1、專題跟蹤檢測(十一)立體幾何中的向量方法-n -DA廠廠V55所以 cos n, DA=匚，sinn, DA=.551. (2018 全國卷川) )如圖，邊長為 2 的正方形ABCD 所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直，M 是CD上異于 C,D 的點.(1)證明：平面 AMD 丄平面 BMC ;(2)當三棱錐 M-ABC 體積最大時，求平面 MAB 與平面 MCD 所成.面角的正弦值.解：( (1)證明：由題設知，平面 CMD 丄平面 ABCD，交線為 C D.因為 BC 丄 CD , BC?平面 ABCD ,所以 BC 丄平面 CMD，所以 BC 丄 DM .因為 M 為CD上異于 C, D

2、 的點，且 DC 為直徑,所以 DM 丄 CM.又 BCnCM = C,所以 DM 丄平面 BMC.因為 DM ?平面 AMD ,所以平面 AMD 丄平面 BMC.-以 D 為坐標原點，DA 的方向為 x 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系 D-xyz.當三棱錐 M-ABC 的體積最大時，M 為CD的中點.由題設得 D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), M (0,1,1),- - AM = (-2, 1,1), AB = (0,2,0), DA = (2,0,0),設 n = (x, y, z)是平面 MAB 的法向量,廠 - n AM = 0,則

3、- n-AB = 0,2x+ y+ z= 0,可取 n= (1,0,2),2y= 0.-又 DA 是平面 MCD的一個法向量,In |DA|所以平面 MAB 與平面 MCD 所成二面角的正弦值是乞5.5解得 a = 2.2.(2018唐山模擬) )如圖，在四棱錐P-ABCD 中，PC 丄底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB 丄AD ,AB /CD ,AB=2AD=2CD ,E是PB的中點.(1)求證：平面EAC 丄平面PBC;若二面角P-AC-E 的余弦值為-3，求直線PA 與平面EAC 所成角的正弦值.解：( (1)證明：因為PC丄平面ABCD,AC?平面ABCD，所以AC丄PC.因為

4、AB=2AD=2CD,所以AC=BC=_2AD=2CD ,所以AC2+BC2=AB2,故AC丄 BC.又BCnPC=C,所以AC丄平面PBC.因為 AC?平面EAC ,所以平面EAC 丄平面PBC.(2)如圖，以 C 為坐標原點,- - - CB , CA , CP 的方向分別為 x 軸，y 軸，z 軸的正方向，建立空間直角坐標系，并設CB = 2, CP= 2a(a0).則A(0,2,0), B(2,0,0), P(0,0, 2a),則 E(1,0, a),- - -CA = (0,2,0), CP = (0,0,2a), CE = (1,0, a),C(0,0,0),易知 m= (1,0,

5、0)為平面 PAC 的一個法向量.設 n = (x, y, z)為平面 EAC 的法向量,n A=0,則An CE=0,y= 0,x+ az= 0,取 x = a,貝 U z= 1, n= (a,0, - 1).依題-則 sin0=|cosPA,n|=- zI PA |n|/ AB=2,AAi=3, ZBAD=60OB=OD=i,OA=OC=3,OAi= AA2 0A2= 6.則 0(0,0,0), B(1,0,0), C(0,3, 0), A(0, 3, 0), Ai(0,0,6),) )B=(1,0,0),BB=A,=(0/3,6),設平面 OBBj的法向量為 n = (x1, y1,引,

6、OB n= 0, 則I OB1n= 0,k.令 浙=.2,得 n = (0, - 2, 1)是平面 OBBj的一個法向量.設平面 OCB1的法向量 m=( (X2, y2, Z2),OC m= 0, 則I OB1m= 0,令 Z2= 1,得 m=6, 0, 1)為平面 OCB1的一個法向量,/ cos n, m|n| |m|由圖可知二面角 B-OB1-C 是銳二面角,二面角 B-OB1-C 的余弦值為蘭.4. (2018 長春質檢) )如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 為菱形，PA 丄平面 ABCD ,E 為 PD 的中點.(1)證明：PB /平面 ACE ;OB =OB +葩

