2 (22222 ta taitz ai z e ai e ai ai z e i a-=+=22lim 25. 設 , , (2N X 試用特征函數的方法求 X 的 3階及 4階中心矩 . 解 因為正態分布 , (2

10、N 的特征函數為 , (2/22t t i e t -=所以, 0('i = , 0( (' =iX E, 0(22' ' -= , 0( (222' ' 2+=i X E , 3 0(23'' ' i i -= , 30( (333' ' ' 3+=i X E, 36 0(4224' ' ' ' += . 360( (42244' ' ' ' 4+=i X E由此得 X 的 3階及 4階中心矩為, 0 (3 (3 ( (2233=+-

11、=-X E X E X E X E X E. 3 (4 (6 (4 ( (44343344=+-+-=-X E X E X E X E X E X E 6. 試用特征函數的方法證明二項分布的可加性:若 X b (n , p,Y b(m , p,且 X與 Y 獨立 , 則 X+Y b(n + m, p.證 記 q=1-p, 因為 n it X q pe t ( (+=, m it Y q pe t ( (+=, 所以由 X與 Y 的獨立性得( ( ( ( it n m X Y X Y t t t pe q +=+,這正是二項分布 b(n + m, p的特征函數 , 由唯一性定理知 X+Yb(n+

12、m,P .7. 試用特征函數的方法證明泊松分布的可加性:若 X P (1, Y P (2 , 且 X與 Y 獨立 , 則 X +Y P (1+2.證:因為 , (, (1(1(21=it ite Y eX et e t 所以由 X 與 Y 獨立性得, ( ( (1 2(-+=+it e et t t Y X Y X 這正是泊松分布 P (1+2. 的特征函數 , 由唯一性定理知 X +Y P (1+2. .8. 試 用 特 征 函 數 的 方 法 證 明 伽 瑪 分 布 的 可 加 性 :若 , , (1a Ga X, (2a Ga Y , 且 X 與 Y 獨立 , 則 , (21a a Ga

13、 Y X +.證 因為 1 1( (a X it t -=, 2 1( (a Y itt -=, 所以由 X 與 Y 的獨立性得(211( ( ( (a a Y X Y X itt t t +-+-=,這正是伽瑪分布 , (21a a Ga +的特征函數 , 由唯一性定理知, (21a a Ga Y X +.9. 試用特征函數的方法證明 2分布的可加性:若 (2n X , (2m Y , 且 X 與 Y 獨立 , 則 . (2m n Y X +證 因為 j X (t = (1 - 2it -n 2 , j Y (t = (1 - 2it -m 2 ,所以由 X 與 Y 的獨立性得 -( n +

14、 m 2 j X +Y (t = j X (t + j Y (t = (1 - 2it , 這正是 c 2 分布 c 2 (n+m的特征函數,由唯一性定理知 X + Y c 2 (n + m. 10. 設 X i 獨立同分布,且 X i Exp(l ,i = 1,2,L, n .試用特征函數的方法證明: Yn = å X i Ga(n, l . i =1 n it 證 因為 j X i (t = (1 - -1 ,所以由諸 X i 的相互獨立性得 Yn 的特征函數為 l j Y (t = (1 - - n , l n it 這正是伽瑪分布 Ga(n, l 的特征函數,由唯一性定理知

15、Yn Ga(n, l . 11. 設連續隨機變量 X 服從柯西分布,其密度函數如下： p ( x = 1 p l + (x - m2 2 × l ,-¥ < x < +¥ , 其中參數 l > 0,-¥ < m < +¥ ,常記為 X Ch(l , m , (1 試證 X 的特征函數為 exp imt - l t ,且利用此結果證明柯西分布的可加 性； (2 當 m = 0, l = 1 時,記 Y=X,試證 j X +Y (t = j X (t jY (t ,但是 X 與不獨立； (3 若 X 1 , X 2 ,

16、L, X n 相互獨立,且服從同一柯西分布,試證： 1 (X1 + X 2 +L + X n n 與 Xi 同分布. 證 (1 因為 Y = X - m 的密度函數為 p( x = 1 p l + y2 2 × l ,-¥ < x < +¥ ,由本 節第 4 題(2知 Y 的特征函數為 fY (t = exp-l | t | .由此得 X = Y + m 的特征函數 j X (t =j Y +m (t = expimt jY (t = exp imt - l t . 下證柯西分布的可加性: 設 X i (i = 1,2 服從參數為 m i , li 的

17、柯西分布,其密度 函數為: pi ( x = 1 p l + (x - mi 2 2 1 2 1 × l ,-¥ < x < +¥, i = 1,2 .若 X 1 與 X 2 相互獨立,則 j X + X (t = j X (t j X (t = exp i (m1 + m 2 )t - (l1 + l 2 t , 2 4.6 這正是參數為 m1 + m 2 , l1 + l2 柯西分布的特征函數.所以由唯一性定理知, X 1 + X 2 服從參數為 m1 + m 2 , l1 + l2 的柯西分布. (2 當 m = 0, l = 1 時有 j X

18、(t = exp- t , jY (t = exp- t ,所以 j X +Y (t = j 2 X (t = j X (2t = exp- 2 t = exp- t exp- t = j X (t jY (t . 由于 Y=X,當然 X 與 Y 不獨立. 此題說明,由 j X +Y (t = j X (t jY (t 不能推得 X 與 Y 獨立. (3 設 X i 都服從參數為 m , l 的柯西分布,則特征函數為 j (t = exp imt - l t . 由相互獨立性得, 1 n å X i 的特征函數為 n i =1 imt - l t ,即 1 j (t / nn = e x p å Xi 與 n n i =1 X1 具有相同的特征函數,由唯一性定理知它們具有相同的分布. 12.設連續隨機變量 X 的密度函數為 p(x,試證：p(x關于原點對稱的充要條