1、第第7 7章章應力與應變狀態分析應力與應變狀態分析塑性材料拉伸時為什么會出現滑移線？塑性材料拉伸時為什么會出現滑移線？鑄鐵拉伸鑄鐵拉伸低碳鋼拉伸低碳鋼拉伸問題的提出問題的提出脆性材料扭轉時為什么沿脆性材料扭轉時為什么沿4545螺旋面斷開？螺旋面斷開？低碳鋼扭轉低碳鋼扭轉鑄鐵扭轉鑄鐵扭轉構件上不同的點有構件上不同的點有不同的應力不同的應力-應力為應力為位置的函數。位置的函數。 構件上同一點不同構件上同一點不同的方向面上應力不盡相的方向面上應力不盡相同同 應力為方向面的應力為方向面的函數。函數。PAPPPP一點的應力狀態的表示方法一點的應力狀態的表示方法xyzdxdydz單元體法：單元體法：圍繞一

2、點取微小的正六面圍繞一點取微小的正六面體體 單元體單元體x面、面、y面、面、z面面單元體取法單元體取法軸向拉伸軸向拉伸A橫截面PAPABAB橫截面外輪廓線橫截面單元體取法單元體取法圓軸扭轉圓軸扭轉單元體上相對坐標面上的應單元體上相對坐標面上的應力大小相等、方向相反。單力大小相等、方向相反。單元體上任意方向面上的應力元體上任意方向面上的應力視作均勻分布。視作均勻分布。 單元體的性質單元體的性質AAxzyxyzyzxyxzyxyzzx九個應力分量中九個應力分量中只有六個獨立的只有六個獨立的應力分量應力分量xxyxzyxyyzzxzyz 應力狀態的一般情況應力狀態的一般情況主平面、主應力、主單元體主

3、平面、主應力、主單元體剪應力為零的平面稱剪應力為零的平面稱為為主平面主平面。主平面上的應力稱主平面上的應力稱主應力主應力。以主平面為坐標平面的單元體稱為以主平面為坐標平面的單元體稱為主單元體主單元體。 A橫截面主單元體主單元體的例子的例子即：即： 1 2 31 2 3 可以證明，一點處必定存在主單元體，因而必定存在可以證明，一點處必定存在主單元體，因而必定存在三個互相垂直的主應力，分別記為三個互相垂直的主應力，分別記為 1 1、 2 2、 3 3， 且規定按代數值大小順序排列。且規定按代數值大小順序排列。應力狀態的分類應力狀態的分類單向應力狀態單向應力狀態只有一個主應力不等于零只有一個主應力不

4、等于零雙向應力狀態雙向應力狀態有兩個主應力不等于零有兩個主應力不等于零三向應力狀態三向應力狀態三個主應力都不等于零三個主應力都不等于零1.1.斜截面上的應力斜截面上的應力xy zxyyxxynxxyxyxyx y yx xya a平面應力狀態分析平面應力狀態分析解析法解析法 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy列平衡方程列平衡方程 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy y a a xydAn nt txyx并注意到并注意到 化簡得化簡得xyyx 2sin2

5、cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx221cos21cos2cos,sin22sin22sincosxyx y yx xya2.2.正負號規則正負號規則正應力：拉為正；反之為負正應力：拉為正；反之為負切應力：使微元順時針方向轉動切應力：使微元順時針方向轉動為正；反之為負。為正；反之為負。角：角：由由x 軸正向逆時針轉到斜截軸正向逆時針轉到斜截面外法線時為正；反之為負。面外法線時為正；反之為負。 y a a xyntxyxx2sin2cos)(21)(21xyyxyx確定正應力極值確定正應力極值2cos22sin)(xyyxdd設設0 時，上式值為零，即時，上式值為

6、零，即02cos22sin)(00 xyyx3. 3. 正正應力極值和方向應力極值和方向0 02 2cos2cos2sin2sin22 2) )( (2 20 00 0 xyxy0 0y yx x即即0 0 時，切應力為零時，切應力為零yxxy 22tan0由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別為最大正應力由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別為最大正應力和最小正應力所在平面。所以，最大和最小正應力分別為：和最小正應力所在平面。所以，最大和最小正應力分別為： 22max4212xyyxyx 22min4212xyyxyx 主應力主應力按代數值按代數值排序：排序：1 1 2 2 3 3y x

