1、一、二維形式的柯西不等式一、二維形式的柯西不等式 ., )( 1等等號號成成立立時時當當且且僅僅當當則則實實數數都都是是若若二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理bcaddcba 222222222222222)()(bd)(ac )(:bdacbcadcbdadbcadcba 證證明明bdacdcba 2222)1(bdacdcba 2222)2(二維形式的柯西不等式的變式二維形式的柯西不等式的變式:22222)()(bdacdcba .,., )( 2等等號號成成立立時時使使或或存存在在實實數數是是零零向向量量當當且且僅僅當當則則是是兩兩個個向向量量設設柯柯西西不不等等式式的的向

2、向量量形形式式定定理理 kk 2332244)()(, 1babababa 證證明明為為實實數數已已知知例例的最大值的最大值求函數求函數例例xxy21015 3 4111,ba, 2 baRba求證求證設設例例復習復習: .,),()()()1(22222等等號號成成立立時時當當且且僅僅當當二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式bcadRdcbabdacdcba .,.(4)等等號號成成立立時時使使或或存存在在實實數數是是零零向向量量當當且且僅僅當當柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式式 kk bdacdcba 2222)2(bdacdcba 2222)3(2212212222212122

3、11)()(R,y,x,y, )( 3yyxxyxyxx 那那么么設設二二維維形形式式的的三三角角不不等等式式定定理理2212212221212221212222212121212222212121212222222221212121222222121)()(x 22x )(2x 2x 2x )(:yyxyyyyxxxyxyyxxyyxyyxxyyxyxyxyyxyx 證明證明22122122222121)()(yyxxyxyx 22122122222121)()( yyxxyxyx 二二維維形形式式的的三三角角不不等等式式221221221222222212121)()()( zzyyxxz

4、yxzyx 三三維維形形式式的的三三角角不不等等式式22222112222122221)()()( nnnnyxyxyxyyyxxx 一一般般形形式式的的三三角角不不等等式式補充例題補充例題:.1,yb, 1的最小值的最小值求求且且已知已知例例yxxaRbayx 2min22222)()(.,)( )()(,1, :bayxbayxxayybxbaybxayxyxybxaRbayx 時時取取等等號號即即當當且且僅僅當當解解變式引申變式引申:.,94, 13222并并求求最最小小值值點點的的最最小小值值求求若若yxyx )61,41(,2194614113232.32, 1312.2194, 1

5、)32()11)(94(:222222222最最小小值值點點為為的的最最小小值值為為得得由由時時取取等等號號即即當當且且僅僅當當由由柯柯西西不不等等式式解解yxyxyxyxyxyxyxyxyx 5,5. 10,10.102 ,102. 52 ,52-A.) (,10,. 122 DCBbabaRba的的取取值值范范圍圍是是則則且且若若補充練習補充練習2536. 3625. 56. 65A.) (32, 1. 222DCByxyx的的最最小小值值是是那那么么已已知知 _1212. 3的的最最大大值值為為函函數數 xxy_2, 623,. 422值值是是的的最最大大則則滿滿足足設設實實數數yxPy

6、xyx _)1()1(, 1. 522的的最最小小值值是是則則若若bbaaba AB311225小結小結: .,),()()()1(22222等等號號成成立立時時當當且且僅僅當當二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式bcadRdcbabdacdcba .,.(4)等等號號成成立立時時使使或或存存在在實實數數是是零零向向量量當當且且僅僅當當柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式式 kk bdacdcba 2222)2(bdacdcba 2222)3(22122122222121)()(5)yyxxyxyx 二二維維形形式式的的三三角角不不等等式式221221232232231231)()(x

7、)()()()()6(yyxyyxxyyxx .,:1221等等號號成成立立時時當當且且僅僅當當的的柯柯西西不不等等式式化化簡簡后后得得二二維維形形式式將將平平面面向向量量的的坐坐標標代代入入能能得得到到從從平平面面向向量量的的幾幾何何背背景景baba， 2221122212221)()()(bababbaa 化化簡簡后后得得將將空空間間向向量量的的坐坐標標代代入入也也能能得得到到從從空空間間向向量量的的幾幾何何背背景景類類似似地地，, 2332211232221232221)()()(babababbbaaa .)3 , 2 , 1(, 0,等等號號成成立立時時使使得得或或存存在在一一個個數

8、數即即共共線線時時當當且且僅僅當當，ikbakii 猜想柯西不等式的一般形式猜想柯西不等式的一般形式222112222122221)()(bnnnbabababbbaaa ，aaaAn22221 設設，bbbCn22221 nnbababaB 22112BAC 則則不不等等式式就就是是分析：分析：)( )(2)()(222212211222221nnnnbbbxbababaxaaaxf 構造二次函數構造二次函數0)()()()(2222211 nnbxabxabxaxf又又0)()(4)(4, 0)(222212222122211 nnnnbbbaaabababaxf即即的的判判別別式式二二次

9、次函函數數。等等號號成成立立時時使使得得或或存存在在一一個個數數當當且且僅僅當當則則是是實實數數設設一一般般形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理,),2 , 1(,),2 , 1(0,)(321321nikbaknibbbbbaaaaiiinn 222112222122221)()(bnnnbabababbbaaa 2222122121)(1, 1nnnaaaaaanaaa 求求證證都都是是實實數數已已知知例例22122221222)111( )(111(:nnaaaaaa 證明證明22122221)( )(nnaaaaaan 22221221)(1nnaaaaaan dacdbcabdc

10、badcba 2222, 2證證明明是是不不全全相相等等的的正正數數已已知知例例dacdbcabdcbdacdbcabdcbaaddccbbadcbadacdbcabadcbdca 2222222222222222222a )()(,)( )(:即即不成立不成立是不全相等的正數是不全相等的正數證明證明的的最最小小值值求求已已知知例例222, 132 3zyxzyx 141143,71,1413211411)32()321)(:2222222222222取取最最小小值值時時即即當當且且僅僅當當證證明明zyxzyxzyxzyxzyxzyx 1111x1x:1,xx,Rx,x, 6. 4122221

11、21n21n21 nxxxxxxPnn求證求證且且設設1)()1x1 1111()x1x 11()11x(1 )111()1(:2212n222111n2n222121212222121 nnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxn證明證明1111x1x2222121 nxxxxnn的的和和叫叫做做數數組組則則的的任任何何一一個個排排列列是是數數組組設設),(),( ,)1(21212121nnnnbbbaaabbbcccnncacacaS 2211亂序和亂序和稱稱為為所所得得的的和和按按相相反反順順序序相相乘乘和和將將數數組組 ),(),()2(2121nnbbbaaa 1231211babababaSnnnn 反序和反序和稱稱為為所所得得的的和和按按相相同同順順序序相相乘乘和和將將數數組組 ),(),()3(2121nnbbbaaa 3322112nnbabababaS 順序和順序和21 SSS 即即順順序序和和亂亂序序和和反反序序和和.,c,)( 212122112211112121212121反反序序和和等等于于順順序序和和時時或或當當且且僅僅當當那那么么的的任任一一排排列列是是為為兩兩組組實實數數設設理理排排序序不不等等式式或或稱稱排排序序原原定定理理nnnnnnnnnnnnnbbbaaabababacacacababababbbccbbbaaa