1、第二章點、直線、平面之間的位置關系一、選擇題1設， 為兩個不同的平面，l，m 為兩條不同的直線，且l，m?，有如下的兩個命題：若 ，則 l m；若lm，則 那么 () A是真命題，是假命題B是假命題， 是真命題C都是真命題D都是假命題2如圖，ABCD A1B1 C1D1 為正方體，下面結論錯誤的是() A BD平面 CB1D1B AC1 BDC AC1平面 CB1D1(第2題)D異面直線AD 與 CB1 角為 60°3關于直線m， n 與平面， ，有下列四個命題：m， n且 ，則 m n； m， n且 ，則 m n；m， n且 ，則 m n； m， n且 ，則 m n其中真命題的序號

2、是() ABCD14給出下列四個命題：垂直于同一直線的兩條直線互相平行垂直于同一平面的兩個平面互相平行若直線 l1，l2 與同一平面所成的角相等，則 l1，l2 互相平行若直線 l1，l2 是異面直線，則與 l1，l2 都相交的兩條直線是異面直線其中假 命題的個數是 () A1B2C3D45下列命題中正確的個數是() 若直線 l 上有無數個點不在平面內，則 l若直線l 與平面平行，則l 與平面內的任意一條直線都平行如果兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條直線也與這個平面平行若直線l 與平面平行，則l 與平面內的任意一條直線都沒有公共點A0 個B1 個C2 個D3個6 兩直線 l

3、1 與 l2 異面，過 l1 作平面與 l 2 平行，這樣的平面() A 不存在B有唯一的一個C有無數個D只有兩個27把正方形ABCD 沿對角線AC 折起，當以A， B， C，D 四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD 和平面 ABC所成的角的大小為 () A 90°B 60°C45°D30°8下列說法中不正確的 是() A空間中，一組對邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形B同一平面的兩條垂線一定共面C過直線上一點可以作無數條直線與這條直線垂直，且這些直線在同一個平面內D過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直9給出以下四個命題：如果一條直線和一個平面平

4、行，經過這條直線的一個平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么些兩個平面互相垂直其中真命題的個數是() 3A4B3C2D 110異面直線a，b 所成的角 60°，直線 a c，則直線 b 與 c所成的角的范圍為() A 30°， 90°B 60°， 90°C 30°，60°D 30°， 120°二、填空題11已知三棱錐PABC 的三條側棱P

5、A，PB，PC兩兩相互垂直，且三個側面的面積分別為S1， S2，S3，則這個三棱錐的體積為12P 是 ABC 所在平面外一點， 過 P 作 PO平面，垂足是 O，連 PA， PB，PC( 1) 若 PA PBPC，則 O 為 ABC 的心；( 2) PAPB ， PAPC ， PCPB ， 則O是 ABC的心；( 3) 若點 P 到三邊 AB，BC，CA 的距離相等，則O 是 ABC的心；( 4) 若PA PB PC ， C 90o， 則O是AB邊 的點；( 5) 若 PAPB PC， AB AC，則點O 在 ABC 的線上13如圖，在正三角形ABC 中， D， E， F 分別為各J(第 13

6、 題)4邊的中點， G， H， I，J 分別為 AF， AD， BE， DE 的中點，將 ABC 沿 DE， EF， DF 折成三棱錐以后， GH 與 IJ 所成角的度數為14直線 l 與平面所成角為30°， l A，直線m，則 m 與 l 所成角的取值范圍是15棱長為 1 的正四面體內有一點P，由點 P 向各面引垂線，垂線段長度分別為d1，d2， d3， d4，則d1 d2 d3d4 的值為16直二面角 l 的棱上有一點A，在平面，內各有一條射線AB， AC 與 l 成 45°， AB， AC，則 BAC三、解答題17在四面體ABCD 中， ABC 與 DBC 都是邊長為

7、4 的正三角形( 1)求證： BC AD；( 2)若點 D 到平面 ABC 的距離等于3，求二面角 ABCD 的正弦值；(第 17 題)( 3)設二面角 A BCD 的大小為，猜想為何值時，四面體 ABCD 的體積最大( 不要求證明 )18 如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1 中， AB2，5BB1 BC 1，E 為 D1C1 的中點，連結ED，EC，EB 和 DB ( 1)求證：平面 EDB平面 EBC；( 2)求二面角 E DB C 的正切值 .(第 18題)19* 如圖，在底面是直角梯形的四棱錐 ABCD中， AD BC， ABC 90°，SA面 ABCD ，SA AB

