1、在培訓中啟迪，在培訓中見識 對新教材的研究中所產生的3個困惑，在培訓中得到啟發：1 為什么要搞成模塊？搞模塊的考慮出自教育思想和教學理念的改革。時代性，不僅是指學習的內容應當是當今社會和科學技術發展最必須的數學知識，也是指課程的教育理念應當是當今最先進的、最適合學生發展的，能夠培養學生的創新意識和實踐能力的。（建設中國特色的社會主義強國，落后就要挨打，要有自己的獨立知識產權）基礎性包括兩個方面。第一，為學生適應現代生活和未來發展提供更高水平的數學基礎，第二，為學生進一步學習提供必要的數學基礎。這些基礎不僅是在知識技能方面，也包括過程方法和情感、態度、價值觀。（學生應當在學習中學會學習，發現、探

2、究、理解、掌握、運用、創造，養成喜歡數學、鉆研數學、自覺運用數學的習慣和意識）選擇性當然是指課程的設置，既要構建所有學生未來發展的共同平臺，也要適應不同學生的不同發展需要。特別是隨著我國教育事業的發展，高中逐漸普及，學生的發展更是千差萬別的，必須要有選擇性。過去能上高中的是少數學生，主要是繼續升學。今天要逐步普及高中階段教育，提高民族素質，建設人力資源強國。培養人才的渠道和方式應當是多種多樣的。標準中提出課程設計的基本理念的有十條。前三條講的就是時代性、基礎性和選擇性。提高思維能力不僅是邏輯思維，這次更強調感知、發現、歸納、類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思

3、構建等等各種思維的培養。發展應用意識更加突出，不僅是學過知識的應用，而且在學習過程中，在獲取知識時，就要了解知識發生發展的背景、來龍去脈，知道它們與實際的聯系和應用。由此，突出所學數學知識的本質，在此基礎上再進行適度的形式化，打好“雙基”。“雙基”是中國基礎教育的特色，給我們的中小學教學帶來了許多成果，有些對“雙基”不恰當的理解，會產生了很多負面影響。體現數學的文化價值，在高中課程中是第一次提到（安排了數學文化的要求，貫穿整個高中數學，提高學生對數學科學的認識，領會數學的價值，提高文化素養和創新意識）。2 各模塊的安排是否合理？ 必修與選修、選修系列的安排、學科邏輯順序下面來看標準中的課程安排

4、。必修課程與選修系列的安排，首先，高中數學課程標準把教學內容分成了必修和選修兩大部分。必修課程是每一個進入高中的學生必須要學習和掌握的。有5個模塊。學生在完成了這5個必修模塊的學習之后，再根究個人的興趣和志向決定繼續選修哪些內容。標準中提供了4個選修系列，供學生選擇。必修中的5個模塊所有學生都要學，選修1和選修2是文理分科必選。另外還要在選修3選修4里面任選一定數量的專題學習。具體怎么選，目前各地的要求也不一樣。3 分科好還是綜合好？ 不能違背了這次課程標準所提倡的教育思想和教學理念的改革。從歷史上來看，很長時間以來高中數學課程是分科安排的，以前的高中數學教材一共有四冊，代數兩冊，立體幾何一冊

5、、平面解析幾何一冊。因為以前教學大綱中就是這樣安排的，是依據數學的學科體系（分支）安排的。分科的安排有一定的好處，就是在教學中可以依照各個學科分支的發展順序教學，知識的前后銜接比較順利，但是也有一定的不足，就是照顧了學科的體系，使得學科之間的橫向聯系不夠。我們在解決現實的實際問題時，經常是需要綜合運用各種數學知識。這就需要我們對數學知識有一個整體的把握，應當融會貫通地理解所學的數學知識，并能夠綜合運用，形成了數學知識綜合安排的教學大綱。這次制訂的高中數學課程標準，從整體上來看是綜合安排的，不是分科安排的。這樣的安排是否得當，目前從實際情況來看，也是仁者見仁，智者見智。各家都有各家的高招。不過，

