1、【2015年高考會這樣考】1本部分高考命題的一個熱點是矩陣變換與二階矩陣的乘法運算，考題中多考查求平面圖形在矩陣的對應變換作用下得到的新圖形，進而研究新圖形的性質2本部分高考命題的另一個熱點是逆矩陣，主要考查行列式的計算、逆矩陣的性質與求法以及借助矩陣解決二元一次方程組的求解問題【復習指導】1認真理解矩陣相等的概念，知道矩陣與矩陣的乘法的意義，并能熟練進行矩陣的乘法運算2掌握幾種常見的變換，了解其特點及矩陣表示，注意結合圖形去理解和把握矩陣的幾種變換3熟練進行行列式的求值運算，會求矩陣的逆矩陣，并能利用逆矩陣解二元一次方程組基礎梳理1乘法規則(1)行矩陣a11a12與列矩陣的乘法規則：a11a

2、12a11b11a12b21(2)二階矩陣與列向量的乘法規則：.(3)兩個二階矩陣相乘的結果仍然是一個矩陣，其乘法法則如下：(4)兩個二階矩陣的乘法滿足結合律，但不滿足交換律和消去律即(AB)CA(BC)，ABBA，由ABAC不一定能推出BC.一般地兩個矩陣只有當前一個矩陣的列數與后一個矩陣的行數相等時才能進行乘法運算2常見的平面變換恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉變換、投影變換、切變變換六個變換3逆變換與逆矩陣(1)對于二階矩陣A、B，若有ABBAE，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣；(2)若二階矩陣A、B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且(AB)1B1A1.4特征值與特征向量設A是一個

3、二階矩陣，如果對于實數，存在一個非零向量，使A，那么稱為A的一個特征值，而稱為A的屬于特征值的一個特征向量雙基自測1(2011南通調研測試)曲線C1：x22y21在矩陣M的作用下變換為曲線C2，求C2的方程解設P(x，y)為曲線C2上任意一點，P(x，y)為曲線x22y21上與P對應的點，則，即因為P是曲線C1上的點，所以C2的方程為(x2y)22y21.2已知矩陣A將點(1,0)變換為(2,3)，且屬于特征值3的一個特征向量是，求矩陣A.解設A，由，得由3，得所以所以A.3(2011蘇州調研測試)已知圓C：x2y21在矩陣形A(a0，b0)對應的變換作用下變為橢圓1，求a，b的值解設P(x，

4、y)為圓C上的任意一點，在矩陣A對應的變換下變為另一個點P(x，y)，則，即又因為點P(x，y)在橢圓1上，所以1.由已知條件可知，x2y21，所以a29，b24.因為a0，b0，所以a3，b2.4(2011南京市模擬)已知a為矩陣A屬于的一個特征向量，求實數a，的值及A2.解由條件可知，所以解得a2.因此A.所以A2.考向一矩陣與變換【例1】求曲線2x22xy10在矩陣MN對應的變換作用下得到的曲線方程，其中M，N.審題視點 先求積MN，再求變換公式解MN.設P(x，y)是曲線2x22xy10上任意一點，點P在矩陣MN對應的變換下變為點P(x，y)，則，于是xx，yx，代入2x22xy10，

5、得xy1.所以曲線2x22xy10在MN對應的變換作用下得到的曲線方程為xy1.【訓練1】 四邊形ABCD和四邊形ABCD分別是矩形和平行四邊形，其中點的坐標分別為A(1,2)，B(3,2)，C(3，2)，D(1，2)，A(1,0)，B(3,8)，C(3,4)，D(1，4)，求將四邊形ABCD變成四邊形ABCD的變換矩陣M.解該變換為切變變換，設矩陣M為，則.所以k20，解得k2.所以M為.考向二矩陣的乘法與逆矩陣【例2】已知矩陣A，B，求(AB)1.審題視點 求矩陣A的逆矩陣，一般是設A1，由求得解AB.設(AB)1，則由(AB)(AB)1，得，即，所以解得故(AB)1.【訓練2】 已知矩陣

6、A，B，求矩陣AB的逆矩陣解設矩陣A的逆矩陣為A1，則，解之得，a1，b2，c0，d1，所以A1.同理得，B1.又(AB)1B1A1，所以(AB)1.考向三矩陣的特征值與特征向量【例3】已知矩陣M，其中aR，若點P(1，2)在矩陣M的變換下得到點P(4,0)，求：(1)實數a的值；(2)矩陣M的特征值及其對應的特征向量審題視點 f()(2)(1)6.解(1)由，所以22a4.所以a3.(2)由(1)知M，則矩陣M的特征多項式為f()(2)(1)6234.令f()0，得矩陣M的特征值為1與4.當1時，xy0.所以矩陣M的屬于特征值1的一個特征向量為.當4時，2x3y0.所以矩陣M的屬于特征值4的

7、一個特征向量為.【訓練3】 已知二階矩陣A，矩陣A屬于特征值11的一個特征向量為a1，屬于特征值24的一個特征向量為a2，求矩陣A.解由特征值、特征向量定義可知，Aa11a1，即1，得同理可得解得a2，b3，c2，d1.因此矩陣A.矩陣的有關問題及其求解方法矩陣與變換是理科附加題的選考題，題型主要有矩陣與變換、矩陣的乘積與逆矩陣，求矩陣的特征值與特征向量熟悉變換問題的解題，掌握矩陣乘法法則和求矩陣特征值與特征向量的方法，會用待定系數法求逆矩陣【示例】(本題滿分10分)(2011福建)設矩陣M(其中a0，b0)(1)若a2，b3，求矩陣M的逆矩陣M1；(2)若曲線C：x2y21在矩陣M所對應的線性變換作用下得到曲線C：y21，求a，b的值用待定系數法求逆矩陣解答示范 (1)設矩陣M的逆矩陣M1，則MM1.又M，所以，所以2x11,2y10,3x20,3y21，即x1，y10，x20，y2，故所求的逆矩陣M1.(5分)(2)設曲線C上任意一點P(x，y)，它在矩陣M所對應的線性變換作用下得到點P(x，y