1、第4章 數學對人的發展作用概論學習和研究數學不僅可以提高人的數學素養，而且可以優化智能結構、健全心理素質、增強審美意識，完善人格品質。本章從幾個側面說明數學對人的發展的重要作用。4.1 對勤奮與自強精神的培養 在數學的學習和研究中，證明和求解數學問題是意志的磨練。當人們在證明和求解那些對他們來說并不太容易的數學問題時，就學會了敗而不餒，學會了贊賞微小的進展，學會了等待靈感的到來，學會了當靈感到來后的全力以赴。如果在數學的學習與研究中有機會嘗盡為證明和求解而奮斗的喜怒衷樂，那么我們就會積累很多成功的經驗。這些成功經驗能夠培養我們對事業鍥而不舍的追求。例如，人們都把牛頓視為有史以來最偉大的數學家。

2、牛頓在1663年，即他21歲時，學習了三角學、歐幾里得的幾何原本，笛卡兒的哲學原理等。1664年，牛頓又學了笛卡兒的幾何學，沃利斯的無限算術等。后來還讀了韋達，奧特雷德的數學入門及惠更斯的著作。由此了解了一批數學家的貢獻，并為他后來的研究工作奠定了一定的基礎。牛頓反復研讀經典，異常刻苦、勤奮，他曾追憶說，笛卡兒的幾何學很難懂，只讀了大約10頁，就不得不停下來，然后再開始，比第一次稍進步一點，又停下來，再從頭開始，直至真正掌握全書的內容。至此，牛頓對笛卡兒幾何學的理解比對歐氏幾何的理解要深刻些，他又開始重讀歐氏幾何，接著又第二次研讀笛卡兒的幾何學。后來他還悉心研讀他的老師巴羅所編的原本和數據兩書

3、。1676年，牛頓在給胡克的一封信中寫道，如果我看得更遠一些，那是由于我站在巨人們的肩上。此時的牛頓已是成績卓著，他就是這樣研讀經典，推陳出新。比伯巴赫猜想的證明是一個十分艱辛的過程。它說的是單位圓上單葉函數的冪級數，其所有的系數滿足不等式：。這一猜想是比伯巴赫于1916年提出來的。他只證明了.1923年，一位德國數學家證明了。后來，斯坦福的兩位數學家證明了；1968年證明了；1978年證明了。這離最終的結論還十分遙遠。而且，以這樣的方法下去無法達到最終的目標。于是另辟途徑，設法先證明，然后，逐漸減小的值，直到。人們一步一步的這樣艱辛探索，取得了如下的成果：; ;1983年，由美國數學家路易斯

4、·德·布朗吉斯證明了。從問題的提出到問題的最終解決，經歷了20世紀中67年的努力，是幾代人奮斗的結果。其中還有一個十分重要的插曲。美國數學家布朗吉斯曾用了很長時間研究比伯巴赫猜想，在20世紀50年代，他發表了最初關于這一問題的研究結果，后來他失敗了，他的證明是錯誤的。由于這件事情，他被數學界冷落了30余年，在這個艱辛的歷程中，他不僅得不到資助，而且還受到嚴重打擊，在他繼續努力的時候，常有人對他說，別再浪費你的時間了，然而布朗吉斯毫不動搖，終于在1983年獲得成功.但是，在他成功之時，美國數學界很不信任他，他把最新的證明文稿至少寄給了12位數學家，但沒有一個人愿意評審它。最后

5、，他在前蘇聯找到了支持者。他的證明文稿長達350多頁，數學家米林曾5次聽他報告，每次4小時，經過仔細推敲，確認其正確。后來，一位美國數學家也終于出來說，布朗吉斯的這項工作比任何數學家起初所能預料的都要好，這是一項偉大的成果。關于平行公理的探討，雖然波爾約的父親提醒波爾約說這是可以吞噬掉好幾個牛頓的深淵，但是波爾約仍要闖龍潭。如果把在這個問題上進行探索的人們串起來，那可是一個綿延兩千多年的探險隊。許多人確實是冒著一輩子一事無成的巨大風險鍥而不舍的追求真理。4.2 對其它一些人文素質的培養4.2.1 敬業與責任數學的精確性有利于培養人的敬業與責任素質。數學的精確性表現在定義的準確性，推理的邏輯嚴密