6、內容順序的調整是可以的，但是不能違背了這次課程標準所提倡的教育思想和教學理念的改革。建議：4應當體現數學的本質，抓數學發生發展的思想方法，抓知識的來龍去脈和相互聯系，抓學生的主動學習和理解，抓學生思維能力、實踐能力的提高。例如，函數的教學，一開始主要是讓學生認識和理解什么是函數，以幾種基本的初等函數為例，介紹函數的概念和性質，而不是直奔解答有關函數的一些具體的技巧問題（理解定義域的概念，而不是處理求定義域的種種技巧問題）。又如，在必修課程中有關統計的教學，主要是介紹統計的思想和基本方法，而不是把重點放在解答統計問題的一些計算上。新課程的實施給教師提出了更高的要求。要使學生理解數學的本質，教師就

7、得需要對數學的本質、來龍去脈更加熟悉，講課時也不能像以往那樣按照教科書照本宣科，而需要掌握較多的有關資料，更多地引導學生探索和思考。我們在教學中要注重數學本質。我們知道，形式化是數學抽象、概括、精練、嚴謹的突出表現。但是，我們在教學中不能從形式化到形式化，要注意通過數學產生和發展的背景，向學生展示數學的來龍去脈。要講推理，更要講道理。在學生對于數學的本質有了體會和理解的基礎上，適時地進行適度的形式化。對于有些數學內容，讓學生經過適度地自主探索，理解數學的概念、結論逐步形成的過程，將有助于學生真正地理解和運用所學的知識，將有助于培養學生的獨立思考、發明創造。新課程倡導學生積極主動、勇于探索的學習

8、方式。課程標準要求，學生的學習方式，不應僅僅限于接受、記憶、模仿和練習，還應提倡主動探索、動手實踐、合作交流。這些不同的多種學習方式，應當貫徹于各個數學內容的教學過程之中。另外，課程標準中還單獨對數學探究活動提出了具體要求。注重提高學生的數學思維能力。這是數學教育的基本目標之一。新的課程標準自始至終貫徹著對于學生思維能力的培養。思維能力不僅局限于邏輯推理能力，經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括的過程，進行符號表示、數據處理、運算求解、演繹證明、反思建構都是數學思維能力。注重聯系實際，發展學生的數學應用意識。高中數學課程應提供基本內容的背景，反映數學的應用價值，力求使學生體驗數

9、學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活和其他學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學的創新意識和實踐能力。為此課程標準中第一次對數學建模提出了具體要求。新課程還提出了學習數學文化的要求，有助于學生認識數學與人類社會發展之間的相互作用，體會數學的價值，開闊視野，激發原創的動力，受到優秀文化的熏陶，提高學習數學的興趣，培養正確的情感態度價值觀。新課程還提出，要注重信息技術與數學課程的整合。在適當的時機，針對適當的內容，信息技術與數學課程有機的整合，將有助于學生把更多的精力集中在了解數學的本質和數學的來龍去脈上，更加容易地處理計算復雜的問題。反思：5注意到教材與以前的大綱相比，教育思想和教學要求有變

10、化的內容（1）集合（必修1）在必修1里，一開始就教學集合的知識，主要是為后面學習數學時說話方便，表達準確、清晰、簡潔做準備。這里的要求是作為語言來學習和使用，不涉及更深的集合理論知識。在這段學習中，課程標準的要求是，使學生能夠針對不同的情況，選擇不同的語言（自然語言、圖形語言、集合語言），對所研究的對象進行描述、表達和交流。首先是了解集合的含義和表示（列舉法、描述法），知道集合與元素之間的關系（屬于），集合與集合之間的關系（包含、子集、全集、空集），理解集合的基本運算（并集、交集、補集），并且會用文氏圖表示。符號化是數學的顯著特點，在教學集合語言時，要讓學生學會運用符號表示的集合語言，并且能夠

11、正確、恰當地使用。這里主要是理解、會用即可，沒有必要講得太多，更多的練習和掌握主要還是在以后的學習中，要經常使用集合的語言。（2）函數（必修1）函數和方程是初等數學教學中的重頭戲，是中學數學的一條主線。從必修課程中進一步在初中學習的基礎上研究函數，到函數與方程的關系，到數列和不等式的學習，再到后面選修系列中的微積分初步知識（導數），都與函數有關。為什么要學習函數？一方面因為函數是刻畫現實世界運動變化的數學模型，是解決實際問題的有力工具，學習函數可以幫助學生認識數學的廣泛應用性，提高應用數學的意識，這對學生的今后發展無疑是有意義的。另一方面，通過函數的學習加深學生對于數學本質的認識，提高學生的理

