1、 靜電場的兩大外觀表現靜電場的兩大外觀表現對引入電場的任何帶電體產生力的作用對引入電場的任何帶電體產生力的作用.當帶電體在電場中挪動時當帶電體在電場中挪動時, ,電場力做功電場力做功, ,闡明電闡明電場具有能量場具有能量. . 描畫靜電場的根本規律描畫靜電場的根本規律對一個孤立系統，電荷可在系統各部分之間遷移，但其總量堅對一個孤立系統，電荷可在系統各部分之間遷移，但其總量堅持不變持不變原來為零的一直為零，原來為某一量原來為零的一直為零，原來為某一量Q Q的，那么一的，那么一直為直為Q Q，此即電荷守恒定律，此即電荷守恒定律 122=kq qFr在真空中的任何靜電場中，經過任一閉合曲面的在真空中

2、的任何靜電場中，經過任一閉合曲面的電通量等于這閉合曲面所包圍的電荷的代數和的電通量等于這閉合曲面所包圍的電荷的代數和的0分之一，這就是真空中靜電場的高斯定理分之一，這就是真空中靜電場的高斯定理0iieq 等效處置方法等效處置方法等效對稱替代法等效對稱替代法等效電像變換法等效電像變換法 球在第一次與板接觸后獲得電量為球在第一次與板接觸后獲得電量為q，闡明有，闡明有量值為量值為q的正電荷從板上轉移到球上，由電荷守的正電荷從板上轉移到球上，由電荷守恒可知，此時板上電量為恒可知，此時板上電量為(Q-q),球與板這一系統中的總電量是按比例球與板這一系統中的總電量是按比例分配到球上與板上的分配到球上與板上

3、的qQq 當多次操作直至最終板上電量又一次為當多次操作直至最終板上電量又一次為Q但不能但不能向與之接觸的球遷移時此時兩者等電勢，球上電向與之接觸的球遷移時此時兩者等電勢，球上電量到達最大量到達最大: maxqqQQq maxqqqQQ 一個金屬球借助導電薄板從起電機上獲得一個金屬球借助導電薄板從起電機上獲得電荷，板在每次與球接觸后又從起電機上帶電至電量為電荷，板在每次與球接觸后又從起電機上帶電至電量為Q假設球在第一次與板接觸后帶電量為假設球在第一次與板接觸后帶電量為q，求球可獲得的，求球可獲得的最大電量最大電量. 如下圖，半徑一樣的兩個金屬球如下圖，半徑一樣的兩個金屬球A A、B B相距很遠，

4、原相距很遠，原來不帶電，來不帶電，C C球先與遠處電池正極接觸，負極接地，接著與球球先與遠處電池正極接觸，負極接地，接著與球A A接觸，再與接觸，再與B B球接觸；然后又與電池正極接觸，反復上述過程，反復球接觸；然后又與電池正極接觸，反復上述過程，反復不已知不已知C C球第一次與電池接觸后的帶電量為球第一次與電池接觸后的帶電量為q q，第一次與，第一次與A A球接觸球接觸后后A A球的帶電量為球的帶電量為Q1Q1，求，求A A球與球與B B球最后的帶電量球最后的帶電量Q Q與與QQ；設設 ，至少經過幾次與，至少經過幾次與C C球接觸后，球接觸后，A A球的帶電量可達最后帶球的帶電量可達最后帶電

5、量的一半？電量的一半？ 1910Qq CAB 設設A、B球半徑為球半徑為R,C球半徑為球半徑為r,C球與球與A球第球第1次次接觸后有接觸后有11qQQrR qQrR 時 電荷不再從電荷不再從C球移向球移向A球，故球，故RQqr C球與球與B球接觸最終亦球接觸最終亦有有 qQrR 11QqqQQ 由式及題給條件由式及題給條件 19rR 假設第次假設第次C與與A接觸后接觸后A又獲電量又獲電量Q2， 212qQQQrR 則則22910Qq n次次C、A接觸后有接觸后有 919104.511010nqq n7 次次前往前往11QqqQ =r2r1mO 2 1 1S 2S MQq21121coscosr

