1、 高等數學（下）高等數學（下） 河海大學理學院河海大學理學院第四節 多元復合函數的求導法則 高等數學（下）高等數學（下）uvxzy求導法則求導法則(鏈式法則鏈式法則)如圖示如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 高等數學（下）高等數學（下）一、鏈式法則ufvf 高等數學（下）高等數學（下） ovvzuuzz 證證 xoxvvzxuuzxz, 0 x,xuxu,xvxv,22xvxux 高等數學（下）高等數學（下）.lim0 xvvzxuuzxzxzx注注 該定理可推廣到任意的中間變量和任意的該定理可推廣到任意的中間變量和任意的自變量的情況自變量的情況. .求導時求導時,

2、 ,要兼顧到每一個中間變量要兼顧到每一個中間變量. .如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz 全導數公式再如再如xududzxz 高等數學（下）高等數學（下）例例 1 設設vezusin ，而而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz . 解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 高等數學（下）高等數學（下）例例 2 設設tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全導導數數dtdz. 解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuve

3、tcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 高等數學（下）高等數學（下）注注特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中其中把把復復合合函函數數,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數數把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數數兩者的區別兩者的區別區別類似區別類似 高等數學（下）高等數學（下）),(yxufz ,xfxz222),(zyxezyxfuyxzsin2xuyu 高等數學（下）高等數學（下） 例例 3 設

4、設),(xyzzyxfw ，f具具有有二二階階 連連續續偏偏導導數數，求求xw 和和zxw 2. . 解解令令, zyxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf 半抽象函數情形半抽象函數情形,1f 12f ,2f 等仍是通過中間變量等仍是通過中間變量u,v是自變量的函數是自變量的函數. 高等數學（下）高等數學（下） zxw2)(21fyzfz ;221zfyzfyzf zf1;1211fxyf zf2;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz

5、 .)(22221211f yf zxyfzxyf xw;21fyzf 高等數學（下）高等數學（下）答案答案22xz222121112fyfyf yxz2222231221fyfyxfyx 高等數學（下）高等數學（下）答案答案fyf 242f 高等數學（下）高等數學（下）yx.22222uyuxu),(),(),(ffyxfu),(fu ),(yxfuyx11yuxuu代換代換 高等數學（下）高等數學（下）)()(2yuxuu.2222yuxu. 03422222yuyxuxuyxyx31、02u謂之自變量代換謂之自變量代換. 高等數學（下）高等數學（下）全微分形式不變形的實質全微分形式不變形

6、的實質： 無論無論 是自變量是自變量 的函數或中間變量的函數或中間變量 的函數，它的全微分形式是一樣的的函數，它的全微分形式是一樣的. .zvu、vu、二、全微分形式不變性 定定理理 2 設設函函數數),(vufz 具具有有連連續續偏偏 導導數數，則則不不論論 是是自自變變量量還還是是中中間間 變變量量，都都有有全全微微分分 dvvzduuzdz ; ;. . vu、 高等數學（下）高等數學（下）dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 證證 當當 是是中中間間變變量量時時，即即),(yxu 及及),(yx

7、v vu、 高等數學（下）高等數學（下）vdvfudufdz22 解解xdxexdyeduyycossin ydyeydxedvxxsincos 高等數學（下）高等數學（下）解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe 高等數學（下）高等數學（下）1 1、鏈式法則、鏈式法則（分三種情況）（分三種情況）2 2、全微分形式不變性、全微分形式不變性（特別要注意課中所講的特殊情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）（理解其實質）（理解其實質）三、小結 高等數學（下）高等數學（下）設設),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，則則xfdxdvvfdxduufdxdz ，試試問問dxdz與與xf 是是否否相相同同？為為什什么么？思考題思考題 高等數學（下）高等數學（下）思考題解答思考題解答不不相相同同.等等式式左左端端的的z是是作作為為一一個個自自變變量量x的的函函數數，而而等等式式右右端端最最后后一一項項f是是作作為為xvu ,的的三三元元函函數數， 寫出來為寫出來為 xxvux