7、 xy 試求試求（1 1） 斜面上的應力；斜面上的應力； （2 2）主應力、主平面；）主應力、主平面； （3 3）繪出主應力單元體。）繪出主應力單元體。一點處的平面應力狀態如圖所示。一點處的平面應力狀態如圖所示。已知：已知：。30MPa，60 xMPa,30 xy,MPa40y（1 1） 斜面上的應力斜面上的應力2sin2cos22xyyxyxMPa02. 92cos2sin2xyyxMPa3 .58（2 2）主應力、主平面）主應力、主平面2yxxyyx22)2(min2yxxyyx22)2(maxMPa3 .68MPa3 .48MPa3 .48, 0MPa,3 .68321主平面的方位：主平

8、面的方位：yxxytg2206 . 0406060,5 .1505 .105905 .150代入代入 表達式可知表達式可知 主應力主應力 方向方向：15 .150主應力主應力 方向：方向：3 5 .10505 .1513（3 3）主應力單元體：）主應力單元體：平面應力狀態分析平面應力狀態分析圖解法圖解法2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyx對上述方程消去參數（2），得：一、應力圓（一、應力圓（ Stress Circle）xy x xy yO y xy x xyOn此方程曲線為圓應力圓（或莫爾圓，由德國工程師：Mohr引入）建立應力坐標系，如下圖所示

9、，（注意選好比例尺）二、應力圓的畫法二、應力圓的畫法在坐標系內畫出點A( x，xy)和B(y，yx) AB與 軸的交點C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓應力圓； x xy yxyOn O CA( x , xy)B( y , yx)x2 nD( , x xy yxyOn O CA( x , xy)B( y , yx)x2 nD( , 三、單元體與應力圓的對應關系三、單元體與應力圓的對應關系面上的應力( ， ) 應力圓上一點( ， )面的法線 應力圓的半徑兩面夾角 兩半徑夾角2 ；且轉向一致。223122xyyxyxROC）（半徑四、在應力圓上標出極值應力四、在應力圓上標出極值應力22min

10、maxminmax22xyyxR）（半徑OC A( x , xy)B( y , yx)x2 1 1minmax2 0 0 1 2 3 3例例3 求圖示單元體的主應力及主平面的位置。(單位：MPa)4532532595150AB 1 2解：主應力坐標系如圖AB的垂直平分線與 軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓應力圓0 1 2BAC20 (MPa)(MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在坐標系內畫出點 3 1 2BAC20 (MPa)(MPa)O20MPa主應力及主平面如圖0201203213004532532595150 10 2AB2cos2sin2xyyx4

11、532532595150解法2解析法：分析建立坐標系如圖xyyxyMPa325MPa45?x222122xyyxyx）（60MPa325MPa956060 xyO2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyxxyyxyx2222)2()2( 這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應力圓應力圓平面應力狀態分析平面應力狀態分析圖解法圖解法xyyxyx2222)2()2(RCxyyxR22)2( 2yx1. 1. 應力圓：應力圓：2.2.應力圓的畫法應力圓的畫法D( x , xy)D/( y , yx)c xy 2RxyyxR22)2( y

12、 yx xyADx點面對應點面對應應力圓上某一點的坐標值對應著微元應力圓上某一點的坐標值對應著微元 某一截面上的正應力和切應力某一截面上的正應力和切應力3 3、對應關系、對應關系D( x , xy)D/( y , yx)c xy 2 y yx xyxH ),(aaH 2梁在橫力彎曲時的正應力和切應力為：梁在橫力彎曲時的正應力和切應力為：xZM yImaxzxyzFsSI b* max mm截面上各點的應力截面上各點的應力梁的主應力和主應力跡線梁的主應力和主應力跡線xxy梁內任意一點處的單元體及主應力為：梁內任意一點處的單元體及主應力為：212322xxxy2013zzxyIbQS*zxIMy1

13、2345P1P2q如圖，已知梁發生剪切彎曲（橫力彎曲），其上M、Q0，試確定截面上各點主應力大小及主平面位置。單元體：223122xyxx）（2 21 1 1 1 3 3 3 33 3 1 1 3 34 4 1 1 1 1 3 35 50450 A1A2D2D1CO A2D2D1CA1O 20 D2D1CD1O20= 90 D2A1O 20CD1A2 A2D2D1CA1O拉力壓力主應力跡線（Stress Trajectories)： 主應力方向線的包絡線曲線上每一點的切線都指示著該點的拉主應力方位（或壓主應力方位）。實線表示拉主應力跡線；虛線表示壓主應力跡線。 1 3 1 3qxy主應力跡線的

