1、東北師大附中 重慶一中 長春十一高中 吉林一中 四平一中 松原實驗中學2020屆高三聯合模擬考試文科數學試題一、選擇題：本題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先解不等式求出集合，再根據交集的定義求解即可【詳解】解：由即解得，則，由解得，則，故選：d【點睛】本題主要考查集合的交集運算，考查一元二次不等式的解法，考查指數不等式的解法，屬于基礎題2.已知復數（為虛數單位），則復數的虛部是（ ）a. 1b. -1c. d. 【答案】b【解析】【分析】先根據復數代數形式的運算性

2、質化簡求出復數，再根據虛部的定義即可求出答案【詳解】解：，復數的虛部是，故選：b【點睛】本題主要考查復數代數形式的運算性質以及虛部的定義，屬于基礎題3.已知，且為第三象限角，則的值等于（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先根據誘導公式得，再同角的平方關系得，再根據二倍角的正弦公式求解即可【詳解】解：，又為第三象限角，故選：c【點睛】本題主要考查二倍角的正弦公式、誘導公式以及同角的平方關系，屬于基礎題4.已知向量，若，則（ ）a. b. c. d. 2【答案】b【解析】【分析】先求出的坐標，再根據平面向量垂直的坐標表示計算即可【詳解】解：，又，解得，故選：b【點睛】本題主要考

3、查平面向量垂直的坐標表示，屬于基礎題5.設等差數列的前項和為，若，則的最小值等于（ ）a. -34b. -36c. -6d. 6【答案】b【解析】【分析】由題意先求出數列的公差，再根據前項和公式求出，再計算最小值即可【詳解】解：設數列的公差為，又，當時，有最小值，故選：b【點睛】本題主要考查等差數列的前項和的最值的求法，屬于基礎題6.已知，是空間中兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確是（ ）a. 若，則b. 若，則c. 若，則d. 若，且，則【答案】b【解析】【分析】以長方體為載體，結合平行與垂直判定與性質求解【詳解】解：作一個任意長方體，a中，如圖，取，面，面，而，即，故a錯；b

4、中，若，則根據線面平行的性質，平面內必存在直線，而，則，由面面垂直的判定定理可得，b對；c中，如圖，取，面，面，則，而，故c錯；d中，取面，面，則，但不垂直，故d錯；故選：b【點睛】本題主要考查平行于垂直的判定和性質，熟記八個定理并借助長方體為載體是解題關鍵，屬于易錯的基礎題7.孫子算經是中國古代重要的數學著作，書中有一問題：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，問積幾何？”，該著作中提出了一種解決此問題的方法：“重置二位，左位減八，余加右位，至盡虛減一，即得.”通過對該題的研究發現，若一束方物外周一匝的枚數是8的整數倍時，均可采用此方法求解，如圖是解決這類問題的程序框圖，若輸入，則輸出的結果為

5、（ ）a. 80b. 47c. 79d. 48【答案】c【解析】【分析】模擬程序的運行，依次寫出每次循環得到的，的值，當時，滿足條件退出循環，即可得到輸出的值【詳解】解：模擬程序的運行，可得，執行循環體，不滿足條件，執行循環體，不滿足條件，執行循環體，滿足條件，可得，退出循環，輸出的值為；故選：c【點睛】本題主要考查循環結構的程序框圖的應用，在寫程序的運行結果時，我們常使用模擬循環的方法，但程序的循環體中變量比較多時，要用表格法對數據進行管理，屬于基礎題8.設變量，滿足約束條件，則的最大值為（ ）a. 2b. -4c. 12d. 13【答案】c【解析】【分析】作出可行域，結合目標函數的幾何意義

6、即可求出答案【詳解】解：變量，滿足約束條件的可行域如圖，由得，目標函數變形為，平移直線經過點時，目標函數取得最大值，故選：c【點睛】本題主要考查簡單的線性規劃，屬于基礎題9.2002年國際數學家大會在北京召開，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的，看起來象個轉動的風車，很有美感(圖1)；弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(圖2).如果直角三角形的較短直角邊長和較長直角邊長分別為1和2，則向大正方形內任投一質點，質點落在小正方形內的概率為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先求出大小正方形的面積，再根據幾何概型的概率計算公式求出概率【詳解】解