7、=(1，護，西,X1=0, 即d1X1+3y1+Q6z1=0.訂3y2=0,X2+ 2+ 6Z2= 0,C)C =(0,設設 PA= 1,ZABC = 60 三棱錐 E-ACD 的體積為二3求二面角 D-AE-C 的余弦值.8解：( (1)證明：連接 BD 交 AC 于點 0,連接 0E.在厶 PBD 中，PE = DE , B0= DO，所以 PB / 0E.又 PB?平面 ACE , 0E ?平面 ACE，所以 PB /平面 ACE.由題易知 VP-ABCD= 2VP-ACD= 4VE-ACD= ,設菱形 ABCD 的邊長為 a,11I則 VP-ABCD= S?ABCDPA=X解得 a =

8、 3.-取 BC 的中點為 M，連接 AM，貝 U AM 丄 A D.以點 A 為坐標原點，分別以 AM ,- -AD , AP 的方向為 x 軸，y 軸，z 軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系,則 A(0,0,0), E 0,子子, ,1 ,心號心號，# 0，AE =設 叫=(x, y, z)為平面 AEC 的法向量,取 x = 1,貝 y n1= (1, -3, 3)為平面 AEC 的一個法向量.又易知平面 AED 的一個法向量為 n2= (1,0,0),n1n2所以 cos nj, n2=-In1| |n2|由圖易知二面角 D-AE-C 為銳二面角，所以二面角 D-AE-C 的余弦

9、值為三3.l3a2X V,n1AE = 0,則n1AC =0,_23y+= 0,+予=0,1=V131 + 3 + 913135.(2018 鄭州質檢) )如圖，在三棱錐 P-ABC 中，平面 PAB 丄平面 ABC , AB =6, BC= 2 3, AC= 2 6, D, E 分別為線段 AB, BC 上的點，且 AD =2DB , CE = 2EB ,PD 丄 AC.a求證：PD 丄平面 ABC;(2)若直線 PA 與平面 ABC 所成的角為 45。，求平面 PAC 與平面 PDE 所成銳二面角的大 小.解：證明：TAC= 2 6, BC= 2 3, AB = 6, AC2+ BC2=

10、AB2,AZACB = 90 cos/ ABC =今363易知 BD = 2, CD2=22+(2 3)2-2X2X2 3cosZ ABC=8, CD = 2 2，易知 AD = 4, CD2+ AD2= AC2,ACD 丄 AB.平面 PAB 丄平面 ABC，平面 PABA平面 ABC = AB,. CD 丄平面 PAB, CD 丄 PD,/ PD 丄 AC,ACACD=C, PD 丄平面 ABC.由(1)知 PD, CD , AB 兩兩互相垂直，可建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,直線 PA 與平面 ABC 所成的角為 45即/ PAD = 45 PD = AD = 4,則 A(0,

11、 - 4,0), C(2 2, 0,0), B(0,2,0), P(0,0,4),CB= (-2 2, 2,0), 丘=(2 2, 4,0),-PA = (0 , 4, 4)./ AD = 2DB, CE = 2EB , DE / AC.由( (1)知 AC 丄 BC , DE 丄 BC ,又 PD 丄平面 ABC , PD 丄 BC ,/ PDADE = D, CB 丄平面 PDE,CE3= ( 2 2 , 2,0)為平面 PDE 的一個法向量.設平面 PAC 的法向量為 n= (x , y, z),n AC =0,則n -PA = 0 ,2 2x + 4y= 0 ,4y 4z= 0 ,令

12、z= 1，得 x=2 , y= 1 , n= (2,1,1)為平面 PAC 的一個法向量.平面 PAC 與平面 PDE 所成的銳二面角的余弦值為-2.,故平面 PAC 與平面 PDE 所成的銳二面角為 306. (20 佃 屆高三 洛陽聯考) )如圖 1,在直角梯形 ABCD 中，AD / BC, AB 丄 BC , BD 丄 DC,點 E 是 BC 邊的中點，將厶 ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD 丄平面 BCD，連接 AE, AC, DE，得到如圖 2 所示的幾何體.(1) 求證：AB 丄平面 ADC ;(2) 若 AD = 1，二面角 C-AB-D 的平面角的正切值為6，求二面角

13、B-AD-E 的余弦值.解：( (1)證明：因為平面 ABD 丄平面 BCD，平面 ABD 門平面 BCD = BD , BD 丄 DC,所以 DC 丄平面 ABD.因為 AB?平面 ABD，所以 DC 丄 AB.又因為 AD 丄 AB, DCAAD = D ,所以 AB 丄平面 ADC.(2)由(1)知 AB 丄平面 ADC，所以二面角 C-AB-D 的平面角為/ CAD.又 DC 丄平面 ABD , AD?平面 ABD，所以 DC 丄 AD.依題意 tan/ CAD = CD = 6.因為 AD = 1,所以 CD = 6.設 AB = x(x 0)，貝 U BD = x2+ 1.依題意