6、性和結論的確定無疑與無可爭辯性。這種精確性的訓練不僅能夠培養我們熱愛數學，還能夠培養我們的耐心、毅力及對事業的執著精神。數學的精確性蘊含的人文精神能使我們養成縝密、有條理的思維方式，有助于培養我們一絲不茍的工作態度、敬業精神和強烈的責任感。4.2.2 理智與自律數學的規則有助于培養我們理智與自律素質。數學中的很多結論是在概念的定義和作為推理基礎的公設的約束下形成的邏輯結果，而不是情感世界的宣泄；每個數學問題的解決都必須遵守數學規則。這種對規則的敬重能夠遷移到人和事物上，使人們形成一種對社會公德、秩序、法律等的內在自我約束力。4.2.3 求實與誠信數學的論證有利于培養求實與誠信素質。數學的許多理

7、論是建立在公理體系之上的，研究起來有法可依，公理本身是人們對有關現象進行大量考察、探索，以實事求是的科學態度建立的。我們學習研究這些理論首先是建立在對公理深信不疑的基礎上。在學習研究過程中，需要對這些內容進行推理論證，來不得半點虛假，這種求真務實的學風會直接影響和遷移到我們的日常生活中，對建立誠信社會能起到促進作用。公理化方法不僅在數學中而且在其它學科中有著廣泛的應用。物理學中的力學、量子力學、熱力學和統計力學等許多分支利用了公理化方法。特別值得關注的是康德、黑格爾等人在哲學、倫理學等人文科學中也利用公理化的思想方法。公理化方法起源于數學，數學的公理化思想方法產生廣泛影響經歷了一個過程，數學本

8、身的公理化程度和水平也經歷了三個不同的發展階段。首先是實質公理化時期，如歐氏幾何的出現，它的原始概念和原始命題（公理）基本上是對已有的不證自明的事實的高度概括，帶有明顯依賴于經驗或感性直觀的特征。牛頓的力學體系也使用了公理化方法，他的三大定律作為公理，也具有實質公理化特征；其次是形式公理化時期，它是伴隨著非歐幾何的產生而出現的。此時，公理的起點進一步被形式化，符號化。按照這種思想，希爾伯特把歐氏幾何也改造的更加形式化。他甚至指出，幾何公理中的點、線、面這樣一些術語只具有形式的意義，它們也可以改說為桌子、椅子、啤酒杯。第三個階段是元數學時期，以希爾伯特為代表的數學家在進一步推動公理化的過程中，加

9、強了數學基礎研究，使公理化進入了元數學時期。此時，概念成了符號，命題成了公式，推理成了公式的變形，形式系統成了研究對象。數學成了更加抽象、更加形式化的系統。對于普通大學生來說，實質公理化方法就足夠了，也是必要的。其所以是必要的，是由于公理化方法不僅使數學本身的內在統一性、和諧性得到充分的體現，而且有利于我們更清楚地從微觀到宏觀看到數學世界的本質；公理化方法不僅使人更易認識世界，而且為數學發展提供必要的啟示和工具；公理化方法不僅對人自身邏輯思維的發展起極為積極的推動作用，而且在一定的程度上使思維經濟有效。在哲學中，物質的定義是這樣的：物質是獨立存在于人的意識之外的客觀存在；從邏輯的意義上講，它使

10、用了意識、客觀、存在這些概念，那么這些概念就應當是已知的。但是，存在的定義是這樣的：存在是不依人的意志為轉移的客觀世界，即物質，這樣就用物質的概念定義了存在，而前面是用存在的概念定義了物質。這就是目前某些人文社會科學中存在的明顯的邏輯問題。學了公理化思想，顯然可以幫助我們理解這一點。當然，也有利于這些學科的科學化。4.2.4 合作與民主數學的研究有利于培養人們的合作與民主精神。數學中許多內容起初的研究都與其它學科相伴而生。例如，19世紀的數學家起先都關心自然界的研究，因而物理學成為當時數學研究的主要啟示，一些高度復雜的數學理論，正是為了處理這些物理問題而創建起來的；現在數學的應用更是無處不在。