7、：由題意可求出大正方形的邊長為，則其面積為，小正方形的邊長為1，其面積為1，則質點落在小正方形內的概率，故選：a【點睛】本題主要考查幾何概型的概率計算，根據題意選擇合適的測度是解題關鍵，屬于基礎題10.已知函數（）在上恰有一個最大值1和一個最小值-1，則的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據函數的解析式，利用的取值范圍與三角函數圖象與性質，列出不等式求出的取值范圍【詳解】解：，又函數在上恰有一個最大值和一個最小值，解得，故選：c【點睛】本題主要考查正弦型函數的圖象與性質的應用問題，屬于中檔題11.已知是雙曲線的左、右焦點，若點關于雙曲線漸近線的對稱點滿足（為坐

8、標原點），則的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先利用對稱求出點p的坐標，結合opf2pof2可知，利用兩點間距離公式可求得離心率.【詳解】設是關于漸近線的對稱點，則有；解得；因為opf2pof2，所以，；化簡可得，故選b.【點睛】本題主要考查雙曲線的性質.離心率的求解一般是尋求之間的關系式.12.已知函數與函數的圖象在區間上恰有兩對關于軸對稱的點，則實數取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由題意可得在上恰有兩個解，分離變量得，令，利用導數求出函數在上的函數值變化，由此可得答案【詳解】解：由題意可得在上恰有兩個解，即在上恰有兩個解，即

9、在上恰有兩個解，令，則，函數在上單調遞增，在上單調遞減，又，故選：a【點睛】本題主要考查利用導數討論函數的單調性，考查轉化思想，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則_【答案】3【解析】【分析】利用分段函數的解析式，轉化求解即可【詳解】解：，故答案為：3【點睛】本題主要考查已知分段函數解析式求函數值，屬于基礎題14.正三棱柱的所有棱長都相等，是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為_【答案】【解析】【分析】將正三棱柱補成如圖所示的四棱柱，則為異面直線與所成角，解三角形即可【詳解】解：將正三棱柱補成如圖所示的四棱柱，其中，連接，因為，所以為異面直線與所成角（或其

10、補角），設，則，為正三角形，由余弦定理得，則，異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：【點睛】本題主要考查異面直線所成角，考查計算能力，屬于基礎題15.已知各項都為正數的數列的前項和為，并且，則_【答案】【解析】【分析】由題意得，當時，解得；當時，從而推出，則，再根據等差數列的通項公式求解即可【詳解】解：，當時，解得；當時，則，或（舍去），數列是以1為首項，2為公差的等差數列，故答案為：【點睛】本題主要考查數列的遞推公式，考查定義法判斷等差數列，考查等差數列的通項公式，考查計算能力，屬于中檔題16.已知拋物線的焦點為，直線過且依次交拋物線和圓于，四個點，設，則_；的最小值為_【答案】 (1).

11、16 (2). 74【解析】【分析】求得拋物線的焦點和準線方程，圓的圓心和半徑，由題意設直線的方程為，聯立拋物線方程，運用韋達定理和拋物線的定義、結合基本不等式即可求得答案【詳解】解：由題意得，準線方程為，圓的圓心為，半徑，由題意設直線的方程為，聯立消元得，由拋物線定義可得，當且僅當且即，時等號成立，故答案為：16，74【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線定義的應用，考查計算能力，屬于中檔題三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.17.在中，角，對邊分別為，已知向量，

12、若.（1）求角的弧度數；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，根據兩角和余弦公式及三角形內角和即可求出答案；（2）由余弦定理及可得，再根據面積公式即可求解【詳解】解：（1）由題意，；（2）由余弦定理，且，【點睛】本題主要考查余弦定理和三角形的面積公式，考查向量相等，考查兩角和的余弦公式，屬于基礎題18.2019年10月1日我國隆重紀念了建國70周年，期間進行了一系列大型慶祝活動，極大地激發了全國人民的愛國熱情.某校高三學生也投入到了這場愛國活動中，他(她)們利用周日休息時間到社區做義務宣講員，學校為了調查高三男生和女生周日的活動時間情況，隨機抽取了高三男生

