1、高考數學快速提升成績題型訓練直線與圓1. 已知圓的方程是，直線，當為何值時，圓與直線有（1）有兩個交點；（2）有一個交點；（3）沒有交點2 已知圓C：(x-1)2+(y-2)2=2，點P(2，-1)，過P點作圓C的切線PA、PB，B、A為切點.(1)求PA、PB所在直線的方程；(2)求切線長|PA|；(3)求APB的正弦值；(4)求AB的方程.3.如圖所示，已知定點A(2，0)，點Q是圓x2+y2=1上的動點，AOQ的平分線交AQ于M，當Q點在圓上移動時，求動點M的軌跡方程.4.已知圓C：(x-2)2+(y-3)2=4，直線l：(m+2)x+(2m+1)y=7m+8.(1)證明：不論m為何實數

2、值，直線l與圓C恒相交；(2)當直線l被圓C截得的弦長最短時，求m的值.5.已知圓C：x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圓C的切線在x軸和y軸上截距相等，求切線的方程；(2)從圓C外一點P(x，y)向圓引切線PM，M為切點，O為坐標原點，且有：|PM|=|PO|，求使|PM|最小的點P的坐標.6、由點P(0,1)引圓x2+y2=4的割線l，交圓于A,B兩點，使AOB的面積為（O為原點），求直線l的方程。7、點A(0,2)是圓x2+y2=16內的定點，點B,C是這個圓上的兩個動點，若BACA,求BC中點M的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么曲線。8、已知與曲線C: x2+y2-2x-2y+1=

3、0相切的直線l與x軸、y軸的正半軸交于兩點A、B，O為原點，|OA|a，|OB|=b(a>2,b>2)（1）求證：曲線C與直線l相切的條件是(a-2)(b-2)=2 ;（2）求AOB面積的最小值。9. 條件：(1)截軸弦長為2.(2)被軸分成兩段圓弧，其弧長之比為3:1在滿足(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線距離最小時圓的方程.10. 一直線經過點P被圓截得的弦長為8, 求此弦所在直線方程11. 如圖,圓O1與圓O2的半徑都是1,O1O2=4,過動點P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN（M、N分別為切點），使得試建立適當的坐標系，并求動點 P的軌跡方程.12.方程ax2+ay2

4、4（a1）x+4y=0表示圓，求a的取值范圍，并求出其中半徑最小的圓的方程13一個圓的圓心在直線x-y-1=0上,與直線4x+3y+14=0相切,在3x+4y+10=0上截得弦長為6,求圓的方程17已知圓C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率為1的直線L,使以L被圓C截得弦AB為直徑的圓經過原點?若存在,寫出直線的方程;若不存在,說明理由14求圓C1: 與圓C2: 的公共弦所在直線被圓C3:所截得的弦長15在平面直角坐標系中，已知矩形的長為，寬為，、邊分別在軸、軸的正半軸上，點與坐標原點重合（如圖所示）將矩形折疊，使點落在線段上（）若折痕所在直線的斜率為，試寫出折痕所在直線的方程；

5、（）求折痕的長的最大值O(A)BCDXY16. 如圖，在直角坐標系xOy中，射線OA在第一象限內，且與x軸的正向成定角60º，動點P在射線OA上運動，動點Q在y軸正半軸上運動.POQ的面積為定值.（1）求線段PQ的中點M的軌跡C的方程；（2）R1、R2是曲線C上的動點，R1、R2到y軸的距離之和為1，設u為R1、R2到x軸距離之積，是否存在最大的常數m，使um恒成立？如果存在，求出這個m的值，如果不存在，請說明理由.A60ºyxMQPO17.求過A(1，2)與B(3，4)兩點，且在x軸上截得的弦長等于6的圓的方程18.設t=3x6y，式中變量x、y滿足下列條件求t的最大值和

6、最小值19.已知圓x2+y2+8x-4y=0與以原點為圓心的某圓關于直線y=kx+b對稱，（1）求k、b的值；（2）若這時兩圓的交點為A、B，求AOB的度數.20.若動圓C與圓(x-2)2+y2=1外切，且和直線x+1=0相切.求動圓圓心C的軌跡E的方程.21.已知圓C：x2+y22x+4y4=0,是否存在斜率為1的直線l,使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點.若存在，求出直線l的方程;若不存在，說明理由.22.設圓滿足(1)y軸截圓所得弦長為2.(2)被x軸分成兩段弧，其弧長之比為31，在滿足(1)、(2)的所有圓中，求圓心到直線l:x2y=0的距離最小的圓的方程23. 已知圓C與圓相外切