8、BC， AD 1 2( 1) 求四棱錐 S ABCD 的體積；( 2) 求面 SCD 與面 SBA 所成的二面角的正切值( 提示：延長 BA， CD 相交于點 E，則直線 SE 是所求二面角的棱 .20* 斜三棱柱的一個側面的面積為10，這個側面與它所對棱的距離等于 6，求這個棱柱的體積 ( 提示：在 AA1 上取一點 P，過 P 作棱柱的截面，使 AA1 垂直于這個截面 .)(第 20題)6答案：DDDDBBCDBA11 12S1 S2 S3 12 外，垂，內，中，BC 邊的垂直平3分13 60°14 30°，90°156 16 60°或 120

9、76;3三、解答題17證明： ( 1) 取 BC中點 O，連結 AO， DO ABC， BCD都是邊長為4 的正三角形， AO BC， DOBC，且 AO DO O， BC平面 AOD又 AD 平面 AOD，BCAD(第17 題)解： ( 2) 由 ( 1) 知 AOD 為二面角A BC D 的平面角，設AOD ，則過點D 作 DE AD，垂足為 E7 BC平面 ADO，且 BC 平面 ABC，平面 ADO平面 ABC又平面 ADO平面 ABC AO， DE平面 ABC線段 DE 的長為點D 到平面 ABC的距離，即DE 3又 DO 23 BD2 3 ，在 Rt DEO中， sin DE 3

10、，DO2故二面角 ABC D 的正弦值為3 2( 3) 當 90°時，四面體ABCD的體積最大18證明： ( 1) 在長方體 ABCD A1B1C1D1 中， AB 2，BB1 BC 1， E 為 D1C1 的中點 DD1E 為等腰直角三角形，D1ED 45°同理 C1 EC 45° DEC90 ，即 DE EC在長方體 ABC A1B1C1D1中， BC平面D1DCC1，又 DE 平面DD1DCC1 ， BC DE又 EC BC C ， DE平面 EBC平面 DEB 過 DE，平面 DEB平面 EBC( 2) 解：如圖，過E 在平面 D1DCC1 中作 EODC

11、 于O在長方體 A1 B1C1 D1 中，面ABCD面ABCDD1 DCC1 ， EO面 ABCD過 O 在平面 DBC 中作OF DB 于 F，連結 EF， EF BD EFO為二面角 E DB C 的平面角利用平面幾何知識可得OF1，5(第 18 題)又 OE 1，所以， tan EFO 5 819*解： (1)直角梯形 ABCD的面積是 M 底面 1( BC AD ) AB 21 12 13，24四棱錐 SABCD 的體積是 V 1 · ·底面 1× ×3 1 SA M31434( 2)如圖，延長 BA，CD 相交于點 E，連結 SE，則 SE 是

12、所求二面角的棱 AD BC， BC 2AD，EAABSA， SE SB SA面 ABCD ，得面 SEB面 EBC， EB 是交線又 BCEB， BC面 SEB，故 SB 是 SC 在面 SEB上的射影，CSSE， BSC 是所求二面角的平面角 SB SA2 AB 2 2 ， BC 1， BCSB，tan BSC BC 2 ，(第 19題)SB2即所求二面角的正切值為2 220* 解： 如圖，設斜三棱柱ABC A1B1C1 的側面 BB1C1C 的面積為 10，A1A 和面 BB1C1C 的距離為6，在 AA1 上取一點P作截面 PQR，使 AA1截面 PQR，AA1 CC1，截面 PQR側面

13、 BB1C1C，過 P 作 POQR 于 O，則 PO側面 BB1C1C，且 PO 6V 斜 SPQR·AA1 1 ·QR·PO·AA12 1 ·PO·QR·BB129 1 × 10×62 30(第 20 題)10第二章點、直線、平面之間的位置關系參考答案及解析A 組一、選擇題1D 解析：命題有反例，如圖中平面平面 直線 n，l? ， m? ，且 l n ， mn ，則m l ，顯然平面不垂直平面，(第1題)故是假命題；命題顯然也是假命題，2 D 解析：異面直線AD 與 CB1 角為 45°3