13、和女生各40人，對他(她)們的周日活動時間進行了統計，分別得到了高三男生的活動時間(單位：小時)的頻數分布表和女生的活動時間(單位：小時)的頻率分布直方圖.（活動時間均在內）活動時間頻數8107942（1）根據調查，試判斷該校高三年級學生周日活動時間較長的是男生還是女生？并說明理由；（2）在被抽取的80名高三學生中，從周日活動時間在內的學生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.【答案】（1）女生，理由見解析；（2）【解析】【分析】（1）列出女生周日活動時間頻數表，對比男生和女生活動時間頻數表即可得出結論；（2）運用古典概型的概率計算公式求解即可【詳解】解：（1）該校高三年級周日活動時間較長的是

14、女生，理由如下：列出女生周日活動時間頻數表活動時間頻數6712104對比男生和女生活動時間頻數表，可以發現：活動時間在2小時及其以上的男生有22人，女生有34人；活動時間在3小時及其以上的男生有15，女生有26人；都是女生人數多于男生人數，所以該校高三年級周日活動時間較長的是女生；（2）被抽到的80學生中周日活動時間在內的男生有2人，分別記為，女生有4，分別記為，從這6人中抽取2.共有以下15個基本事件，分別為：，；其中恰為1男1女的共有8種情形，所以所求概率【點睛】本題主要考查古典概型的概率計算公式，屬于基礎題19.在四棱錐中，平面，在棱上，且，在底面中，為對角線，的交點.（1）證明：平面；

15、（2）若，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）1【解析】【分析】（1）由題意，都為等腰三角形，故對角線，從而可證出，借助線面平行的判定定理即可得出結論；（2）由（1）可知：點到平面的距離等于點到平面的距離，所以三棱錐的體積等于三棱錐的體積，由此即可求出答案【詳解】（1）證：在底面中，都為等腰三角形，故對角線，所以，由在棱上，且知：，所以在中有，所以，又平面，平面，所以平面；（2）解：由（1）可知：點到平面的距離等于點到平面的距離，所以三棱錐的體積等于三棱錐的體積，而平面，所以三棱錐的高，所以，故三棱錐的體積為1【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理，考查等體積法求三棱錐的體積，屬于

16、中檔題20.已知橢圓：（）的左焦點為，是上一點，且與軸垂直，分別為橢圓的右頂點和上頂點，且，且的面積是，其中是坐標原點.（1）求橢圓的方程.（2）若過點的直線，互相垂直，且分別與橢圓交于點，四點，求四邊形的面積的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）依題意可設，則有，解出即可；（2）分類討論，當，時，；當，斜率存在時，設：，：，分別聯立橢圓方程，利用韋達定理求出，再根據面積公式以及基本不等式即可求出答案【詳解】解：（1）依題意畫出下圖可設，則有：，解得，橢圓的標準方程為；（2）當，時，；當，斜率存在時，設：，：，分別聯立橢圓方程，聯立得，同理，當且僅當即即時等號成立，故四邊形的面積

17、的最小值【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查計算能力，屬于中檔題21.已知函數（）.（1）當時，討論函數單調性；（2）若，（，為的兩個零點，且）求的取值范圍.【答案】（1）在和上單調遞增，在上單調遞減；（2）【解析】【分析】（1）當時，求導后根據導數研究函數的單調性即可；（2）求導得，由題意知方程在上有兩個不等的實根，（），由此可得，根據韋達定理化簡變形得，令，則，求導后根據導數研究函數的單調性，從而得出，再根據基本不等式即可求出答案【詳解】解：（1）當時，令，解得或，令，解得，所以在和上單調遞增，在上單調遞減；（2），由題意知方程在上有兩個不等的實根，（），所以

18、，解得，令，則，所以在上單調遞減，又，所以，而，當且僅當等號成立即，綜上：實數的取值范圍為【點睛】本題主要考查根據導數研究函數的單調性與最值，考查計算能力，屬于難題22.在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數，為直線的傾斜角），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出曲線的直角坐標方程，并求時直線的普通方程；（2）直線和曲線交于、兩點，點的直角坐標為，求的最大值.【答案】（1）：， ：；（2）【解析】【分析】（1）把兩邊同時乘以，然后結合極坐標與直角坐標的互化公式可得曲線的直角坐標方程，由直線的參數方程可知直線過定點，并求得直線的斜率，即可寫出直線的普通方程；（2）把直線的參數方程代入曲線的普通方程，化為關于的一元二次方程，利用判別式、根與系數的關系及此時的幾何意義求解【詳解】解：（1），曲線的直角坐標方程為，當時，直線的普通方程為；（2）把直線的參數方程為代入，得，則與同號且小于0，由