6、kqFkqr 22222coscosrkqFkqr 帶電球殼內場強為零帶電球殼內場強為零!320343krErr r 把兩個一樣的電量為把兩個一樣的電量為q的點電荷固定在相的點電荷固定在相距距l的地方，在二者中間放上第三個質量為的地方，在二者中間放上第三個質量為m的電量亦為的電量亦為q的點電荷，現沿電荷連線方向給第三個點電荷一小擾動，的點電荷，現沿電荷連線方向給第三個點電荷一小擾動，證明隨之發生的小幅振動為簡諧運動并求其周期證明隨之發生的小幅振動為簡諧運動并求其周期T FBFAqAAqBBOllx22ABkqFFl質點在平衡位置質點在平衡位置O時：時：質點在距平衡位置質點在距平衡位置x的某位置

7、時：的某位置時：222224212AkqkqxFlllx 222224212BkqkqxFlllx 2332kqxl kqxxFlll2241414 22lm lqTk 2kQR點電荷點電荷q在兩側場強等值反向在兩側場強等值反向!qEqEq整個帶電球內部場強為整個帶電球內部場強為0;外外表場強大小為外外表場強大小為設球殼除設球殼除A外其他部分在外其他部分在A處的場強為處的場強為EAA在在A A內側有內側有0qAEE 在在A A外側有外側有2qAkQEER 22AEkQR 22FkqQR 均勻帶電球殼半徑為均勻帶電球殼半徑為R，帶正電，電量為，帶正電，電量為Q，假設在球面上劃出很小一塊，它所帶電

8、量為，假設在球面上劃出很小一塊，它所帶電量為q試求球試求球殼的其他部分對它的作用力殼的其他部分對它的作用力 一個半徑為一個半徑為a的孤立的帶電金屬絲環，其中心電勢為的孤立的帶電金屬絲環，其中心電勢為U0將此將此環接近半徑為環接近半徑為b的接地的球，只需環中心的接地的球，只需環中心O位于球面上，如圖試求球上感應電荷的電位于球面上，如圖試求球上感應電荷的電量量 O點點O1點電勢均為點電勢均為0;環上電荷在環上電荷在OO點的總電勢為點的總電勢為U0U00iikqUa 球上感應電荷在球上感應電荷在O1O1點引起的電勢點引起的電勢UbUbO1a bOO點點O1點電勢均由環上電荷及點電勢均由環上電荷及球上

9、感應電荷共同引起！球上感應電荷共同引起！1ibOikQUUb 環上電荷在環上電荷在O1O1點的總電勢為點的總電勢為122iOikqUab 0212OUaUab 022aUab 022abUk aQb 正點電荷正點電荷1 1和正點電荷和正點電荷2 2分別放置在分別放置在A A、B B兩點，兩點，兩點間相距兩點間相距L L現以現以L L為直徑作一半圓，電荷在此半圓上有一電勢最為直徑作一半圓，電荷在此半圓上有一電勢最小的位置小的位置P P，設，設PAPA與與ABAB的夾角為的夾角為 ，那么，那么 用三角函用三角函數表示數表示 切向場強為切向場強為0位置為位置為電勢最小的位置！電勢最小的位置！ 122

10、2sincoscossinkQkQLL 321tanQQ 1Q2Q3121tanQQ 電荷均勻分布在半球面上，它在這半球的中心電荷均勻分布在半球面上，它在這半球的中心O O處電場強度等于處電場強度等于E0E0兩個平面經過同一條直徑，夾角為兩個平面經過同一條直徑，夾角為 ，從半球中，從半球中分出一部分球面，如下圖試求所分出的這部分球面上在分出一部分球面，如下圖試求所分出的這部分球面上在“小瓣小瓣上的電荷在上的電荷在O O處的電場強度處的電場強度E E E0E2 0sin2 EE 小小半球面均勻分布電荷半球面均勻分布電荷在在O點引起的場強可視點引起的場強可視為為“小瓣球面電荷與小瓣球面電荷與“大瓣

