1、特殊行列式及行列式計(jì)算方法總結(jié)幾類(lèi)特殊行列式1.上（下）三角行列式、對(duì)角行列式（教材 P7例5、例6）2.以副對(duì)角線(xiàn)為標(biāo)準(zhǔn)的行列式a11a21Manna12a22M0LLM0a1n0M000M0an1an 1,2an2LLMLLa2,n 1Ma1na2nM3.n(n 1)1) 2 *弘&2丄an1分塊行列式（教材P14例10）an 1,n 1an,n 1an 1,nannan1LLNLa2,n 100a1n000一般化結(jié)果:4.注:AnCn m0m nBmAnOn mCm nBmAnBm0nmAnBmCm nCn mAnBm0m n(1)mnAnBm范德蒙行列式（教材P18例12）4種

2、特殊行列式的結(jié)果需牢記!以下幾種行列式的特殊解法必須熟練掌握!低階行列式計(jì)算二階、三階行列式一一對(duì)角線(xiàn)法則（教材P2、P3）高階行列式的計(jì)算【五種解題方法】1)利用行列式定義直接計(jì)算特殊行列式;2)3)4)遞推法或數(shù)學(xué)歸納法;5)升階法（又稱(chēng)加邊法）【常見(jiàn)的化簡(jiǎn)行列式的方法】1.利用行列式定義直接計(jì)算特殊行列式例1（ 2001年考研題）020000199900002001分析：該行列式的特點(diǎn)是每行每列只有一個(gè)元素,因此很容易聯(lián)想到直接利用行列式定義進(jìn)行計(jì)算。解法一：定義法D ( 1)(n 1，n 2'"2,1，n)2001!( 1)0 1 2 - 1999 0 2 001!2

3、001!解法二：行列式性質(zhì)法利用行列式性質(zhì)2把最后一行依次與第n-1, n-2,2,1行交換（這里n=2001）,即進(jìn)行2000次換行以后,變成副對(duì)角行列式。D ( 1 )2001 1000M000M002M200100M1 )20012001 (2001 1)1( 1) 22001! 2001!0200019990解法三：分塊法02000019990 _00；L 0 0 2001利用分塊行列式的結(jié)果可以得到D=200100M0200000M19990LLMLL02M0010M=2001 (-1)002000(2000-1)22000!=2001!解法四：降階定理展開(kāi)按照每一行分別逐次展開(kāi)，此

4、處不再詳細(xì)計(jì)算。2.利用行列式的性質(zhì)將高階行列式化成已知結(jié)果的特殊行列式1 a111分析：該行列式的特點(diǎn)是化成0.解:r4311b1111b分析:1很多，可以通過(guò)14來(lái)將行列式中的很多1aa001100110011 a1111 a11210a11abab00bb00114100111111 b1111 b0011 bD1ab10000110011b2b23aafbiab23a2afb2a2b223a3afbs03 b2a3aqbqa4b4Db3bb3b：該類(lèi)行列式特點(diǎn)是每行0)a的次數(shù)遞減，b的次數(shù)增加。特點(diǎn)與范德蒙行列式相似，因此可以利用行列式的性質(zhì)將 D化成范德蒙行列式。解:1（西已2（與

5、a1a1a11（蜀(E)2(E)3a2a2a21隹）（與世)3a3a3a31（蟲(chóng)）凸2(笛3a4a4a4ba b31 1b4,)aa?a3a4r 33 3 3Dai a? a3 印V33 3 3a1 a2a3a433 3 3a1 a2a3a4b be -)ai練習(xí)：（11-12年IT專(zhuān)業(yè)期末考試題）1若實(shí)數(shù)x, y,z各不相等，則矩陣M xx2z的行列式|m|2z3.利用行列式的行（列）擴(kuò)展定理以及行列式的性質(zhì)，將行列式降階進(jìn)行計(jì)算Dn分析：該行列式特點(diǎn)是a處于主對(duì)角線(xiàn),b在a后的一個(gè)位置,最后一行中b是第一個(gè)元素，a是最后一個(gè)元素。解：按第一列展開(kāi)：ab0L00b/八11a ( 1)0abL

