1、數值分析實驗報告 姓名 忘川 學號 1205025106 系另I 數學系 班級 12級 主講教師 指導教師 實驗日期 2022/6/25 專業 信息與計算科學專業 課程名稱 數值分析 同組實驗者 無 一、實驗名稱： 實驗八、解線性方程組的根本迭代法實驗 二、實驗目的： 1 .深入理解Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法； 2 .通過對Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法的程序設計,提升程序設計的水平； 3 .應用編寫的程序解決具體問題,掌握三種根本迭代法的使用,通過結果的分析了解每一種迭代法的特點. 二、實驗內容及要求： 1 .根據Mat

2、lab語百特點,描述Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法. 2 .編寫Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法的M文件. .、-2020. 3 .給定AR為五對角矩陣 11 3 2 4 1c11 3 224 11cli3 4 224 1111 3 4224 111 一一3一 422 11& 3 42 1選取不同的初始向量x及右端面項向量b,給定迭代誤差要求,分別用編寫的Jacobi迭代法和 Gauss-Seidel迭代法程序求解,觀察得到的序列是否收斂？假設收斂,通過迭代次數分析計算結果并得出你的結論. 2用編寫的SOR迭代法程序,對于1所選

3、取的初始向量x及右端面項向量b進行求解,松馳系數 3 取132的/、同值,在xkXk1105時停止迭代,通過迭代次數分析計算結果并得出你的結論. 四、實驗步驟或記錄 一、算法描述 1/22 由 ,00a12Ka1,n1a1n 用a12L即a a2100K&,n1a2n a21a22La2na22 AMMO0MM MMMMO an1,1an1,2L00an1,n an1an2Lann垢 an1an2Lan,n100 0 a11 a210 a O 斗1,1an1,2L0 ann an1an2Lan,n10 0312Ka,n1Wn 0Ka2,n1a2n UOMM,那么有：ADLU 0an1,n 0

4、那么有： 第Jacobi迭代法 Axb (DLU)xbDx(LU)xbxD(LU)xDb ADLU 令JD(LU)那么稱J為雅克比迭代矩陣fDb 由此可得雅克比迭代的迭代格式如下: x(0),初始向量 (k1).(k) xJxf,k0,1,2,L 第二步 Gauss-Seidel迭代法 2/22Axb ADLU (DLU)xb(DL)xUxb x(DL)Ux(DL)b 令G(DL)U,那么稱G為Gauss-Seidel迭代矩陣f(DL)b 由此可得Gauss-Seidel迭代的迭代格式如下： x(0),初始向量 x(k1)Gx(k)f,k0,1,2,L 第三步 SOR迭代法 w0 111 AD

5、LU(DwL(1w)DwU)(DwL)-(1w)DwU) www 11 (DwL),N-(1w)DwU)那么有：AMNww (MN)xbMxNxbxMNxMb 人LWMN皿 令帶入M,N的值可有 fMb .(1w)DwU)1, LW(DwL)(1w)DwU) (DwL) fbw1(DwL)1b 1(DwL)w 稱LW為SOR迭代矩陣,由此可得SOR迭代的迭代格式如下: x(0),初始向量 x(k1)Lwx(k)f,k0,1,2,L 二、算法程序 Jacobi迭代法的M文件： functiony,n=Jacobi(A,b,x0,eps) %* 3/22Axb AMN %參數解釋 A 系數矩陣 %

6、 b 常數項 % x0 仙U解向重 % eps 誤差范圍 %返回值 % y 解向量 % n 迭代次數 %函數功能 實現線性方程組的Jacobi迭代求解 %* n=length(A); ifnargin=1 disp(譜半徑大于等于1,迭代不收斂,無法進行 return; end n=1; fori=1:1:n ifsum(A(i,i)=n)=n error(輸入的A矩陣的對角線元素不能為0); return; end end y=B*x0+f; whilenorm(y-x0)=eps&n100 x0=y; y=B*x0+f; n=n+1; end Gauss-Seidel迭代法的M文件和 fu

7、nctiony,n=GaussSeidel(A,b,x0,eps) %* %函數名稱GaussSeidel高斯賽德爾迭代函數 %參數解釋A系數矩陣 %b常數項 %x0估計解向量 ); % eps 誤差范圍 %返回值 % y 解向量 % n 迭代次數 %函數功能 實現線性方程組的Jacobi迭代求解 %* n=length(A); ifnargin=1 disp(譜半徑大于等于1,迭代不收斂,無法進行,); return; end 6/22 n=1; 5/22 fori=1:1:n ifsum(A(i,i)=n)=n error(輸入的A矩陣的對角線元素不能為0); return; end en