11、球面電荷在大瓣球面電荷在O點引起的電場的矢量點引起的電場的矢量和和.由對稱性及半球幾何關系可知由對稱性及半球幾何關系可知E E大與大與E E小垂直，如下圖小垂直，如下圖: : 有兩個異種點電荷，其電量之比為有兩個異種點電荷，其電量之比為n n，相互間間隔，相互間間隔為為d d試證明它們的電場中電勢為零的等勢面為一球面，并求此等勢試證明它們的電場中電勢為零的等勢面為一球面，并求此等勢面的半徑及其中心與電量較小電荷的間隔面的半徑及其中心與電量較小電荷的間隔r r Oyx-qnq以小電量電荷所在位置為坐以小電量電荷所在位置為坐標原點，建立直角坐標標原點，建立直角坐標 ,x y 2222kqknqxy

12、dxy d-q與與nq在坐標為在坐標為x、y的點電勢迭加為零，即有的點電勢迭加為零，即有 2222211dndxynn 2,01dn 球心坐標球心坐標球半徑球半徑21ndrn 半徑分別為半徑分別為R1R1和和R2R2的兩個同心半球相對放置，如的兩個同心半球相對放置，如下圖，兩個半球面均勻帶電，電荷密度分別為下圖，兩個半球面均勻帶電，電荷密度分別為11和和22，試求大的半，試求大的半球面所對應底面圓直徑球面所對應底面圓直徑AOBAOB上電勢的分布上電勢的分布 AB大半球面上電荷量為大半球面上電荷量為2112 R 大半球面上電荷在底面引起的電勢為整個大球大半球面上電荷在底面引起的電勢為整個大球面上

13、電荷引起電勢的一半面上電荷引起電勢的一半,即即211111122kRUk RR 小半球面上電荷量為小半球面上電荷量為2222 R 小半球面上電荷在其底面引起的電勢為整個小球小半球面上電荷在其底面引起的電勢為整個小球面上電荷引起電勢的一半面上電荷引起電勢的一半, ,即即222222222kRUk RR根據電場疊加原根據電場疊加原理理, ,直徑直徑ABAB上電上電荷分布為荷分布為: : 11222121221222kRRRRrUrRURrRk 小半球面上電荷在球面外引起的電勢亦為小半球面上電荷在球面外引起的電勢亦為整個小球面上電荷引起電勢的一半整個小球面上電荷引起電勢的一半,即即222222kRU

14、r 一半徑為一半徑為R R、帶電量為、帶電量為Q Q的均勻帶電球面，試求其的均勻帶電球面，試求其上的外表張力系數上的外表張力系數 ， 定義為面上單位長度線段兩側各向對方施加定義為面上單位長度線段兩側各向對方施加的作用力的作用力 R E2 sin2R TT2sin2SR 222sinsin2424QQqRR 208QER 在球面上取一面元在球面上取一面元面元受力如示面元受力如示0220222sin4s2i28n23eQFRQQR 面元周邊所受張力合力大小為面元周邊所受張力合力大小為2sinsin22TR 面元處于平衡面元處于平衡, ,那么那么2220sin232sinsin222QRR 2230

15、64QR 前往前往q點電荷電場點電荷電場SS球面上各處場強大小均為球面上各處場強大小均為2204kqqErr 1222018.85 10C /N m4 k 從該球面穿出的電通量從該球面穿出的電通量 220044eqqESrr e eES 電場線的疏密表示電場的強弱，假設場中某面元上有電場線的疏密表示電場的強弱，假設場中某面元上有條電場線垂直穿過，那條電場線垂直穿過，那么么 0eq 根據電場線的性質根據電場線的性質在電場中在電場中沒有電荷處電場線是延續的、不沒有電荷處電場線是延續的、不相交的，可以一定包圍點電荷相交的，可以一定包圍點電荷q q的的恣意封鎖曲面恣意封鎖曲面SS上的電通量也是上的電通

16、量也是 qS 入入出出0e 0q 0eq 根據電場迭加原理，將上述結果推行到恣意點電荷根據電場迭加原理，將上述結果推行到恣意點電荷系構成的靜電場：假設閉合曲面包圍的電荷的代數系構成的靜電場：假設閉合曲面包圍的電荷的代數和為和為 ,iiq 0ieiq 則則前往前往O rRr 由高斯定理有由高斯定理有 2200440eERR Rr 由高斯定理有由高斯定理有 222044eQRQEkRR RE0rO rRr 由高斯定理有由高斯定理有 330eRQr Rr 由高斯定理有由高斯定理有 222044eQRQEkRR RE0rR23044eERQRr 3EkQRr ES 由高斯定理有由高斯定理有 0eS 0