12、性思維水平，這比利用函數解決某一具體問題更加重要。在必修1中，首先要講好函數的概念，使學生真正理解函數的本質。接著講基本初等函數，以對數函數和指數函數為例，介紹怎樣研究函數和函數的性質。這是最主要的內容。然后再介紹一些函數與方程的關系，以及函數的一些簡單的應用。“獲得必要的數學基礎知識和基本技能，理解基本的數學概念、數學結論的本質，了解概念、結論等產生的背景和應用，體會其中所蘊涵的數學思想和方法，以及它們在后續學習中的作用。”因此，按照新課標的要求，最好是讓學生通過豐富的實例，經歷抽象概括函數模型的過程，來體會函數是應變量隨著自變量的變化而變化的重要數學模型，要使學生體會到變化的過程和對應關系

13、。體會建立函數模型解決現實問題的思想和方法。怎樣加強學生對函數本質的理解呢？函數的本質是一種特殊的對應關系，是數集到數集上的映射。但是對于高中學生來說，從具體數量關系的對應講起，會比給出映射的概念，再用映射的概念去定義函數，要更加容易理解其本質。從以往的函數教學看，一個現實的困難是初中和高中的銜接。經驗表明，不少學生是在高一學習函數的過程中掉隊的。進入集合與函數，數學的難度似乎一下子增加了。抽象的數學概念，嚴謹的數學語言，深刻的數學思想，靈活的數學方法，使得一些學生感到不適應。符號的表達也是難點之一，從y=x到y=f(x),再到f(x)=x。于是高一第一學期，一些學生是在不知不覺、似懂非懂的狀

14、態下被動地走過來的。克服這些障礙，一直以來是高中數學教學面臨的課題。因此，這次編寫的人教版教材，教學函數是先結合實例，介紹函數的概念，等學生對函數的意義比較了解以后，再推廣到一般的映射概念。這樣的安排，既可以減緩學生接受的難度，又有助于學生通過較多的實例，了解函數產生的背景，體會函數所蘊涵的思想，理解函數的本質。在引導學生體會函數是描述現實世界事物變化規律的數學模型時，要通過較多的不同實例，讓學生歸納、分析和體會，區別什么樣的對應關系是函數，什么樣的不是。這是函數教學中比較大的變化。在學習了函數的基本概念和基本性質之后，再介紹幾種常見的初等函數，指數函數、對數函數和冪函數。大家可能已經注意到了

15、，課程標準中把它們叫做“基本初等函數”，后面還有“基本初等函數”。之所以這樣稱呼，是為了使我們在教學中更加關注函數本質的教學，是通過幾種具體的函數模型，繼續研究函數的對應關系，以及不同的函數具有不同的性質。由此一步一步地螺旋上升，加深對函數本質的理解。另外，有關函數內容教學比較大的另一個變化，是加強了與其他知識之間的聯系。這些聯系包括與方程、不等式和算法的聯系。比如，課程標準要求結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程的根的存在性，從而了解函數的零點與方程的根的關系。又如，讓學生根據具體的函數圖象，借助計算器或計算機用二分法求相應方程的近似解，與算法的學習相呼應（或為算法教學做準備、或在講完算法之

16、后試著編程來解答）。課程標準在函數的模型及其應用方面，也比以往有較大的加強。除了與數學的其他內容相聯系，用來解決有關的數學問題之外，函數還是數學建摸的重要載體。課程標準中要求學生收集生活中普遍使用的函數模型實例，了解函數模型的廣泛應用，有條件的話還可以做一些應用函數進行數學建摸的活動。與以往的大綱相比，在函數教學中還在以下幾個方面的要求有所減弱。一個是減少了對定義域和值域的繁難計算（以往為應付高考這里增加了很多人為繁難技巧的計算，沖淡了對函數本質理解的教學），一個是減弱了反函數的教學，只要求知道指數函數和對數函數互為反函數，不要求形式化地討論一般的反函數定義，也不要求求已知函數的反函數。還有一

