1、2017屆高三一模考試數學試題I一：填空題1 函數y 2sin(3x -)的最小正周期為 。2 設集合 A 1,3, B a 2,5, A B 3，則 A B=3復數z (12i)2，其中i為虛數單位，則z的實部為。4 口袋中有若干紅球、黃球和藍球，從中摸出一只球。摸出紅球的概率為0.48，摸出黃球的概率是 0.35，則摸出藍球的概率為。5 如圖是一個算法流程圖，則輸出的n的值為。2x y 46若實數x, y滿足X 3y 7，則z 3x 2y的最大值為x 0y 0137 抽樣統計甲、乙兩名學生的5次訓練成績(單位：分)結果如下:學生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575則成績較為

2、穩定(方差較小)的那位學生成績的方差為 8.如圖，在正四棱柱 ABCD - A1BGD1 中，AB=3cm AA=1cm,3則三棱錐 D - A1BD的體積為cm。2 29 在平面直角坐標系 xOy中，直線2x y 0為雙曲線 篤 爲 1(a0,b0)的一條漸近線，則該雙a2 b2曲線的離心率為。10九章算術中的“竹九節”問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積共3升，下面3節的容積共4升，則該竹子最上面一節的容積為 升。11 在 ABC 中，若 BC BA 2AC AB CA CB，則 sin A 的值為。sin C12已知兩曲線f(x) 2sin x, g(x

3、) acosx, x (0,)相交于點P。若兩曲線在點 P處的切線互相垂直,2則實數a的值為。13已知函數f(x) | x | | x 4|，則不等式f(x2 2) f (x)的解集用區間表示為 14在平面直角坐標系 xOy中，已知B, C為圓x2 y2 4上兩點，點A(1,1)，且AB AC，則線段BC的長的取值圍是。二：解答題15.(本題滿分14分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，以x軸正半軸為始邊作銳角，其終邊與單位圓交于點代以OA為始邊作銳角，其終邊與單位圓交于點B, AB。5(1) 求cos 的值；5(2) 若點A的橫坐標為，求點B的坐標。16.（本題滿分14分）如圖，在四棱錐 P

4、- ABC呼，四邊形 ABC為平行四邊形，AC BD相交于點 Q點E為PC的中點，QP=QC PA丄PD求證：（1）直線PA/平面BDE（2）平面BDEL平面PCD17.（本題滿分14 分）如圖，在平面直角坐標系xQy中，已知橢圓2x2ab21(a0）的離心率為焦點到相應準線的距離為1.(1)求橢圓的標準方程;(2)若P為橢圓上的一點，過點 0作0P的垂線交直線10Q2的值;18.(本題滿分16分)如圖，某機械廠要將長 6m寬2m的長方形鐵皮 ABCD進行裁剪。已知點 點，點E在邊BC上，裁剪時先將四邊形 CDFE&直線EF翻折到MNF處(點C, D分別落在直線 N處，FN交邊BC于點

5、P),再沿直線PE裁剪。(1)當 EFP 時，試判斷四邊形 MNPE勺形狀，并求其面積；4F為AD的中BC下方點M(2)若使裁剪得到的四邊形 MNP面積最大，請給出裁剪方案，并說明理由。19.(本題滿分16分)已知函數f(x) ax2 x In x, a R。3(1) 當a 時，求函數f (x)的最小值；8(2) 若1 a 0,證明：函數f (x)有且只有一個零點；(3)若函數f(x)又兩個零點，數a的取值圍。20.（本題滿分16分）已知等差數列an的公差d不為0,且ak1 ,ak2, ,akn, （ki k?kn ）成等比數列，公比為q。a（1）若 ki 1,k23,ka 8，求的值；d（2

6、） 當也為何值時，數列kn為等比數列；d（3）若數列kn為等比數列，且對于任意 n N*，不等式an akn 2人恒成立，求 印的取值圍。2016-2017學年度高三第二學期期初摸底考試數學試題I參考答案一：填空題1 . 2 . 1,3,53 .3 4 . 0.17 5. 5 6. 7 7. 20 8. -9 . . 532I10 . 1311.2 12 . 亙 13 . (, 2)(.2,)14 . .62, .6、2223二：解答題15.解(1 )在 AOB 中，由余弦定理得：AB2 OA2 OB2 2OA OB cos AOB ,所以cos AOBOA2 OB2 AB2 2OA OB3，

7、即 cos5(2)因為cos3，且為銳角，所以sin51 cos2455因為點A的橫坐標為，由三角函數定義可得:135cos13因為為銳角，所以sin 1cos21所以 cos( ) cos cos sin sin5 212()10分13135 31243312分13 513565sin( ) sin cos cos sin34 5613 513 5 65所以點B（33 5665,6514分16.證明：（1）連結OE因為O為平行四邊形 ABC%角線的交點，所以 O為AC的中點,又E為PC的中點，所以OE/PA, 4分因為OE 平面BDE PA 平面BDE所以直線PA/平面BDE 6分(2)因為

8、 OE/PA, PAI PD,所以 OE! PD,8分4因為OP=OC E為PC的中點，所以 OE! PC10分又 PCn PD=P PD 平面 PCD PC 平面 PCD所以OE!平面PCD12分因為OE 平面BDE 所以平面 BDEL平面 PCD14分17.解：(1)由題意得：-'-, c 1,a2 b2 c2, 2分a 2 c2w解得：a ,2,c 1,b 1 ,所以橢圓的標準方程為y 1;4分2(2)由題意知OP的斜率存在，當OP的斜率為0時，OP 、2,OQ . 2，所以=1,6分OP2 OQ2當OP的斜率不為0時，設直線OP的方程為y kx,y 1 得：(2k21)x22，