14、D 解析：在、的條件下，m， n 的位置關系不確定4D 解析：利用特殊圖形正方體我們不難發現均不正確，故選擇答案D5 B解析：學會用長方體模型分析問題，A1A 有無數點在平面 ABCD 外，但 AA1 與平面 ABCD 相交，不正確； A1B1平面 ABCD ，顯然A1B1 不平行于BD ，不正確； A1B1 AB， A1B1平面 ABCD ，但 AB? 平面 ABCD 內，不正確； l 與平面 平行，則 l 與無公共點， l 與平面內的所有直線都沒有公共點，正確，應選B(第5題)116B 解析：設平面過 l1，且 l2 ，則 l1 上一定點 P 與l2 確定一平面， 與的交線 l3 l2，且

15、 l3 過點 P. 又過點 P 與 l2 平行的直線只有一條，即l3 有唯一性，所以經過 l1 和 l 3 的平面是唯一的， 即過 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的 .7C 解析：當三棱錐 D ABC體積最大時，平面DAC ABC，取 AC的中點 O，則 DBO是等腰直角三角形， 即 DBO45°8 D 解析： A一組對邊平行就決定了共面；B同一平面的兩條垂線互相平行，因而共面；C這些直線都在同一個平面內即直線的垂面；D把書本的書脊垂直放在桌上就明確了9 B 解析：因為 正確，故選 B10 A 解析：異面直線a ， b 所成的角為 60°，直線 c a ，過空間任一點

16、P，作直線a a， b b， cc. 若 a，b，c共面則 b與 c成 30°角，否則b 與 c 所成的角的范圍為 ( 30°，90°，所以直線 b 與 c 所成角的范圍為 30°，90° 二、填空題11 12S1S2 S3 3解析：設三條側棱長為a，b， c則 1 ab S1 ， 1 bc S2， 1 ca S3 三式相乘：222 1 a2 b2 c2 S1S2S3， 8 abc2 2 S1S2 S3 12 三側棱兩兩垂直， V 1 abc· 1 12S1S2S3 32312外，垂，內，中，BC邊的垂直平分解析： ( 1) 由三角形

17、全等可證得O 為 ABC 的外心；( 2)由直線和平面垂直的判定定理可證得，O 為 ABC 的垂心；( 3)由直線和平面垂直的判定定理可證得，O 為 ABC 的內心；( 4)由三角形全等可證得， O 為 AB 邊的中點；( 5)由 ( 1) 知，O 在 BC 邊的垂直平分線上， 或說 O 在 BAC的平分線上13 60°解析：將 ABC沿 DE，EF，DF 折成三棱錐以后， GH 與 IJ 所成角的度數為 60°14 30°， 90°解析：直線 l 與平面所成的 30°的角為 m 與 l 所成角的最小值，當 m 在內適當旋轉就可以得到l m，即

18、 m 與 l 所成角的的最大值為90°15 63解析：作等積變換：13 × ( d1 d2 d3 d4) 13 · h，3434而 h6 316 60°或 120°13解析：不妨固定AB，則 AC有兩種可能三、解答題17證明： ( 1) 取 BC中點 O，連結 AO， DO ABC， BCD都是邊長為4 的正三角形， AO BC， DOBC，且 AO DO O， BC平面 AOD又 AD 平面 AOD，BCAD(第17 題)解： ( 2) 由 ( 1) 知 AOD 為二面角A BC D 的平面角，設AOD ，則過點D 作 DE AD，垂足為 E

19、 BC平面 ADO，且 BC 平面 ABC，平面 ADO平面 ABC又平面 ADO平面 ABC AO， DE平面 ABC線段 DE 的長為點D 到平面 ABC的距離，即DE 3又 DO3BD2 3，2在 Rt DEO中， sin DE 3 ，DO2故二面角 ABC D 的正弦值為3 2( 3) 當 90°時，四面體ABCD的體積最大18證明： ( 1) 在長方體 ABCD A1B1C1D1 中， AB 2，BB1 BC 1， E 為 D1C1 的中點 DD1E 為等腰直角三角形，D1ED 45°同理 C1 EC 45°DEC90 ，即 DE EC14在長方體 ABC A1B1C1D1中， BC平面D1DCC1，又 DE 平面DD1DCC1 ， BC DE又 EC BC C ， DE平面 EBC平面 DEB 過 DE，平面 DEB平面 EBC( 2) 解：如圖，過E 在平面 D1DCC1 中作 EODC 于O在長方體 A1 B1C1 D1 中，面ABCD面ABCDD1 DCC1 ， EO面 ABCD過 O 在平面 DBC 中作OF DB 于 F，連結 EF， EF BD EFO為二面