1、三角函數的性質及三角恒等變形林賢數概述：三角函數的基礎是平面幾何中的相似形與圓，但研究的方法是采用代數中函數的研究方法和代數運算的方法，于是使三角函數成了聯系幾何和代數的橋梁，使它在幾何和代數中都能有所作為。這無疑使三角函數在復數、立體幾何和解析幾何中有著廣泛的應用。【考點梳理】一、考試內容1.角的概念的推廣，弧度制。2.任意角的三角函數、單位圓中的三角函數、同角三角函數的基本關系、正弦、余弦的誘導公式。3.兩角和與差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切。4.正弦函數、余弦函數的圖像和性質、周期函數、函數y=Asin(x+)的圖像、正切函數的圖像和性質、已知三角函數值求角。5.余弦定理

2、、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。二、考試要求1.理解任意角的概念、弧度制的意義，并能正確地進行弧度和角度的換算。2.掌握任意角的三角函數的定義，了解余切、正割、余割的定義，掌握同角三角函數的基本關系，掌握正弦、余弦的誘導公式，了解周期函數和最小正周期的意義，了解奇函數、偶函數的意義。3.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。4.能正確地運用三角公式，進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明。5.了解正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像和性質，會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數和函數y= Asin(x+)的簡圖，理解A、的物理意義。6.會由已知

3、三角函數值求角，并會用符號表示。7.掌握余弦定理、正弦定理，并能初步運用它們解斜三角形。（2005年考綱刪減知識點：“能利用計算器解決三角形的計算問題”）三、知識網絡：【命題研究】分析近五年的全國高考試題，有關三角函數的內容平均每年有25分，約占17%，浙江省2004年高考試題這部分內容有17分，占總分11.3%。試題的內容主要有兩方面；其一是考查三角函數的性質和圖象變換；尤其是三角函數的最大值、最小值和周期，題型多為選擇題和填空題；其二是考查三角函數式的恒等變形，如利用有關公式求植，解決簡單的綜合問題，除了在填空題和選擇題中出現外，解答題的中檔題也經常出現這方面的內容，是高考命題的一個常考的

4、基礎性的題型。其命題熱點是章節內部的三角函數求值問題，命題新趨勢是跨章節的學科綜合問題。數學試題的走勢，體現了新課標的理念，突出了對創新能力的考查。如：福建卷的第17題設函數；（2）若函數的圖象按向量平移后得到函數的圖象，求實數的值。此題“重視知識拓寬，開辟新領域”，將三角與向量知識交匯。高考試題聯系現行新教材，如全國（2）卷中的第17題：已知銳角三角形中，（1）求證：；（2）設，求邊上的高，就與下列課本習題相接近，課本第一冊（下）第四章三角函數的小節與復習例2：已知，求的值。【復習策略】三角函數是傳統知識內容中變化最大的一部分，新教材處理這一部分內容時有明顯的降調傾向，突出“和、差、倍角公式

5、”的作用，突出正、余弦函數的主體地位，加強了對三角函數的圖象與性質的考查，因此三角函數的性質是本章復習的重點。第一輪復習的重點應放在課本知識的重現上，要注重抓基本知識點的落實、基本方法的再認識和基本技能的掌握，力求系統化、條理化和網絡化，使之形成比較完整的知識體系；第二、三輪復習以基本綜合檢測題為載體，綜合試題在形式上要貼近高考試題，但不能上難度。當然，這一部分知識最可能出現的是“結合實際，利用少許的三角變換（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的應用）來考查三角函數性質”的命題，難度以靈活掌握倍角的余弦公式的變式運用為宜。由于三角解答題是基礎題、常規題，屬于容易題的范疇，因此，建議三角函數的

6、復習應控制在課本知識的范圍和難度上，這樣就能夠適應未來高考命題趨勢。總之，三角函數的復習應立足基礎、加強訓練、綜合應用、提高能力。解答三角高考題的一般策略：（1）發現差異：觀察角、函數運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”。（2）尋找聯系：運用相關三角公式，找出差異之間的內在聯系。（3）合理轉化：選擇恰當的三角公式，促使差異的轉化。三角函數恒等變形的基本策略：（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2+sin2=tanx·cotx=tan45°等。（2）項的分拆與角的配湊。如分拆項：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；

7、配湊角：=（+），=等。（3）降次，即二倍角公式降次。（4）化弦（切）法。將三角函數利用同角三角函數基本關系化成弦（切）。（5）引入輔助角。asin+bcos=sin(+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=確定。第一課時【典型例題分析與解答】例1、 分析：對三角函數式化簡的目標是： （1）次數盡可能低； （2）角盡可能少； （3）三角函數名稱盡可能統一； （4）項數盡可能少。 觀察欲化簡的式子發現： （1）次數為2（有降次的可能）； （2）涉及的角有、2、2，（需要把2化為，2化為）； （3）函數名稱為正弦、余弦（可以利用平方關系進行名稱的統一）； （4）共有3項（需要減

8、少），由于側重角度不同，出發點不同，本題化簡方法不止一種。 解法一： 解法二：（從“名”入手，異名化同名） 解法三：（從“冪”入手，利用降冪公式先降次） 解法四：（從“形”入手，利用配方法，先對二次項配方） 注在對三角式作變形時，以上四種方法，提供了四種變形的角度，這也是研究其他三角問題時經常要用的變形手法。例2、已知函數的圖像過點，且b>0，又的最大值為，(1)求函數 的解析式；(2)由函數y=圖像經過平移是否能得到一個奇函數y=的圖像？若能，請寫出平移的過程；若不能，請說明理由。解：(1)，由題意，可得，解得，所以；(2) ，將的圖像向上平移1個單位得到函數的圖像，再向右平移單位得到

