1、用換元法解二元方程組王王 忠忠鄭州市第二十六中學鄭州市第二十六中學 曾經曾經有人有人對物理學家和數學家對物理學家和數學家提出了這樣一個提出了這樣一個問題：問題：“假設在你面前有煤氣灶假設在你面前有煤氣灶, ,水龍頭、水壺和水龍頭、水壺和火柴火柴, ,你想燒開水，應當怎樣去做？你想燒開水，應當怎樣去做？”對此對此二者都二者都回答回答說說: :“在壺中灌上水在壺中灌上水, ,點燃煤氣點燃煤氣, ,再把壺放在煤氣再把壺放在煤氣灶上灶上. .”提問者肯定了這一回答提問者肯定了這一回答, ,但是但是, ,他又追問道他又追問道: :“如果其他的條件都沒有變化如果其他的條件都沒有變化, ,只是水壺中已經有只

2、是水壺中已經有了足夠的水了足夠的水, ,那么你又應該怎樣去做？那么你又應該怎樣去做？”這時物這時物理學家回答說理學家回答說: :“點燃煤氣點燃煤氣, ,再把水壺放上去再把水壺放上去. .” 而數學家回答而數學家回答說說: : “把水壺中的水倒掉把水壺中的水倒掉, ,再把再把壺中壺中灌上水灌上水, ,點燃煤氣點燃煤氣, , 把壺放在煤氣灶上把壺放在煤氣灶上. .”你同意數學家的做法嗎？數學家為什么要這樣做呢？你同意數學家的做法嗎？數學家為什么要這樣做呢？ “把水倒掉把水倒掉”, ,這就是化歸這就是化歸, ,這就這就是數學家常用的方法是數學家常用的方法. .換元法是初中數學的一種重要解題方換元法是

3、初中數學的一種重要解題方法法, ,是化歸思想在數學中的一種體現是化歸思想在數學中的一種體現. .通過換元通過換元, , 可把復雜問題簡單化可把復雜問題簡單化, , 把把未知轉化為已知或可知未知轉化為已知或可知. . 下面我們舉例說明換元法在解方程組下面我們舉例說明換元法在解方程組中的應用中的應用. .,14)( 5)( 316)()( 5)4(dcbadcbadcba則若.1453165)3(的解為方程組yxyx4 4復習方程組的解法：復習方程組的解法：一、找兩位同學解下列方程組一、找兩位同學解下列方程組1453165)2(1453165) 1 (babanmnm二、哪位同學能快速地說出答案？

4、二、哪位同學能快速地說出答案？三、通過上面的觀察，你發現了什么？二元一次方程組的解只二元一次方程組的解只與方程組的系數有關，與方程組的系數有關，與所選用的未知數與所選用的未知數( (古稱古稱元元) )無關無關. .131453165nmnmnm，解得14)(5)(316)()(5. 1babababa解方程組例解：設a+b=m,a-b=n.則原方程組可化為1213bababa，解得.即為原方程組的解14)(5)(316)()(5. 1babababa解方程組例另解：原方程組可化為1428823baba兩式相加得：兩式相加得：11a=22,a=2.將將a=2代入方程代入方程1得得:b=1.12b

5、a原方程組的解是14)3(5)2(316)3()2(5. 1yxyx解方程組練習.131453165nmnmnm，解得解：設x-2=m,3-y=n.則原方程組可化為251332yxyx，解得.即為原方程組的解另解：原方程組可化為另解：原方程組可化為523355xyxy5-得：得：22x=110,x=5.將將x=5代入代入得：得：y=2.5.2xy原方程組的解是14125131612115.1yxyx解方程組思考題.131453165nmnmnm，解得18112131yxyx，解得.即為原方程組的解，則原方程組可化為解：設nymx121,1C C.43. 2yxpnymxcbyax的解為已知方程組思考題 .23231pnymxcbyax解方程組 .2) 1(2) 1(2pnyxmcbyxa解方程組 .5235233pnymxcbyax解方程組.2323pynxmcybxa解：原方程組可化為 .23231pnymxcbyax解方程組21,4233yxyx解得由已知得 .2) 1(2) 1(2pnyxmcbyxa解方程組.2) 1(2) 1(pynxmcybxa解：原方程組可化