14、畫法：主應力跡線的畫法：11截面截面22截面截面33截面截面44截面截面ii截面截面nn截面截面bacd 1 3 3 1二、梁的主應力跡線二、梁的主應力跡線 mm截面上截面上各點的主應力方向各點的主應力方向注：中性軸以上橫截面受壓，主應注：中性軸以上橫截面受壓，主應力力s1 與鉛直方向的夾角小于與鉛直方向的夾角小于45450 0。中性軸以下橫截面受拉，主應力中性軸以下橫截面受拉，主應力s1的方向與水平方向的夾角小于的方向與水平方向的夾角小于45450 0。主應力跡線：主應力跡線：在梁的平面內繪制的兩組正交的曲線，在梁的平面內繪制的兩組正交的曲線，曲線上各點的切線方向為該點的主應力方向。曲線上各

15、點的切線方向為該點的主應力方向。圖示受均布載荷作用簡支梁的主應力跡線。及根據主圖示受均布載荷作用簡支梁的主應力跡線。及根據主應力跡線做的配筋圖。應力跡線做的配筋圖。實線實線主應力主應力s1 的的跡線跡線；虛線；虛線主應力主應力s3的跡線。的跡線。三個主應力都不為零的應力狀態三個主應力都不為零的應力狀態三向應力狀態的三向應力狀態的主應力單元體主應力單元體1 2 3 三向應力狀態三向應力狀態由三向應力圓可以看出：由三向應力圓可以看出：231max 結論：結論：代表單元體任意斜代表單元體任意斜截面上應力的點，截面上應力的點，必定在三個應力圓必定在三個應力圓圓周上或圓內。圓周上或圓內。213 32 1

16、 可利用主應力單元體做出。可利用主應力單元體做出。求圖示單元體的主應力求圖示單元體的主應力和最大切應力。和最大切應力。解：這是主應力單元體，解：這是主應力單元體， 由定義，由定義， 1= 60 MPa 2= 30 MPa 3=50 MPa 305060（MPa）231max 605055MPa2 解：這是特殊三向應力狀態，已解：這是特殊三向應力狀態，已 知一個主平面和主應力，另知一個主平面和主應力，另 兩個主平面和主應力可按平兩個主平面和主應力可按平 面應力狀態計算。面應力狀態計算。1451210（MPa）2max2min22xyxyxyxyz2215101410145MPa1122 1=15

17、 MPa 2=12 MPa 3=11 MPa231max 151113MPa2 求圖示單元體的主應力和最大切應力。求圖示單元體的主應力和最大切應力。解：已知一個主應力解：已知一個主應力40MPa,另兩個另兩個 主應力可按純剪切應力狀態結主應力可按純剪切應力狀態結 論直接寫出。論直接寫出。 1=40 MPa, 2=30 MPa, 3=30 MPa3040(MPa)231max 403035MPa2 xyz求圖示單元體的主應力和最大切應力。求圖示單元體的主應力和最大切應力。1. 1. 基本變形時的胡克定律基本變形時的胡克定律xxE Exxy xyx1 1）軸向拉壓胡克定律）軸向拉壓胡克定律橫向變形

18、橫向變形2 2）純剪切胡克定律）純剪切胡克定律 G 廣義胡克定律廣義胡克定律2 2、三向應力狀態的廣義胡克定律疊加法、三向應力狀態的廣義胡克定律疊加法32111E13221E21331E1 2 3 )(1zyxxE Gxyxy 3 3、廣義胡克定律的一般形式、廣義胡克定律的一般形式)(1xzyyE )(1yxzzE Gyzyz Gzxzx xzyxyzyzxyxzyxyzzxdxdydz4 4、體積體積胡克定律胡克定律123 單元體原體積單元體原體積V=dxdydz變形后的體積變形后的體積1123(1)d (1)d (1)dVxyz 體積應變體積應變12xyzE1V123VVV mK 3(12

19、 )EK體積彈性模量體積彈性模量3xyzm平均應力平均應力 13451EEE11145E3.3.求求Me ePMW 45MeKMe解：解：1.1.由應力狀態分析畫單元體由應力狀態分析畫單元體 2. 2.求求t已知已知: 扭轉材料的扭轉材料的 求求: Me45,d E 45 3 3 K 1 1 345eP116EdMW 三向應力狀態下，假定各主應力按比例同時從零增加到最三向應力狀態下，假定各主應力按比例同時從零增加到最終值，每一主應力與相應的主應變仍為線性關系，所以終值，每一主應力與相應的主應變仍為線性關系，所以復復雜應力狀態下的應變能密度為雜應力狀態下的應變能密度為112233111222v

