1、* *12.4一元二次方程的根與系數的關系中考考點1 .理解一元二次方程的根與系數的關系(韋達定理)。2 .會運用根與系數的關系，由已知的一元二次方程的一個根求出另一個根與未知系數。3 .會求一元二次方程兩個根的倒數和與平方和。考點講解bc1 ,若一元二次方程ax2+bx+c=0(a用)的兩根為xi,X2,則xi+X2=-a ,xiX2= "。2 .以xi,x2為根的一元二次方程是 (x-xi)(x-x 2)=0 ,展開代入兩根和與兩根積，仍得到方程 ax2+bx+c=0(a w0)。3 ,對二次項系數為i的方程x2+px+q=0的兩根為xi,x2時，那么xi+x2=-p ,xix2

2、=q。反之，以xi,x2為根的一元二次方程是： (x-xi)(x-x 2)=0 ,展開代入兩根和與兩根積， 仍得到方程: x2+px+q=0 o4 . 一元二次方程的根與系數關系的應用主要有以下幾方面：(i)已知一元二次方程的一個根，求另一個根，可用兩根和或兩根積的關系求另一個根。(2)已知含有字母系數的一元二次方程的一個根，求另一個根及字母系數的值。可用根與 系數關系式，一個關系式求得另一個根，再用另一個關系式求得字母系數的值。(3)已知一元二次方程，不解方程，可求與所給方程兩根和、兩根積的某些代數式的值如，方程2x2-3x+1=0 的兩根為X1,X2,不解方程，求 X12+X22的值。3&

3、#163;3£ 5X1+X2=2 , X1 X2=X,.X12+X 22 = (x 1+X 2)2-2X 1X2 = ( 2 )2-2 X? =4 (4)驗根、求根、確定根的符號。(5)已知兩根，求作一元二次方程(注意最后結果要化為整系數方程)。(6)已知兩數和與積，求這兩個數。(7)解特殊的方程或方程組。考題評析1 .(北京市東城區)如果一元二次方程 X2+3X-2=0 的兩個根為X1 , X2,那么X1+X2與X1X2的值分別為()(A) 3, 2(B) -3, -2(C) 3, -2(D) -3 , 2考點：一元二次方程的根與系數關系。 評析：由一元二次方程aX2+bX+c=0

4、(a *0)的兩根X1,X2，滿足X1+X 2=,X1X2='可直接計算，答案為Bo2 .(杭外而)若“卜吃是方程方丈-5 = 0的兩個根，則*1)的值為()(A) -7(B) 1(C) 一1""(D) 一 】一寸2g答案：A考點：一元二次方程根與系數的關系tiCH- Xj = Kj =一評析思路：由韋達定理知3 ,a ,先求出X1+X2, xi X2的值，然后將代數式（xi+1）（x 2 + 1）展開，最后將 X1+X2, X1 X2的值代入即可。3 .（遼寧?。┫铝蟹匠讨?，兩根分別為+ 一行 的是（）（A）/十2"4-0（B）/十2克-4=0（c）/-

5、21十4 = 0）- - 2工 7 = 0答案：B考點：一元二次方程根與系數的關系評析思路：因給出了二根，所以好求二根和二根積，再根據Xi+X2=-p X 1 X2=q ,即可確定正確答案為Bo4 .（遼寧?。┮阎猘, 0是方程正* 2累-5 = 0的兩個實數根，則以+4*3的值為。考點：一元二次方程根與系數的關系評析思路：由根與系數的關系可知a+b=-2 , a b= -5。而所求式中有a2+2a方程的根，所以有 a2+2a-5=0 ,即a2+2a=5 ,再加ab,原式值為0。答案：05 .（河南省）關于x的方程工一咋比+1）工*拿口 7二° ,是否存在負數k, 實數根的倒數和等于

6、4?若存在，求出滿足條件的k的值；若不存在，說明理由。答案：解：設方程的兩個實數根是XI、X2.由根與系數關系，得Xl+X2=5k+11 ' 1 _ 乃 * 翅 1,1又”1町"巴，勺口 =4 ,業+ 1-=4. 4k2-5k-9=0.9解這個方程，得 ki=-1 , k2=1（不合題意，舍去）.當k=-1時，原方程的判別式*b 2-4ac=-（5k+1）2-4（k 2-2）=（-4） 2-4（1-2）=20>0.所以存在滿足條件的負數k, k=-1.考點：一元二次方程根的判別式的應用，根與系數的應用。部分，因a是使方程的兩個,X1X2=k 2-2.評析：此題是存在型的