17、22eES QQ 兩面積兩面積S、間距、間距d平行板電容器當平行板電容器當帶電荷量帶電荷量Q時，板間電場由電場時，板間電場由電場疊加原理可得為疊加原理可得為0022E 4 kQS 半徑為半徑為r r的圓板，在與其中心的圓板，在與其中心O O間隔為間隔為d d處置一點電荷處置一點電荷q q，試求板上電通量，試求板上電通量 球冠面上的電通量與圓板的電通量一樣！球冠面上的電通量與圓板的電通量一樣！qdrR222kqkqERrd 距距q為為R處電場強度大小為處電場強度大小為球冠面積為球冠面積為 2SR Rd 22ekqR RdR 22012qddr 在相距在相距d d的兩根平行細長導線上均勻地分布有異

18、種電荷，的兩根平行細長導線上均勻地分布有異種電荷，其線密度為及其線密度為及 求在對稱平面上與導線所在平面相距為求在對稱平面上與導線所在平面相距為x x的一的一點點P P的電場強度的電場強度 由高斯定理有由高斯定理有 0el 022eERlR l R02ER 2d2dxP 1E 2EPE1222022EEdx 22220/22222pdEddxx 22024pdExd 如圖，有如圖，有“無限長均勻帶電圓柱面，半徑為無限長均勻帶電圓柱面，半徑為R R，電荷面密度為電荷面密度為 ，試求其場強，并作，試求其場強，并作E Er r圖圖 rR 0e 0eES rR RE02eRl l 2eeESrl 01

19、Rr rE0R0 如圖，在一厚度為如圖，在一厚度為d d的無窮大平板層內均勻地分布的無窮大平板層內均勻地分布有正電荷，其密度為有正電荷，其密度為 ，求在平板層內及平板層外的電場強度，求在平板層內及平板層外的電場強度E E，并，并作作E Er r圖圖 dS 2dr 時02eSr 02eESr 2dr 時0eS d 022eESd rE0d/202d 02d 一點電荷一點電荷q q位于一立方體中心，立方體邊長為位于一立方體中心，立方體邊長為a a，試問經過立方體一面的電通量是多少？假設點電荷移至立方體的一試問經過立方體一面的電通量是多少？假設點電荷移至立方體的一個角上，這時經過立方體每個面的電通量

20、各是多少？個角上，這時經過立方體每個面的電通量各是多少？ 點電荷位于立方體中心時，經過立方體一個外表的電通量為點電荷位于立方體中心時，經過立方體一個外表的電通量為 06eq 點電荷位于立方體頂點時，點電荷位于立方體頂點時，經過立方體一個外表的電通量為經過立方體一個外表的電通量為 0614eq 024q 如圖，電場線從正電荷如圖，電場線從正電荷q1q1出發，與正點電荷及負點出發，與正點電荷及負點電荷的連線成電荷的連線成 角，那么該電場線進入負點電荷角，那么該電場線進入負點電荷q2q2的角度的角度 是多大？是多大？ +q1q2以點電荷以點電荷+q1與與-q2為中心，為中心，取一半徑取一半徑r很小的

21、球面，可很小的球面，可視為其上電場線均勻分布，視為其上電場線均勻分布，穿出穿出2角所對的球冠面的角所對的球冠面的電場線應完全穿入電場線應完全穿入2角所角所對的球冠面，兩面上電通對的球冠面，兩面上電通量相等：量相等： 12220021cos21cos44r rr rqqrr 12sinsin22qq -4qq 準確地畫出兩點電荷準確地畫出兩點電荷q q及及4q4q的電場線分布表示圖的電場線分布表示圖. . 假設兩電荷相距假設兩電荷相距a，場強為零的點在兩點電荷連線延伸，場強為零的點在兩點電荷連線延伸線距線距+q為為x遠處遠處: 2214xxaax 由上題，從由上題，從+q出發，出發，與兩電荷連線