9、的圖像，故將的圖像先向上平移1個單位，再向右平移單位就可以得到奇函數y=的圖像。注本題考查的是三角函數的圖象和性質等基礎知識，其是高考命題的重點內容，應于以重視。例3、為使方程在內有解，則的取值范圍是（） 分析一：由方程形式，可把該方程采取換元法，轉化為二次函數：設sinx=t，則原方程化為，且，于是問題轉化為：若關于的一元二次方程在區間上有解，求的取值范圍，解法如下： 分析二： 解法如下： 注換元法或方程思想也是高考考查的重點，尤其是計算型試題。思維能力訓練：1、函數的圖象的一條對稱軸方程是（ ） A. B. C. D. 2、下列函數中，以為周期的函數是（ ） A. B. C. D. 3、已

10、知是第三象限的角，若等于（ ） A. B. C. D. 4、已知，則以下選項正確的是（）A.B. C. D. 5、函數以2為最小正周期，且能在x=2時取得最大值，則的一個值是（ ）A、 B、 C、 D、6、如圖，半徑為2的M切直線AB于O點，射線OC從OA出發繞著O點順時針方向旋轉到OB。旋轉過程中，OC交M于P，記PMO為x，弓形PnO的面積為，那么的圖象是（ ）A、 B、 C、 D、7、。8、如圖，一個半徑為10米的水輪按逆時針方向每分鐘轉4圈，記水輪上的點P到水面的距離為米（P在水面下則為負數），則（米）與時間（秒）之間滿足關系式：，且當P點從水面上浮現時開始計算時間，有以下四個結論：；

11、，則其中所有正確結論的序號是。9、已知函數，(1)求函數的定義域、值域、最小正周期；(2)判斷函數奇偶性。10、（1）已知：，求證：；（2）已知：，求：的值。11、已知偶函數的最小值為0，求的最大值及此時x的集合。第二課時【典型例題分析與解答】例1、已知向量，(1)求的值；(2)若的值。解：(1)因為所以又因為，所以，即；(2) ，又因為，所以 ，所以，所以點評本小題主要考查平面向量的概念和計算，三角函數的恒等變換的基本技能，著重考查數學運算能力平面向量與三角函數結合是高考命題的一個新的亮點之一例2、已知向量，向量與向量的夾角為，且，（1）求向量；（2）若向量與向量的夾角為，向量，其中為的內角

12、，且依次成等差數列，求的取值范圍。分析：本題的特色是將向量與三角知識綜合，體現了知識的交匯性，這是高考命題的一個創新，也是高考命題的新趨勢，關聯三角形的三角解答題是高考命題又一個熱點。解答本題應先翻譯向量語言，脫去向量語言的外衣，這時問題（1）就轉化為解方程組問題了，而問題（2）就化歸為三角形中的三角函數問題了。解：（1）設，由，有向量與向量的夾角為，有，則由、解得：（2）由與垂直知，由若，則，例3如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，ABC外的地方種草，ABC的內接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花.若BC=a，ABC=，設ABC的面積為S1，正方形的面積為S2（）用a，表

13、示S1和S2；（）當a固定，變化時，求取最小值時的角解：（1）設正方形邊長為，則（2）當固定，變化時，令 ，用導數知識可以證明：函數在是減函數，于是當時，取最小值，此時。o注三角函數有著廣泛的應用，本題就是一個典型的范例。通過引入角度，將圖形的語言轉化為三角的符號語言，再將其轉化為我們熟知的函數。三角函數的應用性問題是歷年高考命題的一個冷點，但在復習中應引起足夠的關注。思維能力訓練：1、 （）A.2B.C.4D. 2、 給出下列的命題中，其中正確的個數是（）（1） 存在實數，使sincos=1；（2） 存在實數，使sin+cos=；（3） 是偶函數；（4） 若、是第象限角，且，則tgtg（5）

14、 在ABC中AB是sjnAsinB的充要條件。A.1B.2C.3D.43、函數的值域為（ ）A. B. C. D. 4、函數在下面哪個區間內是增函數（）A.B.C.D. 5、若點P在第一象限，則在，2內的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 6、定義在R上的函數即是偶函數又是周期函數，若的最小正周期是，且當時，則的值為（）A.B. C. D. 7、給出問題：已知中，滿足，試判定的形狀，某學生的解答如下：由條件可得：，去分母整理可得，。故是直角三角形。該學生的解答是否正確？若正確，請將他的解題主要依據填在下面橫線上；若不正確，將正確的結果填在下面橫線上。8、已知_。9、在中，角所對的邊分別為

15、，且，（1）求的值；（2）若，求的最大值。10、已知向量，其中是常數，且，函數的周期為，當時，函數取得最大值1。(1)求函數的解析式； (2)寫出的對稱軸，并證明之。11、例2、如圖，足球比賽場的寬度為a米，球門寬為b米，在足球比賽中，甲方邊鋒沿球場邊線，帶球過人沿直線向前推進。試問：該邊鋒在距乙方底線多遠時起腳射門可命中角正切值最大？（注：圖中表示乙方所守球門，所在直線為乙方底線，只考慮在同一平面上的情形）。o答案：第一課時：1、A2、D3、A4、A5、A6、A7、8、（1）（2）（4）9、解：(1)，定義域：，值域為：R，最小正周期為；(2) ，且定義域關于原點對稱，所以為奇函數。10、解：（1）（2）當時， 當時，11、解： ，因為為偶函數，所以，對，有，即，亦即，所以，由，解得，此時，當時，最大值為0，不合題意，當時，最小值為0，當時，由最大值，此時自變