7、試題，一般結論都是在存在成立的條件下，按照給出的條件進行討論,因此題是關于兩個實根的關系，所以在討論時必注意>0 O6 .(福州市)以 2,-3為兩個根的一元二次方程是().(A) x2-x-6=0(B) x2+x-6=0(C) x2-x+6=0(D) x2+x+6=0答案：B考點：一元二次方程根與系數關系。鬲.-P評析：利用一元二次方程 x2+px+q=0的根xi,x2與系數關系：1冷二, 直接計算即得答案。7 .(廣州市)已知 2是關于x的方程x2+3mx-10=0的一個根，則 m= .考點：一元二次方程的根與系數關系評析：根據方程解的概念，將未知數的值代入方程求出m,或利用根與系數

8、的關系解方程組求出。答案：11 1-r8 .（貴陽市）若 xi,X2是方程x2-2x+m=0 的兩個根，且"1 = = =2 ,則m=.考點：一元二次方程根與系數關系評析：由一元二次方程ax2+bx+c=0鼻-K（a*0）的兩根xi、x2與系數的關系得xi+x 2=2xix2= m ,求i 7 的值，代入已知的等式求出m答案：19 .（河北?。┰?RtAABC中，/C=90 °, a、b、c分別是/A、/B、/C的對邊，a、b是關于x的方程-= 0的兩根，那么AB邊上的中線長是（）35（A）之（B）之 （C） 5（D） 2考點：直角三角形三邊關系勾股定理、根與系數的關系評析

9、思路：因直角三角形兩直角邊a、b是方程的二根，：有 a+b=7a b=c+7，由勾股定理知c2=a2+b2，聯立組成方程組求得c=5 , 斜邊上的中線為斜邊的一半，故選 B10 .（北京市海淀區）已知：關于 x的方程+ a =0的兩個實數根的倒數和等于此一 13,關于x的方程有實數根且k為正整數，求代數式上一 2的值考點：根的判別式，根與系數的關系。評析：先根據根與系數的關系求得a值，再將a代入到第二個方程。因第二個方程只證有實根，所以k可以等于1,然后再根據A的范圍再確定k值，分別代入所求代數式就可以了。答案：0說明學生往往忽略 k=1的這種情況：認為一元二次方程有實根，必是兩個，這是不全面

10、的,也有的不考慮的范圍。1 111 .(河北省)若 XI、X2是一元二次方程 3x2+x-1=0 的兩個根，則"+ ,口的值是()(A)-1(B)0(C)1(D)2考點：一元二次方程根與系數的關系評析：根據一元二次方程根與系數的關系，先求出X1+X2, X1X2的值，然后將求的代數式1 5 1 1&“變形為“右，最后將X1+X 2=- 3 , X1 X2=- 3代入即可，故選Co12 .(哈爾濱市)已知： ABC的兩邊AB、AC的長是關于X的一元二次方程X2-(2k+3)X+k 2+3k+2=0的兩個實數根，第三邊 BC的長為5.(1) k為何值時， ABC是以BC為斜邊的直

11、角三角形.(2) k為何值時， ABC是等腰三角形，并求出 ABC的周長.考點：Rt 三邊關系，等腰三角形底與腰的關系，一元二次方程根與系數關系評析：(3) 已知一元二次方程的兩根，首先想到不解方程，而是利用根與系數的關系達到目的，又根據Rt 三邊的關系AB2+AC 2=BC 2可知，通過 AB2+AC 2=(AB+AC) 2 - 2AB AC可實現。答案：k=2或k= -5注：如果利用根與系數關系不能求解，再利用解方程求根的方法。(4) 首先利用判斷式判斷 AB與AC是否相等，再考慮其它情況，即 AB=BC或AC=BC , 當AB=BC或AC=BC時，BC=5是一元二次方程的一個根，故可求k