22、所成與兩電荷連線所成角度在角度在0,之間的之間的電場線進入電場線進入-4q終止終止時與兩電荷連線夾時與兩電荷連線夾角在角在0,/3之間，之間，如圖如圖:AO點電勢為點電勢為0：0rRqqqlrR由高斯定理知由高斯定理知0rRqqq Rlr RR lQqr rlR rr lQqR qrRl 如圖，兩個以如圖，兩個以O O為球心的同心金屬球殼都接地，半徑分為球心的同心金屬球殼都接地，半徑分別是別是r r、R R如今離如今離O O為為l lr rl lR R的地方放一個點電荷的地方放一個點電荷q q問兩個球問兩個球殼上的感應電荷的電量各是多少？殼上的感應電荷的電量各是多少？ . . Q+球殼內、外外

23、表感應電荷電量總等于球殼內、外外表感應電荷電量總等于球殼中心電荷量球殼中心電荷量內外感應電荷在球殼中心引起的電勢為內外感應電荷在球殼中心引起的電勢為kQkQUab 從中心挪動極小電量過程中可以為中心點電勢不變從中心挪動極小電量過程中可以為中心點電勢不變,Qqn 取取在第在第i次挪動中的元功為次挪動中的元功為 11iQQWk ninnab 挪動挪動Q到無窮遠的總功為到無窮遠的總功為 111limnniQQWk ninnab 221111limnnikQniabn 2112kQab 如圖，在一開口原不帶電的導體球殼中心如圖，在一開口原不帶電的導體球殼中心O O點有一點點有一點電荷電荷Q, Q, 球

24、殼內外半徑分別是球殼內外半徑分別是a a、b b欲將電荷欲將電荷Q Q 經過小孔緩慢地從經過小孔緩慢地從O O點移到無窮遠處點移到無窮遠處, ,應做多少功應做多少功? ?前往前往 如下圖，將外表均勻帶正電的半球，沿線分成兩部分，如下圖，將外表均勻帶正電的半球，沿線分成兩部分，然后將這兩部分移開很遠的間隔，設分開后的球外表仍均勻帶電，然后將這兩部分移開很遠的間隔，設分開后的球外表仍均勻帶電，試比較點與點電場強度的大小試比較點與點電場強度的大小 AA A2R2RA E1E23EA23EE ABCDO203414 假設正四面體的四個面電勢一樣，四面體就是一個等勢假設正四面體的四個面電勢一樣，四面體就

25、是一個等勢體，其中心點電勢即可確定，現正四面體體，其中心點電勢即可確定，現正四面體ABCD各面靜各面靜電勢均不同，其中心點的電勢難以直接確定電勢均不同，其中心點的電勢難以直接確定. 如下圖，正四面體如下圖，正四面體ABCDABCD各面為導體，但又彼此絕各面為導體，但又彼此絕緣知帶電后四個面的靜電勢分別為、和緣知帶電后四個面的靜電勢分別為、和, ,求四面體中求四面體中心點的電勢心點的電勢0 0 1 4 2 3 進展等效替代：另有同樣的三進展等效替代：另有同樣的三個四個面的靜電勢分別為個四個面的靜電勢分別為1、 2 、 3和和4的正四面體，將的正四面體，將它們適當地疊在一同，使四個它們適當地疊在一

26、同，使四個面的電勢均為面的電勢均為1+2 +3+4 ，中心點中心點O共點，這個疊加而成共點，這個疊加而成的四面體是等勢體，其中心的四面體是等勢體，其中心O點電勢點電勢40=1+2 +3+4 如下圖，在半徑為如下圖，在半徑為R R、體密度為、體密度為 的均勻帶電球體的均勻帶電球體內部挖去半徑為內部挖去半徑為r r的一個小球，小球球心與大球球心的一個小球，小球球心與大球球心O O相距為相距為a a，試，試求點的場強，并證明空腔內電場均勻求點的場強，并證明空腔內電場均勻 O r1OAE1EAE2r212EEEA110Er3 120Err3A 則則帶電球內半徑為帶電球內半徑為r處處場強場強320343