9、解得：x2y kx22k21，所以y22k22k21所以OP222k222k21因為OPOQ，所以直線OQ的方程為y11x，y2由1得:x2k，所以OQ22k22yxk112k2 11所以22= 22 1OPOQ2k 22k 212分綜上，可知1OP21OQ2=1.14分18.解：(1)當 EFP 時， EFP4EFDFEP所以 FPE ，即FN BC，所以四邊形 MNPE為矩形，3分2所以四邊形 MNPE勺面積為S PN MN 2m2 ； 5分(2)設 EFD(0,)，由條件知：EFPEFDFEP,22222PF,NP NF PF3 -,ME3，8分sin( 2 )si n2sin 2tan

10、222 tan230sin 22sin 231tan3由320 得: tan2所以tan2解得：2tan3. 5tan3332000222所以四邊形MNPE的面積為S1(PNME) MN-(32(322 ) 2)22sin 2tan2 26() 12 分tan sin 226tan) 6 (ta n) 6 23tan2 tantan3 23島當且僅當tan，即tan 心 (一，),時取“=”14分tan323答：當 EFP 時，沿直線PE裁剪，四邊形 MNPE面積最大，為62 3。16分3x In x,3319.解：(1)當 a 時，f (x) x288所以f (x)3 彳1x 1 一(3x

11、2)(x2,(x0),，2分4x4x令 f (x) =0,得 x 2，當j x (0,2)時,f (x)<0,當 x (2,)時，f (x)>0,所以函數f(x)在(0,2)上單調遞減，在(2,)上單調遞增,所以當x 2時，f (x)有最小值f(2)2(2)由 f(x) ax x In x, a得：f (x),(x0)所以當a0時，f (x) 込x 10，函數f (x)在(0,)上單調遞減,所以當a0時，函數f(x)在(0,)上最多有一個零點,d 2又當1a 0 時，f (1) a 10,fQ)0，e e綜上，當1 a 0時，函數f (x)有且只有一個零點； 8分(3)由(:2)知

12、：當a 0時，函數f (x)在(0,)上最多有一個零點，因為函數f (x)有兩個零點，所以 an 9分由 f (x)ax2 x In x, a R，得1:f (x) 2ax 1-x2ax2 xx-,(x令 g(x)2ax2 x 1，因為 g(0)10,2a0,所以函數g (x)在(0,)上有且只有-個零點，設為x0 ,所以當1 a 0時，函數f (x)在(0,)上有零點,當f (x) >0,)，g(x) >0,0)x (0,X0)時，g(x) <0， f (x)<0，當時 x (X0,所以函數f (x)在(0,X0)上單調遞減，在(X0,)上單調遞增，要使得函數f(x)

13、在(0,)上有兩個零點，只需要函數f (x)的最小值f (x0) 0 ,即 ax。？ x ln x00，又因為2g(x°) 2ax0X010,消去a得：2 In x0X01 0,又因為h(x) 2lnxX1 在(0,)上單調遞增，且 h(1)0，所以X0>1,1則0 丄 1，因為2ax02X。10，所以2a(丄)21 ( 1(一1)2 1)-X。X0X0X024所以2a在(0,1)上單調遞增，所以0 a 1, 13分以下驗證當0 a 1時，函數f(x)有兩個零點。0 ,12a 11a1當0 a 1時，g(丄)孚丄1=0，所以1 xo丄,aaaaa因為f($號1 1 e 步0，且

14、f(xo) 0,e e ee1所以函數f (x)在(!,x0)上有一個零點，eQy| oQQQQ又因為f(_)p一in一(一1) 1 0 (因為 In x x 1)，且 f(x°)aaaaaa_所以函數f (x)在(X。，一)上有一個零點，a所以當0 a 1時，函數f(x)在(丄二)上有兩個零點。e a綜上，實數a的取值圍是(0,1)。 16分(注：In x x 1的證明過程，同學不妨自己證明書寫)20.解：(1)由已知可得：a1,a3,a8成等比數列，所以 2d)_ a1(a1 7d)，_a 4整理得：4d3a1d，因為d 0，所以;4分d 3_(2)設數列kn為等比數列，則k_1

15、水3，又因為ak1 ,ak_, ak3成等比數列，所以務(k1 1)da1 (k3 1)d務(k_ 1)d_,2整理，得a1(2k2k1k3)d(k1k3k2k1k32k2),因為 k2kR，所以 a,2k2k3) d(2k2k3),因為2k2 k1 k3，所以a1 = d，即色=1; 6分d當魚=1時，an aLd(n l)dnd，所以 aknknd又因為aknn 1a.kjdqn 1,所以 knkLqn 1 ,k所以mkn 1kiqn 1 kiqn 2q(n 2),數列kn為等比數列，綜上，當Ol =1時，數列 kn為等比數列； 8分d(3)因為數列kn為等比數列，由(2)知：ai=d , kn kiqn 1 (q 1),因為對于任意nN *，不等式anakn 2kn恒成立,所以不等式naiki ai1 q2k1qn1，所以a12k1qn 1. n 1 ，n kg1即0-a1n2k1qn 1k1qn12k1斗恒成立,q10分F面證明：對于任意的正實數(01)，總存在正整數 m，使得，即證In n1n1 ln qIn因為