1、極坐標與參數方程一、參數方程1.參數方程的概念般地，在平面直角坐標系 中，如果曲線上任意一點的坐標X、y都是某個變數t的函X = f數，即（t）并且對于t每一個允許值，由方程組所確定的點M （x, y）都在這條曲線上（即曲線上的點在方程上，方程的解都在曲線上），那么方程組就叫做這條曲線的參數方程，聯系x、yZ間關系的變數叫做參變數，簡稱參數.相對于參數方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做 普通方程.2.參數方程和普通方程的互化曲線的參數方程和普通方程是曲線方程的不同形式 數而從參數方程得到普通方程.練習x = 1卜2t二2/為參數），則直線的斜率為B.注：普通方程化為參數方程，參數方程的

2、形式不一定唯一（由上面練習（1、3可知）。應用參數方程解軌跡問題，關鍵在于適當地設參數，如果選用的參數 不同，那么所求得的曲線的參數方程的形式也不同。般地可以通過消去參1若直線的參數方程為x = sin2.下列在曲線x2 -（為參數）上的點是/ 3 1、B.(-；,;)4 2C.(2, -3)D. (1,3)lx二2亠sin2：A. y=x2 B . y=x 2 c . y=x2 (2二x=3)D. y二x 2 (0乞y豈1)3.圓的參數方程如圖所示，設圓0的半徑為，點肋從初始位置出發，按逆時針方向在圓0上作 勻速圓周運動，設極憶加，貝U這就是圓心在原點（），半徑為的圓的參數方程，其中0的幾何

3、意義是 轉過的 角度（稱為旋轉角）。圓心為（口），半徑為 的圓的普通方程是（口屏“丿冷/：心：（詼細它的參數方程為：力。4.橢圓的參數方程以坐標原點為中心，焦點在丄軸上的橢圓的標準方程為:學&訥參期a滬其參數方程為LJ7,其中參數卩稱為離心與=1（甌艮角；焦點在I軸上的橢圓的標準方程是其參數方程為嚴礙緞覺參飆y=a其中參數爺仍為離心角，通常規定參數爺的范圍為爭0,2兀）。注：橢圓的參數方程中，參數的幾何意義為橢圓上任一點的離心角，要把 它和這一點的旋轉角&區分開來，除了在四個頂點處，離心角和旋轉角數值可相 等外（即在。到加的范圍內），在其他任何一點，兩個角的數值都不相等。但0a

4、-0poOK數方程為3x焦點在:軸上的雙曲線的標準方程是產：f參勅其參數方程為IS二旳+血皿砂參數）。點，直線向上的方向為正方向的數軸上的點M的坐標，其單位長度與原直角坐標系 中的單位長度相同。北京高考近幾年真題（2014年北京3題5分）曲線-cos日（日為參數）的對稱中心（）y =2 +si nTA在直線y=2x上B.在直線y = 2x上C.在直線y =xT上D.在直線y = x 1 （2012年北京9題5分）直線滬t （t為參數）與曲線卜二_1 _t的交點個數為_ （2014年北京3題5分）答案：B（2012年北京9題5分）答案:2二、極坐標方程1.極坐標系的概念（1）極坐標系極坐標系有四

5、個要素：極點；極軸；長度單位；角度單位及它的方向.MRS如圖所示，在平面內取一個定點，叫做極點，自極點引一條射線Or,叫做極軸；再選定一個長度單位，一個角度單位（通常取弧度）及其正 方向（通常取逆時針方向），這樣就建立了一個極坐標系.x=3co5（:.為參數）y =3sin:一注：極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景，而平面直角坐標系以互相垂直的兩條數軸為幾何背景；平面直角坐標系內的點與坐標能建立一一對應的關系而極坐標系則不可但極坐標系和平面直角坐標系都是平面坐標系.（2）極坐標-MM設M是平面內一點，極點（）與點M的距離|0M|叫做點M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線為終邊的角加M叫做點対

6、的極角，記為有序數對SQ叫做點M的極坐一般地，不作特殊說明時，我們認為0可取任意實數特別地，當點M在極點時,它的極坐標為（0,0） （0 R）和直角坐標不同,平面內個點的極坐標有無數種表示.女口果規定QP05,那么除極點外，平面內的點可用唯一的極坐標 （卩T）表示；同時,極坐標（卩T 0）表示的點也是唯一確定的.2.極坐標和直角坐標的互化例題、直角坐標為（-U2,磁）、（0, 2）那么它的極坐標分別表示為極坐標為（2,二）、（1, 0）那么他們的直角坐標表示為 _3（1）互化背景：把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在 兩種坐標系中取相同的長度單位，如圖所示：互化公式：設M是坐

7、標平面內任意一點，它的直角坐標是（刃，極坐標 是3仍（F - J,于是極坐標與直角坐標的互化公式如表:點M直角坐標（兀M極坐標(2, ?)2,34n、互化公式Jx= p =psm.&tsfc 6二(r (9JC在一般情況下，由伽10確定角時，可根據點所在的象限最小正角.（1）點的轉化1、直角坐標為（一邁，邁）、（0, 2）那么它的極坐標分別表示為極坐標為（2,少）、（1, 0）那么他們的直角坐標表示為 3(2)方程的轉化2、在極坐標系中，直線I: pin 9+ 4 = 2,則直線在直角坐標系中方程為 _在極坐標系中，圓0:尸4,則在直角坐標系中，圓的方程 _直線I與圓0相交，所截得的弦