11、數學應用的廣泛性，體現了數學是多元復合體，也體現了數學研究的合作與民主。由此而折射出的民主與合作精神是當代高科技精神的突出特點。對人們民主與合作精神的培養有十分重要的意義。又如現在的人口理論，社會保障系統理論等的研究，就集中了數學工作者，人文科學工作者，控制理論工作者于一體的研究團隊，開展學術研究。作為學術民主與合作的必然結果，這些隊伍的人數劇增，越來越龐大。相關的國際會議也層出不窮。顯示出數學研究對培養民主與合作精神的重要性。4.3對審美素質的培養數學美自古以來就吸引著人們的注意力，它不同于自然美和藝術美。數學美是一種理性的美，沒有一定數學素養的人，很難感受數學美，更難發現數學美。數學以其簡

12、潔性、對稱性、和諧性、奇異性等為特征表現美。一些表面上看來復雜得令人眼花繚亂的對象，一經數學的分析，便顯得井然有序，從而喚起理性上的美感。例如這些看上去互不相干的數，居然以這樣簡單的形式和諧地統一在一起，它被認為是充分揭示數學內在美的一個公式。對稱美是數學美的重要組成部分，數學圖形及數學表達式的對稱，不僅給人視覺上的愉悅，也常給人們理解和記憶上的不少便利。由此可以看出，一方面，數學美給人以精神享受，從而激發起人們學習和研究的興趣；另一方面，對于數學美的追求，又會給數學的發展帶來積極的影響。數學中的審美原則在數學發現中占有重要地位。M·克萊因曾經指出：“進行數學創造的最主要的趨策力是對

13、美的追求。”研究表明，美感與直覺緊密相關，審美能力越強，則數學直覺能力越強，從而數學發現和發明的能力也就越強。可見數學中充滿美，而絢麗多姿又深邃含蓄的數學美需要人們去發現，只有發現才能欣賞和享受，在數學美的挖掘和欣賞過種中，要把對這種美的感受和欣賞提高到文化層面上，達到激發我們熱愛生活，豐富想象，愉悅情調，涵養道德的目的；就數學的應用而言，數學是現代科技的語言和思想工具，現代科技由于應用了數學而得到意想不到的發展，這種完美結合，體現了客觀世界的和諧統一。我們要注意從中提高自己的審美素質。4.4 對分析與歸納能力的培養數學的抽象有利于培養我們分析與歸納的思維能力。數學中的許多基本概念都是人們根據

14、各種自然和社會現象所反映的各種具體屬性，為了用統一的方法去描述這些屬性而產生的。在概念的形成過程中，要經過對現象進行分析整理、歸納加工，抽象概括等一系列思維活動。例如：函數、導數、定積分等概念的形成。這種活動的經驗和方法會自覺或不自覺地被移植到以后的工作、生活中，有助于我們分析與歸納能力的提高。數學中的抽象分為弱抽象與強抽象兩種相對的情形。以如下的簡單例子來說明這兩個概念。按照下面的順序發展是一個弱抽象過程：等腰直角三角形直角三角形任意三角形；反過來則是強抽象過程。人們一般對弱抽象有更強的抽象感。數學要求的歸納是完全性歸納，即要求包含多個對象的命題對其中的所有對象都應成立。這一要求，其意義不僅

15、對所有的自然科學是重要的，而且對人文社會科學也是重要的。例如，在人文社會科學的論證方式中，常見一種以例代證的作法，舉一兩個例子或兩三個例子，便作出一個對包含諸多對象的命題的最終判斷，這樣，其科學性就有疑問。因此，借鑒數學完全歸納的思維方式，可以極大的提高人文社會科學學科的科學性。4.5 對直覺及想象能力的培養 數學中的許多重要發展對培養人們的直覺與想象能力有重要意義。美國數學史專家M·克萊因曾經指出：“數學與科學中的巨大發展，幾乎總是建立在幾百年中做出一點一滴貢獻的許多人的工作之上的。需要有一個人來走那最后和最高的一步，這個人要能夠敏銳地從猜測和說明中清理出前人的有價值的想法，有足夠