20、復雜應力狀態下的應變能復雜應力狀態下的應變能復雜應力狀態下的應變能密度復雜應力狀態下的應變能密度v 體積改變能密度體積改變能密度vV畸變能密度畸變能密度vd因形狀改變、體積不變因形狀改變、體積不變而儲存的應變能密度。而儲存的應變能密度。因體積變化、形狀不變因體積變化、形狀不變而儲存的應變能密度。而儲存的應變能密度。 11m 22m 33m m m m 1 3 2 1233m1 2 3 V13322mmmmv(12 )mmE2V123312()26mmvE圖示單元體三個正應力相圖示單元體三個正應力相等，只有體積改變能。等，只有體積改變能。m m m 圖示單元體三個正應力不圖示單元體三個正應力不相

21、等，且三個正應力之和相等，且三個正應力之和為零，只有形狀改變能。為零，只有形狀改變能。d1 122331()2v 注意：注意：由于應力、應變與應變能密度不是線性關系，由于應力、應變與應變能密度不是線性關系，所以所以應變能密度一般不符合疊加原理。應變能密度一般不符合疊加原理。1 3 2 1122331()2v 11223331()22mmv 12301230注意注意11m22m33m11m22m33mddvvv畸變能密度畸變能密度vd2221223311()()() 6E單向應力狀態時：單向應力狀態時：2V1126vE2d113vE第第7 7章章強強 度度 理理 論論max,maxAFN（拉壓）

22、（拉壓）maxmax WM（彎曲）（彎曲）（正應力強度條件）正應力強度條件）*maxzzsbISF（彎曲）（彎曲）（扭轉）（扭轉）maxpWT（切應力強度條件）（切應力強度條件）max max 1. 1. 桿件基本變形下的強度條件桿件基本變形下的強度條件強度理論概述強度理論概述復雜應力狀態的形式是無窮無盡的，建立復雜應力狀態下復雜應力狀態的形式是無窮無盡的，建立復雜應力狀態下的強度條件，的強度條件，采用模擬的方法幾乎是不可能的，采用模擬的方法幾乎是不可能的，即逐一用即逐一用試驗的方法建立強度條件是行不通的，需要從理論上找出試驗的方法建立強度條件是行不通的，需要從理論上找出路。路。 強度理論：強

23、度理論：人們根據大量的破壞現象，通過判斷推理、概人們根據大量的破壞現象，通過判斷推理、概括，提出了種種關于破壞原因的假說，找出引起破壞的主括，提出了種種關于破壞原因的假說，找出引起破壞的主要因素，經過實踐檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相要因素，經過實踐檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相符合，上升為理論。符合，上升為理論。為了建立復雜應力狀態下的強度條件，而提出的關于材料為了建立復雜應力狀態下的強度條件，而提出的關于材料破壞原因的假設及計算方法。破壞原因的假設及計算方法。經典強度理論經典強度理論構件由于強度不足將引發兩種失效形式構件由于強度不足將引發兩種失效形式(1)(1)脆性斷裂：脆性斷裂：

24、材料無明顯的塑性變形即發生斷裂，斷面較材料無明顯的塑性變形即發生斷裂，斷面較 粗糙，且多發生在垂直于最大正應力的截面粗糙，且多發生在垂直于最大正應力的截面 上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關于關于斷裂的強度理論：斷裂的強度理論： 最大拉應力理論和最大伸長線應變理論最大拉應力理論和最大伸長線應變理論(2)(2)塑性屈服（流動）：塑性屈服（流動）：材料破壞前發生顯著的塑性變形，材料破壞前發生顯著的塑性變形， 破壞斷面粒子較光滑，且多發生在最大剪應破壞斷面粒子較光滑，且多發生在最大剪應 力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。關于關于屈服的

25、強度理論：屈服的強度理論： 最大切應力理論和形狀改變比能理論最大切應力理論和形狀改變比能理論1. 1. 最大拉應力理論最大拉應力理論（第一強度理論）（第一強度理論）材料發生斷裂的主要因素是最大拉應力達到極限值材料發生斷裂的主要因素是最大拉應力達到極限值01 構件危險點的最大拉應力構件危險點的最大拉應力1 極限拉應力，由單拉實驗測得極限拉應力，由單拉實驗測得b 00 b1 斷裂條件斷裂條件 nb1強度條件強度條件2. 2. 最大伸長拉應變理論最大伸長拉應變理論（第二強度理論）（第二強度理論）無論材料處于什么應力狀態無論材料處于什么應力狀態, ,只要發生脆性斷裂只要發生脆性斷裂, ,都是都是由于微