17、個是將復合函數的內容放到選修系列的“導數及其應用”中再教學。立體幾何（必修2、選修2-1）在高中新課程中，立體幾何內容分成兩個層次教學。第一個層次在必修2中，叫做“立體幾何初步”，主要是使學生通過直觀感知、操作確認，獲得對立體幾何圖形的認識，并通過簡單的推理、論證，認識基本的空間圖形之間的相互位置關系和有關性質。更深一些層次的論證和度量，則放在選修2-1中用空間向量的知識來處理。（1）立體幾何初步（必修2）必修2中的立體幾何初步又分成了兩個部分。第一部分是空間幾何體，第二部分是空間中點、線、面的位置關系。內容的安排遵循了從整體到局部、從具體到抽象的原則。在第一部分，空間幾何體的展開，是先讓學生

18、觀察現實生活中的一些簡單物體的形狀，在觀察中發現并且認識它們形狀的結構特征，抽象出各種空間幾何體（柱、錐、臺、球），并認識每一種幾何體中各部分的特征和相互關系（平面、曲面、頂點、棱、三角形、多邊形、平行、垂直等等）。這里的認識還只是處于直觀感知，描述的語言也是義務教育階段學習的知識和生活中的自然語言。因為這時還沒有給出空間中線、面的定義和相互關系確切的表述。這樣做的目的是使學生從身邊熟悉的物體開始，認識空間圖形，把抽象的數學內容和具體的實物聯系起來，有助于后面抽象地研究和討論數學中形式化了的空間幾何知識。接著介紹平行投影和中心投影，使學生了解空間圖形在平面上的畫法，學會畫出簡單的立體圖形。這里

19、還要求學生能夠認識簡單的空間幾何體的三視圖，能與相應的實際物體或直觀圖相互轉換辨認。上面所說的通過觀察實物直觀感知，以及畫出與識別立體圖形，這兩項教學非常重要。它們是后面研究抽象的立體幾何知識的基礎。這次課程標準的要求，把這兩項放在立體幾何學習的最前面，反映了一種改革的理念。數學學習應當盡可能地從數學發生發展的實際背景出發，使學生的認識建立在豐富的具體形象的實例基礎上，而不是建立在一個個抽象定義的基礎上。幾何學的學習當然就更應該如此。為什么說畫圖也很重要？它的作用不在于畫圖本身，不是要求學習制圖，不是說要畫的如何漂亮，而是通過畫圖和識別，為后面學習時的看懂圖形、進行分析討論和證明打下良好的基礎

20、。（很多學生立體幾何不好就是因為看不懂圖）空間幾何體這一部分還有一個內容，學習柱、錐、臺、球的體積和表面積的計算公式和簡單應用。這大概就是為了在認識了空間幾何體之后，聯系實際，進行一些簡單應用，體驗學習立體幾何的價值的一部分吧。在以上基礎上，學習立體幾何初步的第二部分，空間點、線、面的位置關系。關于空間點、線、面的位置關系，課程標準提出的要求有三條。第一條，“借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面位置關系的基礎上，抽象出空間點、線、面位置關系的定義，并了解如下可以作為推理依據的公理和定理。”一共有四條公理和一個定理（見課標P20）第二條，“以上述定義、公理、定理為出發點，通過直觀感知、

21、操作確認、思辯論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質和判定。”四個判定定理（見課標P20-21）“通過直觀感知、操作確認，歸納以下性質定理，并加以證明。”四個性質定理（見課標P21）第三條，“能運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。”這里內容比以往大綱里要求的內容少了很多，要求的層次很明確（公理是感知和了解，性質定理要求邏輯論證，判定定理只要求直觀感知、操作確認、思辯論證，嚴格的證明放在選修2-1用向量處理）。這些后面介紹教材時還要詳細講，不多說了。需要特別指出的是，立體幾何的教學重點是幫助學生逐步形成空間想象能力，要達到這個目的，就必須讓學生參與這些知識的發生、發展和應用的

22、全過程。以往的教學注重形式化較多，現在的理念就是要接頭續尾，注重過程。因此，新的課程標準強調在學習立體幾何的定義、公理和定理時，一定要借助實物或者模型，比如一個長方體的框架，來幫助學生理解所學的內容。要真正地理解，防止空對空地講解和背誦這些結論。要使學生在學過這些內容之后，能夠聯系實際，對照圖形進行說理，能夠準確地運用數學語言表述幾何對象的位置關系，并能夠對一些簡單的空間圖形問題進行推理論證。（把合情推理和演繹推理結合起來）在必修2里有關立體幾何的證明都是基本的和簡單的，重點是讓學生理解和掌握幾種簡單空間幾何體的特征，以及空間中直線和平面一些基本的位置關系，對證明的要求不高，內容也少了很多（比