6、00八n 111) babLL(OO000Laba b000L0an 1/ 八a ( 1)n 11b bn1n a(1)n 1bnaDn練習(xí)：（11-12年期中考試題）Dn4.行（列）和相等的行列式Dna b M bLLML分析：該行列式的特點(diǎn)是主對(duì)角線(xiàn)上元素為其余位置上都是b。可將第2,3，n列加到第1列上。（類(lèi)似題型:教材P12例 8, P27 8(2)解:a （n 1）b（a b）n5.箭頭形（爪行）行列式LLLLL1bLb1bLb1aLba (n 1)b1a bL0MMML/JMMMM1bLa10La bDn a (n 1)b1120L0分析：該類(lèi)行列式特點(diǎn)是第一行、第一列及主對(duì)角上元

7、素不為0,其余位置都為0.解此類(lèi)行列式方法，是將行列式化成上三角行列式。2,3,n列分別乘解：分別從第2,3,n列提出因子2,3，n,然后將第 以-1，再加到第1列上。1111n 111 ,10-L-L23ni 2 i23n110 L0n!010 L0101 L0001 L0LLLL100 L1000 L1D n!n n!i 2(-)i注：爪形行列式非常重要,很多看似復(fù)雜的行列式通過(guò)簡(jiǎn)單變化以后都可以化成爪形行列式進(jìn)行計(jì)算!練習(xí):1)2)教材習(xí)題P28: 8（6）（11-12年期末考試題）An3)a0L00(n00L1)（11-12年IT期末考試題）X1a1qa1a2anana2X2a2La3

8、a3x3a2a3LLLLLanananxn分析：該類(lèi)行列式特點(diǎn)是每一行只有主對(duì)角線(xiàn)上的元素與第一個(gè)元素不同。解:(Xi(XiX1a1a1aiX1X1Xiajai)a2X2 a20L0(X2(X2(Xi ai)1i 1a2)La2)La30X3a3(Xn(Xnnaii 1 Xiai-ian)an )LLLLLXian00XnX1a111M11 Xi0M0ana2X2 a2aia3X3a310M001M0LLMLanXnan00M1aia2X2 a21M0anXnan0M16.遞推法或數(shù)學(xué)歸納法該方法用于行列式結(jié)構(gòu)具有一定的對(duì)稱(chēng)性,教材P15例11就是遞推法的經(jīng)典例題。利用同樣的方法可以計(jì)算教材

9、P27 8。7.升階法通常計(jì)算行列式都采用降階的方法， 是行列式從高階降到低階，但是對(duì)于某些行列式,可以通過(guò)加上一行或一列使得行列式變成特殊行列式，再進(jìn)行計(jì)算。(教材 P28 8(6)分析:Dn =1+a-,1M111+a2M1LLML11M1+an,(a 0)該題有很多解法，這里重點(diǎn)介紹升階法。因?yàn)樾辛惺街杏泻芏?，因此可行列式是為了使行列以增加一行1,使得行列式變成比較特殊或者好處理的行列式。注意: 方形的，因此在增加一行以后還要增加一列， 以保持行列式的形狀。式的值不改變，因此增加的列為1,0,0,0.111L1111L1定理301+a11L1ri-r1-1a10L0Dn =011+a2

10、L1=-10a2L0MMMMMMMMMM011L1+an-100Lan)n 1=a1a2.an(1+=)i=1 ai例9 （教材P27 6分析：此行列式可以應(yīng)用性質(zhì)D=a2 a4 a1bb2b4c2 c4 c1dd2d46將行列式化為上三角行列式，也可以對(duì)比范德蒙行列式的形式,通過(guò)添加一行和一列把行列式變成范德蒙行列式以后再進(jìn)行計(jì)算。解法43Da2r3ar22 ar1bb(b2 2b (baa)2a按第一列=開(kāi)（bcc(c2 2c (c1aa)2add(d2 2d (d1aa)a2)1a)(ca)(da)a)(ca)(da)( bb2 (b1bb2(ba)cc2(ca)a)按第一行展開(kāi)（ba)(ca)(da)ca)2,c (cbb2(bca)d)d2(d0bb2(ba)(a b)(a c)(ad)(bc2(cc)(b d)(c d)(aa)d2(db ca) d2(d da)d)bb2(b0d ba) b2(b a)a)解法二:D5a2 a3 a4 abb2b3b4c2 c3 c4 cdd2d3d4x2 x3 x4 x(xa)(x b)(x