8、長為_答案：因為-,psin(0 + -)=2所以直線的直角坐標方程為Tv+亍V - 2 = 0口n -v + v - 2 2二0即八，圓P =“的直角坐標方程為Y： N psin(9 + 7) = 2被圓-一 截得的弦長是3、 若曲線的極坐標方程為尸2sin 9+ 4cos 9,以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的直角坐標方程為 _ 4、 求滿足條件的曲線極坐標方程直線過點M(l, 0)且垂直于x軸_ 直線過必(0, a)且平行于x車由_- H由知圓心的坐標是(),半徑是4,圓心到直線的距離1屮幺習=所以直線 當圓心位于M(a, 0),半徑為r _ 01)_當圓心位于M(

9、l,),半徑為2：23.常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點，半徑為F的圓p二F(0tf2ff)圓心為（人。），半徑為F的圓5p=2rcnsfilfl2 2圓心為2）,半徑為T的圓)1p2r siic x)過極點，傾斜角為住的直線(1)0二a(p I)或0二Ha(p “)(2)J r*/ X. / fx-l*n過點（a,與極軸垂直的直線JL樣二吒一y （町）過點2,與極軸平行的直線ojf it .2,)panfl=a(0fljr)二0或y =1 B. X = 1 C . X2y25點M的直角坐標是（-1,、3）,則點M的極坐標為（- - -Q - - - 乙 - -A. (2, 3

10、) B. (2 -)6極坐標方程rCOST - 2sin 2二表示的曲線為（注：由于平面上點的極坐標的表示形式不唯一，即3妙刼他（-p嚴理（-P廠只匹都表示同一點的坐標，這與點的直角坐標的唯一性明顯不同所以對于曲線上的點的極坐標的多種表示形式少有一個能滿足極坐標方程即可例如對于極坐標方程：點等多種形式，其中,標滿足方程權.,只要求至可以表只有的極坐4圓Q =5cos J一5 3sin v的圓心坐標是(A. (-5,4兀兀兀)B. (5, ) C. (5, ) D. (5,)3334化極坐標方程PcosT-P二0為直角坐標方程為（.p22A. X yC . (2, ) D. (2,2 k二亍(k

11、 Z)A.一條射線和一個圓B.兩條直線C一條直線和一個圓一個圓北京高考近幾年真題（2017年北京11題5分）在極坐標系中，點A在圓p-2p cos-9 4 p點P的坐標為（1, 0）,則丨AP|的最小值為_n+4=0上，（2016年北京11題5分）在極坐標系屮，直線于A, B兩點，貝U|AB =_.=6的距離為_:?二-2sin二的圓心的極坐標系是（）.（2017年北京11題5分）在極坐標系中，點A在圓p-2p cos-4p si n+4=0上， 點P的坐標為（1, 0）,貝|J|AP|的最小值為_.【分析】先將圓的極坐標方程化為標準方程，再運用數形結合的方法求出圓上的 點到點P的距離的最小值

12、.【解答】解：設圓P?- 2 p cos-4p sin+4=0為圓C,將圓C的極坐標方程化為：2 2x2+y2- 2x - 4y+4=0,再化為標準方程：（x - 1）2+ （y- 2）2=1；（2015年北京11題5分）在極坐標系中,點（2,）到直線p3(cos 0 7sin 0pcosB-pin 0-仁0與圓p二2cos 0交（2013年北京09題5分）在極坐標系屮，點2 i到直線psin 0= 2的距離等于【2011北京理，3 3.在極坐標系中，圓如圖，當A在CP與。C的交點Q處時，|AP|最小為:| AP |min=|CP | I*c=2-1=1 ,故答案為：1【點評】本題主要考查曲線

13、的極坐標方程和圓外一點到圓上一點的距離的最值，難 度不大.（2016年北京11題5分）在極坐標系屮，直線pcosO-3 psin仁0與圓p=2cos 0交 于A, B兩點，貝U AB|= _ .【考點】簡單曲線的極坐標方程.【專題】計算題；方程思想；綜合法；直線與圓.【分析】把圓與直線的極坐標方程化為直角坐標方程，利用圓心C在直線上可得|AB| .【解答】解：直線pcosO- psin 0-仁0化為y直線x - ；y - 1=0.22 2 2 2圓p=2cos0化為p =2 pcosO, x +y =2x,配方為（x1） +y =1,可得圓心C （1, 0），半 徑r二1.則圓心C在直線上，|AB|二2 .故答案為：2.（2015年北京11題5分）在極坐標系中，點（2,）到直線p （cos 0Tsin 03=6的距離為_ 【分析】化為直角坐標，再利用點到直線的距離公式距離公式即可得出.【解答】 解：點P （2,丄）化為P - -.3直線p （cosMsin 0 =6化為xW3y-6=0點P到直線的距離d二=1.Vi+tVs）2故答案為：1.9.（2013北京，理9）在極坐標系屮，點2丨到直線pi