27、krErr 220Er3 0a3 aBABP OMABAP處帶寬設為處帶寬設為l 帶面積為帶面積為2sin slR 均勻帶電球電荷面密度為均勻帶電球電荷面密度為P處帶上電荷量為處帶上電荷量為22sin4 QQlRR P處弧上電荷線密度為處弧上電荷線密度為sin2 QlR 如下圖，在半徑為如下圖，在半徑為R R的細圓環上分布有不能挪動的的細圓環上分布有不能挪動的正電荷，總電量為正電荷，總電量為Q Q，ABAB是它的一條直徑，假設要使是它的一條直徑，假設要使ABAB上的場強上的場強處處為零，那么圓環上的電荷應該如何分布？處處為零，那么圓環上的電荷應該如何分布？ sin4QR 24QR 均勻帶電金屬

28、球外表每一個面元遭到整均勻帶電金屬球外表每一個面元遭到整個球面其他部分電荷對它的靜電力大小個球面其他部分電荷對它的靜電力大小是是 2224ikQQFSRR 那么單位面積靜電力那么單位面積靜電力 248FkQPsR 想象另半球對此半球的作用力與壓強亦為想象另半球對此半球的作用力與壓強亦為P P的氣體作的氣體作用在半球上的壓力相平衡，那么用在半球上的壓力相平衡，那么 2224288kQkQFRRR 22032QR 兩個半球合在一同組成一個完好的金屬球，球的半兩個半球合在一同組成一個完好的金屬球，球的半徑為徑為R R，如下圖，求兩個半球間的靜電斥力，如下圖，求兩個半球間的靜電斥力. . +EQE-Q

29、EEEEQQ 10r3EQ 而而203ErQ 1200rr33EEd= 則則r1r2E d03Ed 可可得得S V d cosVS d 03EVdS 03cosE 在強度為在強度為E E的均勻電場中放著一個均勻的金屬球，的均勻電場中放著一個均勻的金屬球，其半徑為其半徑為R R，由于感應，在球上產生了外表密度為，由于感應，在球上產生了外表密度為 的電荷，的電荷， 與圖與圖中標出的角中標出的角 有關系求關系式有關系求關系式() () 如下圖，平面上有一段長為如下圖，平面上有一段長為l l的均勻帶電直線的均勻帶電直線ABAB，在，在該平面取直角坐標該平面取直角坐標OxyOxy，原點，原點O O為為A

30、BAB中點，中點，ABAB沿沿x x軸試證明該平軸試證明該平面上任一點面上任一點P P的電場線方向沿的電場線方向沿APBAPB的角平分線；試求該平面上的的角平分線；試求該平面上的電場線方程試求該平面上的等勢線方程電場線方程試求該平面上的等勢線方程. . PCEPBAhix i2 1rin siniirnx i 2rnh 2irqnh 元電荷在元電荷在P點點引起的場強引起的場強qikhEn 各點合場強均沿該點對各點合場強均沿該點對AB張角的角平分線張角的角平分線 !利用雙曲線性質：雙曲線上各點切線沿該點與雙曲線利用雙曲線性質：雙曲線上各點切線沿該點與雙曲線兩焦點夾角平分線，而所研討的電場其各點電

31、場線切兩焦點夾角平分線，而所研討的電場其各點電場線切線沿各點對線沿各點對A A、B B張角平分線，那么電場線為一簇焦張角平分線，那么電場線為一簇焦距為距為l /2l /2的雙曲線的雙曲線2222212xyala 利用橢圓性質：橢圓上各點法線為該點與橢圓兩焦點利用橢圓性質：橢圓上各點法線為該點與橢圓兩焦點夾角平分線，所研討的電場其各點電場線切線沿各點夾角平分線，所研討的電場其各點電場線切線沿各點對對A A、B B張角平分線，而等勢線與電場線處處垂直，張角平分線，而等勢線與電場線處處垂直，那么其等勢線即為一簇焦距為那么其等勢線即為一簇焦距為 l /2 l /2的橢圓的橢圓2222212xyala

32、前往前往 如圖，無限大的接地導體板，在距板如圖，無限大的接地導體板，在距板d處處的的A點有一個電量為點有一個電量為Q的正電荷，求板上的感應電荷對點的正電荷，求板上的感應電荷對點電荷電荷Q的作用力的作用力 QA-Q24kQFd 2016Qd 由于導體板接地，板上電勢為零，在點電荷由于導體板接地，板上電勢為零，在點電荷Q Q的作用下，板的右側出現感應電荷的作用下，板的右側出現感應電荷. .由于導體為一等勢面，從點電荷由于導體為一等勢面，從點電荷Q Q出出發的電場線應處處與導面子正交而終發的電場線應處處與導面子正交而終止，因此導體板右側電場線分布大致止，因此導體板右側電場線分布大致如下圖如下圖聯想到