23、如沒有三垂線定理）。 （2）空間向量與立體幾何（選修2-1）選修2-1里空間向量與立體幾何這部分內容，主要是以講空間向量為主，然后應用空間向量證明一些立體幾何問題。向量的教育價值前面已經講過，空間向量的重要性也是如此。鑒于用綜合法證明立體幾何中的問題歷來是個難點，這里用空間向量證明是新的嘗試（在2002年大綱里就曾經嘗試過，現在作為選修中的正式要求）。在已經學習過的平面向量的基礎上，教學空間向量并沒有什么困難。其內容包括：空間向量的基本概念、空間向量的加減和數乘運算、空間向量的相等與向量共線、空間向量基本定理和坐標表示、空間向量的數量積。只不過是從二維的向量變成了三維的向量，只要在平面向量的基

24、礎上推廣即可。最后，應用向量方法證明或計算立體幾何的一些問題，算是向量的實際應用。當然，用向量證明立體幾何問題的深度，也不應當是無底洞。因為用向量方法證明或計算幾何問題時，還有一道難關，就是要適當地建立坐標系，并且把具體的線段（量）轉化為向量。所以，涉及的問題不能過于繁難，練習的數量也不要太多。還是以讓學生體會向量的作用，了解運用向量解決問題的思想，以及向量與其他數學知識的聯系為主。具體的要求在教材介紹中還會詳細講到。平面解析幾何（必修2、選修1-1、選修2-1） （1）平面解析幾何初步平面解析幾何在新的課程里也是分成兩個層次教學。第一個層次在必修2中，課程標準里叫做“平面解析幾何初步”。第二

25、個層次在選修1-1和選修2-1里面分別處理。在必修2中，又分成兩大塊，直線與方程，圓與方程。按照課程標準的要求，“在平面解析幾何初步的學習過程中，體會用代數方法處理幾何問題的思想。”（見標準P22）解析幾何的本質是用代數方法研究圖形的幾何性質，它溝通了代數與幾何的聯系，體現了數形結合的重要數學思想。按照課標的要求，這段學習應當讓學生經歷將幾何問題代數化、處理代數問題、分析代數結果的幾何意義、解決幾何問題等幾個過程。無論是討論直線與方程，還是討論圓與方程，都要抓住幾何圖形代數化以后的幾何要素（用代數語言描述的幾何要素）。在直線與方程里，需要抓住的幾何要素就是直線的傾斜角，翻譯成代數語言就是直線的

26、斜率。借助直觀的幾何圖形（讓學生觀察圖形，直角坐標系中的直線），我們知道兩點確定一條直線，也就確定了它的傾斜角。根據這兩點的坐標，可以求出這條直線的斜率。抓住了直線的斜率，就可以通過斜率描述一條直線的傾斜度（傾斜角），討論兩條直線的平行、相交和垂直等位置關系。有了直線的斜率（在幾何中就是直線的傾斜角，或是說直線的方向），再加上一個條件（直線上的一個點，或是知道兩個點），就可以確定這條直線。教學直線的點斜式、斜截式、兩點式時，應當結合坐標系上的圖形，使學生理解用代數方法描述幾何問題時的轉換過程。這就體現了課標所要求的理念，“體會用代數方法處理幾何問題的思想”。從直線的點斜式、斜截式、兩點式方程，到直線的一般式方程，實際上就是代數中的等式變形，經過變形整理得出，直線方程實際就是一個二元一次方程Ax+By+C=0。如果對方程Ax+By+C=0再做一些探究，何時它表示與X軸平行（重合），與Y軸平行（重合），就可以使學生反復地理解和體會幾何圖形與代數方程之間的關系。這就叫做加強數學思想方法的教學。不要離開圖形僅限于講解代數式子和方程的推導，或大量地去做由已知條件求方程的練習。關注過程的重點應當放在圖形和方程的關系上。在直線與方程的最后，有“用解方程組的