7、，并且與直線相切于點，求圓C的方程24. 已知直線(a-2)y=(3a-1)x-1 (1)求證無論a為何值，直線總過第一象限(2)為使這直線不過第二象限，求a的范圍25. 求與y軸相切，圓心在直線x3y0上，且被直線yx截得的弦長為的圓的方程。(如右圖）55BDCXOCIY分析：求圓的方程關鍵是求圓心與半徑，因為圓心在直線x3y0上，故可設圓心為（3b,b） 又圓與y軸相切，所以r3b26. 已知點A(2, 0), B(0, 6), O為坐標原點.()若點C在線段OB上, 且BAC=45°, 求ABC的面積;() 若原點O關于直線AB的對稱點為D, 延長BD到P, 且|PD|=2|B

8、D|.已知直線l:ax+10y+84-108=0經過P, 求直線l的傾斜角.27. 制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個項目. 根據預測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100和50，可能的最大虧損分別為30和10. 投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元. 問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？28. 已知圓x2+y2=16, 點A(2, 0). 若P、Q是圓上的動點且APAQ, 求PQ中點的軌跡方程.29. F過定點A(a, 0)( a>0), 圓心F在拋物線C: y2

9、=2ax上運動, MN為F在y軸上截得的弦.()試判斷MN的長是否隨圓心F的運動而變化? 并證明你的結論;()當|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時, 拋物線C的準線與F有怎樣的位置關系? 并說明理由.答案：1. 將代入得化簡整理得判別式 （1）當，即時，方程有兩個不等的實根，直線與圓有兩個交點； （2）當，即或時，方程有兩個相等的實根，直線與圓有一個公共點； （3）當，即或時，方程沒有實根，直線與圓沒有交點；2. (1)如圖所示，（1）設切線的斜率為k，切線過點P(2，-1)，切線的方程為：y+1=k(x-2)，即：kx-y-2k-1=0，又C(1，2)，半徑r=，由點到直線的距離公式得

10、：=解之得k=7或k=-1.故所求切線PA、PB的方程分別是x+y-1=0和7x-y-15=0.(2)連結AC、PC，則ACAP，在RtAPC中，|AC|=，PC|=，|PA|=.(3)連結CB，則CBBP，由APCBPC知：APC=BPC，APB=2APC.sinAPB=sin2APC=2sinAPC·cosAPC=2×.(4)CAP=CBP=90°，A、B兩點在以CP為直徑的圓上，CP的中點坐標為，又|CP|=，以CP為直徑的圓的方程為即：x2+y2-3x-y=0 又圓C：(x-1)2+(y-2)2=2的一般式為：x2+y2-2x-4y+3=0 -得：x-3y

11、+3=0為直線AB方程.3.由三角形的內角平分線性質得：設M、Q的坐標分別為(x，y)，(x0，y0)，則：x=.故動點M的軌跡方程為4.(1)圓心為(2，3)，半徑r=2，圓心到直線的距離為：欲證l與圓C恒相交，只須證明不等式|m-1|2·恒成立，m2+1-2m2(5m2+8m+5) 9m2+18m-90m2+2m-10(m-1)20而(m-1)20恒成立，故原不等式恒成立，從而直線l與圓C恒相交.(2)由(1)知弦心距為，半弦長=19m2+34m+19=u·(5m2+8m+5).依m聚項整理得：(19-5u)m2+(34-8u)·m+(19-5u)=0，令=(

12、34-8u)2-4(19-5u)·(19-5u)0得：(u-2)·(u-4)02u4，umin=2.當u=2時，代入上述等式得：9m2+18m+9=0，即m2+2m+1=0解之：m=-1即為所求.5.(1)圓心(-1，2)，半徑為，當圓C的切線經過原點時，設切線為y=kx代入圓C方程并依x聚項整理得：x2+k2x2+2x-4kx+3=0，即(k2+1)x2+(2-4k)x+3=0，由=0得：(2-4k)2-4(k2+1)·3=0解之得k=2±.當圓C的切線不經過原點時，設切線方程為：x+y-a=0(a0)，則由a=3或-1.綜上所述得：圓C的切線方程為：

13、x+y-3=0或x+y+1=0或y=(2+)x或y=(2-)x.(2)由條件知：|PC|2=|PM|2+r2|PC|2=|PO|2+2，(x+1)2+(y-2)2=x2+y2+22x-4y+3=0.因|PO|2最小時，|PO|最小，故|PO|，解方程組故使|PM|最小的點P的坐標為6. yAxB P 解：設直線l的方程為y=kx+1 將代入圓的方程整理得(1+k2)x2+2kx-3=0 設其二實數根為x1,x2，由根與系數的關系得 Ox1+x2=,x1x2=設點A(x1,y1),B(x2,y2)即解得k=,故直線l的方程為y=x+1ByxA OC7、解：設點M(x,y)，因為M是定弦BC的中點