33、等量異種電荷的電場：聯想到等量異種電荷的電場：導體板上感應電荷對板右側電場的影響，導體板上感應電荷對板右側電場的影響，可用與點電荷可用與點電荷Q關于導面子成鏡像對稱的另關于導面子成鏡像對稱的另一虛設點電荷一虛設點電荷-Q替代，板上感應電荷對替代，板上感應電荷對Q的的作用亦等效于像電荷作用亦等效于像電荷-Q對對Q發生的作用發生的作用由庫侖定律，板上感應電荷對點電荷由庫侖定律，板上感應電荷對點電荷Q Q的的作用力大小為作用力大小為ROrPq q 由導體外表感應由導體外表感應電荷總電量在電荷總電量在O點點引起的電勢與點引起的電勢與點電荷電荷q在在O點引起點引起的電勢之和為零的電勢之和為零得得 0kq

34、kqdR 根據獨一性原理可知，等效的像電荷量即為根據獨一性原理可知，等效的像電荷量即為Rqqd 像電荷位置，應令其在球面上恣意點引起的電勢與像電荷位置，應令其在球面上恣意點引起的電勢與q在同在同一點電勢疊加為零，即滿足一點電勢疊加為零，即滿足 22222cos2cos kqkqRdRdRrRr 2222222cos2cos dRrRrR RdRd 2242322cos d rRRrdR d 對恣意角位置等式均成立必有對恣意角位置等式均成立必有2rRd 22222kRdqkqdrRqFd 如下圖，設在一接地導體球的右側如下圖，設在一接地導體球的右側P P點，有一點電荷點，有一點電荷q q，它與球

35、心的間隔為，它與球心的間隔為d d，球的半徑為，球的半徑為R R，求導體球上的感應電荷為多，求導體球上的感應電荷為多少？點電荷少？點電荷q q遭到的電場力為多大？遭到的電場力為多大？ *電像法求接地導體球與點電荷周圍的電場電像法求接地導體球與點電荷周圍的電場 根據等效的原理，根據等效的原理，q和和q產生電場的產生電場的0勢勢能面應在球外表能面應在球外表即即 確實為一球面確實為一球面對對A、B兩特殊點列式：兩特殊點列式： 12120kqkqrr1212qqrrRxdOq2q1BA120qqdRRx120qqdRRx21Rqqd 2Rxd 半徑為半徑為R2R2的導電球殼包圍半徑為的導電球殼包圍半徑

36、為R R的金屬球，金屬球的金屬球，金屬球原來具有電勢為原來具有電勢為U U，假設讓球殼接地，那么金屬球的電勢變為多少？，假設讓球殼接地，那么金屬球的電勢變為多少？ U金屬球上電量設為金屬球上電量設為Q Q1kQUR 由由1URQk球殼接地后設感應電荷的像電荷電球殼接地后設感應電荷的像電荷電量為量為q q，由高斯定理，由高斯定理 000Qq 1R UqQk 殼接地后球的電勢為殼接地后球的電勢為Q Q與與q q引起的電勢疊加引起的電勢疊加12URUUR 212RRUR Ecqab-qa qb -qEaEbaE bE c像電荷在像電荷在c c點引起的場強大小點引起的場強大小 25kqEd 24525

37、25cEkqEd 兩個電量兩個電量q q相等的正點電荷位于一無窮大導體平板相等的正點電荷位于一無窮大導體平板的同一側，且與板的間隔均為的同一側，且與板的間隔均為d d，兩點電荷之間的間隔為，兩點電荷之間的間隔為2d2d求在求在兩點電荷聯線的中點處電場強度的大小與方向兩點電荷聯線的中點處電場強度的大小與方向 如圖，速調管用于甚高頻信號的放大速調管如圖，速調管用于甚高頻信號的放大速調管主要由兩個相距為主要由兩個相距為b b的腔組成，每個腔有一對平行板初始速度為的腔組成，每個腔有一對平行板初始速度為v0v0的一束電子經過板上的小孔橫穿整個系統要放大的高頻信號以的一束電子經過板上的小孔橫穿整個系統要放