14、ABDDCB，所以 AB= BD，即 x解得 x = 2,故 AB= 2, BD = 3, BC = BD2+ CD2= 3.法一：以 D 為坐標原點，DB, DC 所在直線為 x 軸，y 軸建立如圖所示的空間直角坐AD/ cos n, CB=標系 D-xyz,則 D(0,0, 0), B( 3, 0,0), C(0, - 6, 0), E 中，中,0 , A 扌,0,專, 所以 DIE = -2，中,0 ,= , 0，舟.由知平面 BAD 的一個法向量 n= (0,1,0).設平面 ADE 的法向量為 m= (x, y, z),m DE =0,今 x +26y=0,則 t即 t 廠廠-36m

15、 DA =0,虧 x + 可 z = 0.令 x = . 2,得 y= 1, z=- 1,所以 m= ( 2, 1,- 1)為平面 ADE 的一個法向量.n m所以 cos n, m=-In I |m|由圖可知二面角 B-AD-E 的平面角為銳角, 所以二面角 B-AD-E 的余弦值為 1.法二：因為 DC 丄平面 ABD ,所以過點 E 作 EF / DC 交 BD 于 F,貝 U EF 丄平面 ABD.因為 AD ?平面 ABD，所以 EF 丄 AD.過點 F 作 FG 丄 AD 于 G ,連接 GE ,所以 AD 丄平面 EFG，因此 AD 丄 GE , 所以二面角 B-AD-E 的平面

16、角為/ EGF. 由平面幾何的知識求得 EF = 1CD = 26,1血FG = TAB7,22所以 EG = EF2+ FG2=2,所以皿EGF=EG=112.aEc1所以二面角 B-AD-E 的余弦值為7.如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，側面 PAD 丄底面 ABCD，底面ABCD 是平行四邊形，/ ABC = 45 AD = AP= 2, AB = DP = 2 迄，E 為 CD 的中點，點 F 在線段 PB 上.(1) 求證：AD 丄 PC;(2) 試確定點 F 的位置，使得直線 EF 與平面 PDC 所成的角和直線 EF 與平面 ABCD 所 成的角相等.解：證明：連接 AC ,因

17、為 AB = 2 2, BC = 2,/ ABC = 45由余弦定理得，AC2= AB2+ BC2- 2 AB BC cos 45 = 4,得 AC = 2,所以 AC2+ BC2= AB2,所以/ ACB= 90 即 BC 丄 AC.又 AD / BC,所以 AD 丄 AC,因為 AD = AP = 2, DP = 2 2,所以 AD2+ AP2= DP2,所以/ PAD= 90 即 PA 丄 AD ,又 APAAC= A,所以 AD 丄平面 PAC.又 PC?平面 PAC,所以 AD 丄 PC.(2)因為側面 PAD 丄底面 ABCD ,側面 PADA底面 ABCD = AD , PA 丄

18、 AD ,所以 PA 丄底 面ABCD,所以直線 AC , AD , AP 兩兩互相垂直，以 A 為坐標原點，直線 AD , AC , AP分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,則 A(0,0,0) , D( 2,0,0) , C(0,2,0) , B(2,2,0) , E( 1,1,0), P(0,0,2),所以3= (0,2 , 2),Pt? =(2,0, 2),=(2,2, 2).設 PB=皿0,1),則 PF = (2 入 2 人一 2入,F(2 人 2 人一 2 H 2),所以 EF=(2 入+1,2X1, 2X+2),JLZ易得平面 ABCD 的一個

19、法向量為 m= (0,0,1).設平面 PDC 的法向量為 n = (x, y, z),令 x = 1,得 n = (1, - 1, - 1).因為直線 EF 與平面 PDC 所成的角和直線 EF 與平面 ABCD 所成的角相等,- - 所以 |cos EF , m |= |cos EF , n |,- -|EF m | |EF n | 即 =|EF |m| |EF | n |所以 |-2 H 2|=即 3|入-1|=|川疋0,1), 解得匸寧，所以PB =寸.即當詩寧時，直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角 相等.8.如圖，C 是以 AB 為直徑的圓 O 上異于 A, B 的點，平面 PAC 丄平面ABC , PA= PC= AC= 2, BC= 4, E, F 分別是 PC, PB 的中點， 記平面 AEF與平面 ABC 的交線為直線 l.(1)證明：直線 I 丄