14、，故OMBC, 又BAC=900 , 即: 42=(x2+y2)+(x-0)2+(y-0)2 化簡為x2+y2-2y-6=0,即x2+(y-1)2=7. 所求軌跡為以(0,1)為圓心，以為半徑的圓。8、（1）求證：曲線C與直線l相切的條件是(a-2)(b-2)=2 ;（2）求AOB面積的最小值。解：(1)直線l的方程為即bx+ay-ab=0圓心O到直線l的距離d=,當d=1時，直線與圓相切,即=1整理得(a-2)(b-2)=2所以曲線C與直線l相切的條件是(a-2)(b-2)=2.(2)當且僅當a=2+時等號成立.9. 解：設所求圓的方程為：，則由截軸的弦長為2得由被軸分成兩段圓弦，其弧長之比

15、為，圓心到直線的距離即 當且僅當 即 或 時，取“=” ， 此時所以，所求圓的方程為或10. 解: (1)當斜率k不存在時, 過點P的直線方程為,代入,得.弦長為,符合題意(2)當斜率k存在時,設所求方程為,即 由已知,弦心距 ,解得 所以此直線方程為 ,即 所以所求直線方程為 或11. 解：以O1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則O1（-2，0），O2（2，0），由已知：,即，因為兩圓的半徑都為1,所以有：，設P（x,y）則（x+2）2+y2-1=2(x-2)2+y2-1， 即 綜上所述，所求軌跡方程為：（或）12.解：（1）a0時，方程為x2+（y+

16、）2=，由于a22a+20恒成立，a0且aR時方程表示圓（2）r2=4·=42()2+，a=2時，rmin2=2此時圓的方程為（x1）2+（y1）2=216解:由圓心在直線x-y-1=0上,可設圓心為（a,a-1）,半徑為r,由題意可得 ,經計算得a=2,r=5所以所求圓的方程為（x-2）2+（y-1）2=2513解:設直線L的斜率為，且L的方程為y=x+b,則消元得方程x2+（2b+2）x+b2+4b-4=0,設此方程兩根為x1,x2，則x1x2（b+1）,y1+y2= x1x2+2b=b-1,則中點為，又弦長為，由題意可列式解得b=1或b=-9,經檢驗b=-9不合題意所以所求直線

17、方程為y=x+114解: 圓C1與圓C2的公共弦所在直線方程為: 即x+y-1=0圓心C3到直線x+y-1=0的距離.所以所求弦長為.15.解(I) （1）當時,此時A點與D點重合, 折痕所在的直線方程（2）當時，將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為G(a,1)所以A與G關于折痕所在的直線對稱，有故G點坐標為，從而折痕所在的直線與OG的交點坐標（線段OG的中點）為，折痕所在的直線方程，即由（1）（2）得折痕所在的直線方程為：k=0時，；時（II）(1)當時，折痕的長為2;(1) 當時, 折痕所在的直線與坐標軸的交點坐標為令解得 所以折痕的長度的最大值216. 解：（1）依題意，射線OA的方程為

18、y=,設M（x,y），P（t,）(t>0)，則Q點的坐標為（2x-t，2y-），即.又Q點在y軸上，2x-t=0,即t=2x，于是：x|y-|=.點P在AOQ的內部，y-0，且x>0，y>0.因此有，這就是M點的軌跡方程.（2）設R1（x1,y1）,R2(x2,y2)，則x1+x2=1，y1y2=uu=y1y2=3(=3x1>0，x2>0，x1+x2=1，0于是，,因此，當時，um恒成立，故m的最大值為.17. 解 設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，由題意，得解之,得,或所求圓的方程為x2+y2+12x22y+27=0或x2+y28x2y+7=0.1

19、8. 解 作出不等式組表示的平面區域平行四邊形ABCD的邊界和內部ABCD的頂點坐標分別為A(1，0)、B()、C(1，0)、D()作動直線l:3x6y=t(tR)l的方程可寫成y=,當l的縱截距最大時，t最小;當l的縱截距最小時，t最大由圖知當l過B點時，t最大=3×()6×()=7當l過D點時，t最小=3×()6×()=719. 解 （1）圓x2+y2+8x-4y=0可寫成(x+4)2+(y-2)2=20.圓x2+y2+8x-4y=0與以原點為圓心的某圓關于直線y=kx+b對稱，y=kx+b為以兩圓圓心為端點的線段的垂直平分線.×k=-1，

