1、求數列通項公式的十種方法一、公式法例1 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：兩邊除以，得，則，故數列是以為首項，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，說明數列是等差數列，再直接利用等差數列的通項公式求出，進而求出數列的通項公式。二、累加法例2 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：由得則所以數列的通項公式為。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。例3 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：由得則所以評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。例4 已知數列滿足，求數

2、列的通項公式。解：兩邊除以，得，則，故因此，則評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式，最后再求數列的通項公式。三、累乘法例5 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：因為，所以，則，故所以數列的通項公式為評注：本題解題的關鍵是把遞推關系轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。例6 （2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數列滿足，求的通項公式。解：因為所以用式式得則故所以由，則，又知，則，代入得。所以，的通項公式為評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，從而可得當的表達式，最后再求出數列的通項公式。四、待定系數法例7 已知數列滿足，求數列的通項公式。

3、解：設將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入式得由及式得，則，則數列是以為首項，以2為公比的等比數列，則，故。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。例8 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：設將代入式，得整理得。令，則，代入式得由及式，得，則，故數列是以為首項，以3為公比的等比數列，因此，則。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求數列的通項公式。例9 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：設將代入式，得，則等式兩邊消去，得，解方程組，則，代入式，得由

4、及式，得則，故數列為以為首項，以2為公比的等比數列，因此，則。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。五、對數變換法例10 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：因為，所以。在式兩邊取常用對數得設將式代入式，得，兩邊消去并整理，得，則，故代入式，得由及式，得，則，所以數列是以為首項，以5為公比的等比數列，則，因此則。評注：本題解題的關鍵是通過對數變換把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。六、迭代法例11 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：因為，所以又，所以數列的通

5、項公式為。評注：本題還可綜合利用累乘法和對數變換法求數列的通項公式。即先將等式兩邊取常用對數得，即，再由累乘法可推知，從而。七、數學歸納法例12 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：由及，得由此可猜測，往下用數學歸納法證明這個結論。（1）當時，所以等式成立。（2）假設當時等式成立，即，則當時，由此可知，當時等式也成立。根據（1），（2）可知，等式對任何都成立。評注：本題解題的關鍵是通過首項和遞推關系式先求出數列的前n項，進而猜出數列的通項公式，最后再用數學歸納法加以證明。八、換元法例13 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：令，則故，代入得即因為，故則，即，可化為，所以是以為首項，以為公比的等

6、比數列，因此，則，即，得。評注：本題解題的關鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關系式轉化形式，從而可知數列為等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。九、不動點法例14 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：令，得，則是函數的兩個不動點。因為。所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，故，則。評注：本題解題的關鍵是先求出函數的不動點，即方程的兩個根，進而可推出，從而可知數列為等比數列，再求出數列的通項公式，最后求出數列的通項公式。例15 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：令，得，則是函數的不動點。因為，所以，所以數列是以為首項，以為公差的等差數列，則，故。評注：本題解題的關鍵是先求出函數的不動點，即方程的根，進而可推出，從而可知數列為等差數列，再求出數列的通項公式，最后求出數列的通項公式。十、特征根法