26、元內的最大拉應變（線變形）達到簡單拉伸時由于微元內的最大拉應變（線變形）達到簡單拉伸時的破壞伸長應變數值。的破壞伸長應變數值。 01 構件危險點的最大伸長線應變構件危險點的最大伸長線應變1 極限伸長線應變，由單向拉伸實驗測得極限伸長線應變，由單向拉伸實驗測得0 E/)(3211 Eb/0 實驗表明：實驗表明：此理論對于一拉一壓的二向應力狀態的脆此理論對于一拉一壓的二向應力狀態的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強度理論性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強度理論更接近實際情況。更接近實際情況。強度條件強度條件)(321nb斷裂條件斷裂條件EEb)(1321b)(321即即無論材料處于什

27、么應力狀態無論材料處于什么應力狀態, ,只要發生屈服只要發生屈服, ,都是由于都是由于微元內的最大切應力達到了某一極限值。微元內的最大切應力達到了某一極限值。0max 3. 3. 最大切應力理論最大切應力理論（第三強度理論）（第三強度理論）構件危險點的最大切應力構件危險點的最大切應力max 極限切應力，由單向拉伸實驗測得極限切應力，由單向拉伸實驗測得0 2/0s 2/ )(31maxs31 屈服條件屈服條件 ss31n強度條件強度條件實驗表明：實驗表明：此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發生較為滿意的解釋。并能解釋

28、材料在三向均壓下不發生塑性變形或斷裂的事實。塑性變形或斷裂的事實。)0(max局限性：局限性： 1 1、未考慮、未考慮 的影響，試驗證實最大影響達的影響，試驗證實最大影響達15%15%。2 2、不能解釋三向均勻拉伸下可能發生斷裂的現象、不能解釋三向均勻拉伸下可能發生斷裂的現象。2無論材料處于什么應力狀態無論材料處于什么應力狀態, ,只要發生屈服只要發生屈服, ,都是由于都是由于微元的最大形狀改變比能達到一個極限值。微元的最大形狀改變比能達到一個極限值。0sfsfvv 4. 4. 形狀改變比形狀改變比能理論能理論（第四強度理論）（第四強度理論） 213232221sf)()()(61 Ev構件危

29、險點的形狀改變比能構件危險點的形狀改變比能sf 20f261ssEv形狀改變比能的極限值，由單拉實驗測得形狀改變比能的極限值，由單拉實驗測得0f s 屈服條件屈服條件22132322212)()()(s 強度條件強度條件 ss213232221)()()(21n實驗表明：實驗表明：對塑性材料，此理論比第三強度理論更符合對塑性材料，此理論比第三強度理論更符合 試驗結果，在工程中得到了廣泛應用。試驗結果，在工程中得到了廣泛應用。相當應力相當應力強度條件中直接與許用應力強度條件中直接與許用應力 比較的量，稱為相當應力比較的量，稱為相當應力 r2132322214)()()(21r( (畸變能理論畸變

30、能理論) )( (最大切應力理論最大切應力理論) )313r( (最大拉應力理論最大拉應力理論) )11r3212r（最大伸長線應變理論）（最大伸長線應變理論）強度條件的一般形式強度條件的一般形式 r 已知：已知：s 和和t，試寫出，試寫出:最大切應力理論最大切應力理論和和畸變能理論畸變能理論相當應力的表達式。相當應力的表達式。 常見的平面應力狀態如圖常見的平面應力狀態如圖解：首先確定主應力解：首先確定主應力20223122平面應力狀態特例平面應力狀態特例最大切應力理論（第三強度理論）最大切應力理論（第三強度理論）畸變能理論（第四強度理論）畸變能理論（第四強度理論） 213232221)()()(21 r4=223134r相當應力顛三倒四！相當應力顛三倒四！223已知已知 ： 鑄鐵構件上危險點的應力狀態。鑄鐵構件上危險點的應力狀態。鑄鐵拉伸許用應力鑄鐵拉伸許用應力 t =30MPa。試校核該點的強度。試校核該點的強度。101123MPa解：首先根據材料和應力解：首先根據材料和應力狀態確定失效形式，選擇狀態確定失效形式，選擇強度理論。強度理論。脆性斷裂，最脆性斷裂，最大拉應力理論大拉應力理論 max= 1 t