20、k=2. 點（0，0）與（-4，2）的中點為（-2，1），1=2×(-2)+b，b=5.k=2，b=5.（2）圓心（-4，2）到2x-y+5=0的距離為d=.而圓的半徑為2，AOB=120°.20. 解 設動圓的圓心C的坐標為（x，y），則x-(-1)+1=，即x+2=，整理得y2=8x.所以所求軌跡E的方程為y2=8x.21. 解法一 假設存在斜率為1的直線l,使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點.設l的方程為y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2).由OAOB知，kOA·kOB=1, 即=1,y1y2=x1x2.由, 得2x2+2(b+1)x+b2+4

21、b4=0,x1+x2=(b+1),x1·x2=+2b2,y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2=+2b2b(b+1)+b2=+b2y1y2=x1x2 +b2=(+2b2)即b2+3b4=0. b=4或b=1.又=4(b+1)28(b2+4b4)=4b224b+36=4(b2+6b9)當b=4時，=4×(16249)>0;當b=1時，=4×(1+69)>0故存在這樣的直線l,它的方程是y=x4或y=x+1,即xy4=0或xy+1=0.解法二 圓C化成標準方程為(x1)2+(y+2)2=9,假設存在以AB為直徑的圓M，圓心M的

22、坐標為(a,b).由于CMl,kCM·kl=1,即×1=1,b=a1,直線l的方程為yb=xa,即xy+ba=0,以AB為直徑的圓M過原點，|MA|=|MB|=|OM|，而|MB|2=|CB|2|CM|2=9,|OM|2=a2+b2,9=a2+b2,把代入得2a2a3=0, a=或a=1,當a=時，b=此時直線l的方程為xy4=0;當a=1時，b=0此時直線l的方程為xy+1=0.故這樣的直線l是存在的，它的方程為xy4=0或xy+1=0.22.解 設圓的圓心為P(a,b),半徑為r，則P到x軸，y軸的距離分別為b、a，由題設知圓P截x軸所得劣弧所對圓心角為90°

23、,故圓P截x軸所得弦長為r=2b. r2=2b2 又由y軸截圓得弦長為2， r2=a2+1 由、知2b2a2=1.又圓心到l:x2y=0的距離d=,5d2=(a2b)2=a2+4b24aba2+4b22(a2+b2)=2b2a2=1.當且僅當a=b時“=”號成立，當a=b時，d最小為，由得或由得r=.(x1)2+(y1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2為所求23. 設圓C的圓心為，則所以圓C的方程為24. 解 (1)將方程整理得為a(3x-y)+(-x+2y-1)=O對任意實數a，恒過直線3x-y=O與x-2y+1=0的交點(，)， 直線系恒過第一象限內的定點(，)； (2)當a=2時，

24、直線為x=不過第二象限；當a2時，直線方程化為：y=x-，不過第二象限的充要條件為 或 a>2，總之，a2時直線不過第二象限25. 因為圓心在直線x3y0上，故可設圓心為（3b,b）直線yx被圓截得的弦為AB，CDAB，則CBr3b，BDCDbCD2BD2BC2即2b2 79b2，解得b±1圓的方程為（x3）2(y1)29或（x3）2(y1)2926. 解: ()依條件易知kAB=-3. 由tan45°=,得kAC= -.直線AC: y=-(x-2).令x=0,得y=1,則C(0, 1). SABC=|BC|OA|=5. ()設D點的坐標為(x0, y0),

25、 直線AB: 即3x+6y-6=0, . 解得x0= y0=. 由|PD|=2|BD|, 得=. 由定比分點公式得xp=.將P()代入l的方程, 得a=10. k1= -. 故得直線l的傾斜角為120°. 27. 解:設投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個項目,x+y=10x+0.5y=00.3x+0.1y=1.8xy(0,18)(0,10)M(4,6)O(10,0)(6,0)由題意知 目標函數z = x+0.5y上述不等式組表示的平面區域如圖所示,陰影部分(含邊界)即為可行域.作直線l0: x+0.5y =0,并作平行于l0的一組直線x+0.5y = z, zR,與可行域相交,其中有一條直線經過可行域上的M點,且與直線x+0.5y =0的距離最大,這里M點是直線x+y=10和0.3x+0.1y =1.8的交點.解方程組得x =4, y =6.此時z = 1×4+0.5×6