38、大的高頻信號以一定的相位差一個周期對應于一定的相位差一個周期對應于22相位分別加在兩對電極板上，相位分別加在兩對電極板上，從而在每個腔中產生交變程度電場當輸入腔中的電場方向向右時，從而在每個腔中產生交變程度電場當輸入腔中的電場方向向右時，進入腔中的電子被減速；反之，電場方向向左時，電子被加速這進入腔中的電子被減速；反之，電場方向向左時，電子被加速這樣，從輸入腔中射出的電子經過一定的間隔后將疊加成短電子樣，從輸入腔中射出的電子經過一定的間隔后將疊加成短電子束假設輸出腔位于該短電子束構成處，那么，只需加于其上的電束假設輸出腔位于該短電子束構成處，那么，只需加于其上的電壓相位選擇恰當，輸出腔中的電場

39、將從電子束中吸收能量設電壓壓相位選擇恰當，輸出腔中的電場將從電子束中吸收能量設電壓信號為周期信號為周期T=1.0T=1.010-9 s10-9 s，電壓，電壓V=0.5 VV=0.5 V的方波電子束的初始速度的方波電子束的初始速度v0=2.0v0=2.0106 m/s106 m/s，電子荷質比，電子荷質比e/m=1.76e/m=1.761011 C/kg1011 C/kg假定間距假定間距a a很小，很小，電子渡越腔的時間可忽略不計保管位有效數字，計算：電子渡越腔的時間可忽略不計保管位有效數字，計算：(a)(a)使電使電子能疊加成短電子束的間隔子能疊加成短電子束的間隔b b(b)(b)由相移器提

40、供的所需的輸出腔與由相移器提供的所需的輸出腔與輸入腔之間的相位差輸入腔之間的相位差 相移器相移器輸入腔輸入腔v0aab輸出腔輸出腔相移器相移器輸入腔輸入腔v0aab輸出腔輸出腔 經過輸入腔的電子電場向左時被電場加速電場向左時被電場加速電場向右時被電場減速電場向右時被電場減速由動能定理：由動能定理： 2201122tUemvmv 202tUevmv 要構成短電子束，應使后半周期經要構成短電子束，應使后半周期經過輸入腔被加速的電子經過一段間過輸入腔被加速的電子經過一段間隔隔b b在輸出腔在輸出腔“追上前半周期經過追上前半周期經過輸入腔被減速的電子，從而疊加成輸入腔被減速的電子，從而疊加成短電子束，

41、故此應有：短電子束，故此應有： 2200222bTbUeUevvmm mm24096220022.2721.01.9562.0441010222.04412.9561022UevmTbUeUevvmm b)為使輸出腔中的電場從短電子束中吸收能量，應使電為使輸出腔中的電場從短電子束中吸收能量，應使電場方向向右，電場力對電子束做負功當輸入腔電場方場方向向右，電場力對電子束做負功當輸入腔電場方向向右時滿足向向右時滿足20222bkUeTvm 269202.272 102211.6221.956 101.0 102bkkkUeTvm 0.622232 0.321378 如下圖，如下圖，N N個一價正離

42、子和個一價正離子和N N個一價負離子交錯陳列個一價負離子交錯陳列成一維點陣，相鄰離子間的間距為成一維點陣，相鄰離子間的間距為a a計算這個相互靜電作用的點陣計算這個相互靜電作用的點陣總靜電能總靜電能NN 除兩端處的一些離子外，每個離子與其周圍離子的相互作用除兩端處的一些離子外，每個離子與其周圍離子的相互作用情形都一樣，任取一正離子記為情形都一樣，任取一正離子記為A0，兩側各對離子依次為，兩側各對離子依次為A-1、A+2212keEa 這是與第這是與第1 對負離子所共有的對負離子所共有的! A0在第在第2對正離子中間位置具有電勢能對正離子中間位置具有電勢能 2222keEa A0在第在第1對負離子中間位置具有電勢能對負離子中間位置具有電勢能 A0這是與第這是與第2 對正離子所共有的對正離子所共有的! 221111234keEa 22ln2kea