16、想象力地把這些碎片重新組織起來，并且足夠大膽的制定出一個宏偉的計劃。在微積分中，這個人就是牛頓”。在數學的發展中，許多新理論的創立都需要借助于直覺,想象和幻想。數學直覺是對數學對象或問題等的直接領悟或覺察。下面我們來看一個直覺的具體例子。笛卡兒是一個著名的數學家，1617年，笛卡兒在軍營服役時，就經常思考并且成功地解決過一些數學問題。當時笛卡兒認為代數理論比較雜亂，不利于思想的藝術，不像一門改進思想的科學。同時，他又覺得幾何學理論過于抽象，而且又過多地依賴于圖形。因此，笛卡兒經常甚至是終日沉迷于代數與幾何問題的思考。1619年11月10日，他帶著一系列思索入睡了，一連作了幾個夢，這天晚上他感到

17、自己發現了一種不可思議的科學基礎。笛卡兒后來說，第二天，他開始懂得這驚人發現的基本原理。這就是數學史上著名的代數與幾何的一次偉大匯合。開創了數學發展的新篇章，創立了解析幾何學。顯然，直覺起了先導作用。著名數學家希爾伯特，十分重視直覺和想象在數學創造中的作用。他說，在算術中，也像在幾何學中一樣，我們通常都不會循著推理的鏈條去追溯最初的公理。相反地，特別是在解決一個問題時，我們往往憑借對算術符號的性質的某種算術直覺，迅速地、不自覺地去應用并不絕對可靠的公理組合，這種算術直覺在算術中是不可缺少的，就像在幾何學中不能沒有幾何想像一樣。1. 為了增強我們的直覺能力，先說明一下數學直覺的特點。(1) 非邏

18、輯性。直覺本身是相對于邏輯而言的，因此這一特性是不言自明的。也許在某個特定的過程中可以看到邏輯的影子，但直覺判斷的發生主要不是邏輯的，不是由推理和邏輯判斷而出現的結果；(2) 易逝性。正是由于直覺的非邏輯性而導致了它的易逝性。由于直覺產生的概念和判斷并未鎖定在一個邏輯的鏈條之中，所以它可以像一粒散落的珍珠容易丟失。富有經驗的人特別留意自己的思想火花，而不輕易讓它遺失，緊緊地抓住它，并反復的思索和錘煉它；(3) 偶然性，自發性。直覺常以頓悟、靈感的形式出現，其出現的時間、地點常出乎意料。但是要特別注意，靈感并不光顧懶漢，靈感是屬于那些勤于耕耘、勤于思索的人。但又不是只要勤奮就能產生靈感。它與思維

19、方式等因素也密切相關；(4) 情感性。 直覺與審美能力有關，與審美情感有關。對數學有巨大熱情的人，對數學一往情深的人，更容易產生數學直覺。反過來，從數學獲得直覺的結果會使人產生更濃烈的感情、喜悅以至于迷戀其中。2. 從數學直覺的以上4個特點，可以得到如下幾點啟示。(1) 當你持久的思索仍找不到答案的時候，不妨擱置一下，去做做別的事情，這種轉換期間獲得直覺的可能性是存在的。大腦中這一興奮中心的抑制常常意味著另一興奮中心的開始.這對獲得靈感是十分有利的；(2) 當你百思不得其解時，暫時忘卻它，可能還會增加產生其它聯想的機會，不僅在不同的工作之間而且在工作與休閑之間轉換，有利于產生靈感；(3) 有意

20、識地進行各種形式的學術交流，閱讀同一學科不同觀點的論文，閱讀一些不同學科的論著，尤其是進行面對面的學術交流或思想碰撞，對產生直覺是十分重要的。例如，當代英國數學家阿蒂亞從事代數幾何方面的研究工作，有一次沃德作有關物理的幾何問題報告，因為領域似乎不同，阿蒂亞曾猶豫是否去聽，最后還是去了，并且聽懂了沃德所講的內容。經過整整3天的思索，阿蒂亞突然發現這些內容能與代數幾何掛上鉤，這使他關于瞬時子的工作取得進展。事后阿蒂亞回想，若是那次以為報告與已無關而未去聽，可能那個問題還是老樣子。又如，1982年秋天，在加拿大召開的一次學術會議期間，桑迪亞實驗室的應用數學部主任辛蒙斯偶然與另一位數學家和工程師瓦洛克一起喝啤酒，談起因子分解。來自克雷計算機公司的瓦洛克提到克雷計算機與普通計算機有所不同，其內部運行可能適用于因子分解。回家后，辛蒙斯和同事們運用克雷計算機進行了一系列計算，終于獲得5