12、的值，也就可求另一個根，三角形的周長可求。答案：14或16.注：在求周長時，應判斷是否能構成三角形。13 .(安徽)已知方程 x2+(1-蟲)x-Ml =0的兩根為X1、X2,求xL +x2的值。考點：一元二次方程根與系數的關系評析：根據根與系數的關系，先求出X1+X2、X1 X2的值然后將X12+X 22=（X 1+X 2）2-2X 1X2變為以上形式，再將 X1+X 2= J2-1 , X1X2=-代入即可。解：由根與系數關系,X1+X 2=-1 +X - +X - =(X 1 +X 2)2-2X 1X2=('-1) 2+2 '=3-2=3.的正確值可以。說明：如果先解出根

13、14 .（北京市東城區）已知關于x的方程x2-（k-1）x+k+1=0的兩個實數根的平方和等于4,求實數k的值。考點：一元二次方程根與系數的關系評析：先設方程二根為XI、X2 ,分別求出X 1+X 2 , X1 X2的值，再根據兩根的平方和是4 ,求出k值，但必須保證方程有兩個實根，所以還必須保證4>0才能確定k的值，此題一些考生忽略力的隱含條件的。解：設方程x2-(k-1)x+k+1=0的兩個實數根是 xi, X2,那么X1+X 2 = k-1, X 1 X2=k+1.由 x- +x - =4,得(X1+X 2)2-2X 1X2=4.即(k-1) 2-2(k+1)=4k2-4k-5=0

14、解這個方程，得k=5 或 k=-1.當 k=5 時，A=(5-1) 2-4(5+1)<0,原方程無實數根，故 x=5舍去.當 k=-1 時，A=(-1-1) 2-4(-1+1)>0,因此，k=-1為所求。真題實戰1 .(常州市)已知關于x的方程x2+mx 6=0的一個根是2,則另一個根是 ,m=答案：-3 ； 1的值2 .(天門市)若方程裳*一次一3二口的兩根是X1、X2,則代數式片,寫一招一".是。答案：63 .已知xi、X2是方程x2-x- 1=0的兩個根，則 為 利 的值是（）A、1B、一 1C、±1 D、0答案：B1 1 + ： = 24 .（石家莊市）

15、設方程2彥皿+ 4 = 口的兩根為X1和X2,且/4 ，則m等于（）A.8 B.4 C. 8 D . 4答案：C5 .（濰坊市）下列方程中，兩實數根的和等于2的方程是（）A . 2x2 4x+3=0B. 2x2-2x -3=0C. 2x2+4x 3=0D . 2x2 4x 3=0答案：D1 16 .（山西省）若方程x2-2x-1=0 的二根為X1, X2,則代數式 11的值是（）A. 6B. 4C. 2答案：A7.(南昌市)已知方程2x2+kx10=0的一個根是一2,求它的另一根及 k的值解：設方程的另一根為 xi,那么-2x i =-5 ,52c.1 2 .k=-1 。5答：方程的另一根是1

16、 , k的值是-18 .(蘇州市)已知關于 x的方程x2+(m 2)x+ 2 m 3=0。(1)求證：無論 m取什么實數值，這個方程總有兩個不相等的實數根；(2)若這個方程的兩個實數根x1,x2滿足2x+x2=m+1,求m的值a-*1二(掰一 2)口 -4(-3)證明：:2二班* 一 6例 +16=(加一 3/ + 7口無論m取什么實數，這個方程總有兩個不相等的實數根解,X1 ,X2是這個方程的兩個實數根"十行 -771 + 2(1)電司=卜-3又 2x i+x 2=m+1,(3)(3)-(1),得 xi=2m-1 (4)把(4)代入(1),得X2=3-3m (5)把(4)、(5)1

17、 , -m -.代入(2),彳#(2m-1)(3-3m)=?一 17 n bm -m = LJ n 17m, =U,m,=,12 129 .(南通市)設X1、X2是關于x的方程x2(k+2)+2k+1=0的兩個實數根，且X12+X 22=11.(1)求k的值；(2)利用根與系數的關系求一個一元二次方程，使它的一個根是原方程兩個根的和，另一 根是原方程兩根差的平方。解：(1)由題意得 X1+x 2=k+2 , X1 X2=2k+1握:4=1區1 4=k2 4* 2- - - - -p喜：十星! 1 H + 7 - 11 丘力小又 12, .K + 上11 ,解得 k= ±3又,A=-(k+2) 2-4(2k+1)=k2-4k ,當k=3時，A=-3 <0,原方程無實數解；當k=-3時，A =21 >0,原方程有實數解。故 k=-3 。（2）當k