8、d y=B*x0+f; whilenorm(y-x0)=eps&n100 x0=y; y=B*x0+f; n=n+1; end SOR迭代法的M文件 functiony,n=SOR(A,b,x0,w,eps) 0Hm* %函數名稱 SOR 松弛迭代函數 %參數解釋 A 系數矩陣 % w 松弛因子 % b 常數項 % x0 仙 U 解向重 % eps 誤差范圍 %返回值 % y 解向量 7/22 迭代次數 %函數功能實現線性方程組的Jacobi迭代求解 %* n=length(A); ifnargin=eps&nb=ones(20,1); x0=zeros(20,1); eps=0.005; 1

9、0/22 y,n=Jacobi(A,b,x0,eps) y= 0.4813 0.5729 0.6321 0.6513 0.6600 0.6632 0.6646 0.6651 0.6653 0.6653 0.6653 0.6653 0.6651 0.6646 0.6632 0.6600 0.6513 0.6321 0.5729 0.4813 11/22 n= 9 在CommandWindow中輸入: Gauss-Seidel迭代法求解： 在CommandWindow中輸入: A=zeros(20,20); fori=1:1:20 A(i,i)=3; end fori=1:1:20 forj=1:

10、1:20 ifabs(i-j)=1 A(i,j)=-1/2; end end end fori=1:1:20 forj=1:1:20 ifabs(i-j)=2 A(i,j)=-1/4; end end end 12/22 b=ones(20,1); x0=zeros(20,1); eps=0.005; y,n=GaussSeidel(A,b,x0,eps) y= 0.4814 0.5732 0.6325 0.6518 0.6606 0.6640 0.6654 0.6660 0.6662 0.6663 0.6663 0.6663 0.6661 0.6656 0.6642 0.6609 0.652

11、1 0.6328 0.5734 13/22 0.4816 n= 7 第二次給定初始向量為20行一列的0 右端面項向量b=20行一列的1.001 迭代誤差要求0.005 Jacobi迭代法求解： 在CommandWindow中輸入 A=zeros(20,20); fori=1:1:20 A(i,i)=3; end fori=1:1:20 forj=1:1:20 ifabs(i-j)=1 A(i,j)=-1/2; end end end b=1.001*ones(20,1); 14/22 x0=zeros(20,1); eps=0.005; y,n=Jacobi(A,b,x0,eps) y= 0.

12、4146 0.4856 0.4978 0.4999 0.5002 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5002 0.4999 0.4978 0.4856 0.4146 15/22n= 7 Gauss-Seidel迭代法求解： 在CommandWindow中輸入 A=zeros(20,20); fori=1:1:20 A(i,i)=3; end fori=1:1:20 forj=1:1:20 ifabs(i-j)=1 A(i,j)=-1/2; end end end b=1.001*one

13、s(20,1); x0=zeros(20,1); eps=0.005; y,n=GaussSeidel(A,b,x0,eps) y= 16/22 0.4145 0.4856 0.4978 0.4999 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5003 0.5000 0.4980 0.4858 0.4146 n=5 觀察計算結果得到的序列可以看出其是收斂,在較少的迭代次數下即可的到滿足誤差要求的解. 17/22 (2)第一次給定初始向量為20行一列的0, 右端面項向量b=20行一

14、列的1 迭代誤差要求0.00005 松弛因子為1.5 在CommandWindow中輸入 A=zeros(20,20); fori=1:1:20 A(i,i)=3; end fori=1:1:20 forj=1:1:20 ifabs(i-j)=1 A(i,j)=-1/2; end end end fori=1:1:20 forj=1:1:20 ifabs(i-j)=2 A(i,j)=-1/4; end end end b=ones(20,1); 18/22 x0=zeros(20,1); w=1.5; eps=1e-5; y,n=SOR(A,b,x0,w,eps) y= 1.0e+012* -

15、0.5082 -0.9690 -1.5400 -2.1738 -2.8767 -3.6356 -4.4375 -5.2635 -6.0901 -6.8885 -7.6243 -8.2578 -8.7437 -9.0319 -9.0675 -8.7940 -8.1452 19/22 -7.0831 -5.4598 -3.5651 n= 100 第二次給定初始向量為20行一列的0, 右端面項向量b=20行一列的1 迭代誤差要求0.00005 松弛因子為1.2 在CommandWindow中輸入 A=zeros(20,20); fori=1:1:20 A(i,i)=3; end fori=1:1:20 forj=1:1:20 ifabs(i-j)=1 A(i,j)=-1/2; end end end b=ones(20,1); 20/22x0=zeros(20,1); w=1.2; eps=1e-5; y,n=SOR(A,b,x0,w,eps) y= 0.2792 0.3246 0.3319 0.3331 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0