1、 第一講 物體的平衡問題湖南郴州市湘南中學 陳禮生一、知識點擊 物體相對于地面處于靜止、勻速直線運動或勻速轉動的狀態，稱為物體的平衡狀態，簡稱物體的平衡物體的平衡包括共點力作用下物體的平衡、具有固定轉動軸的物體的平衡和一般物體的平衡 當物體受到的力或力的作用線交于同一點時，稱這幾個力為共點力物體在共點力作用下，相對于地面處于靜止或做勻速直線運動時，稱為共點力作用下物體的平衡當物體在外力的作用下相對于地面處于靜止或可繞某一固定轉動軸勻速轉動時，稱具有固定轉動軸物體的平衡當物體在非共點力的作用下處于平衡狀態時，稱一般物體的平衡 解決共點力作用下物體的平衡問題，或具有固定轉動軸物體的平衡問題，或一般

2、物體的平衡問題，首先把平衡物體隔離出來，進行受力分析，然后根據共點力作用下物體的平衡條件：物體所受的合外力為零，即F0（如果將力正交分解，平衡的條件為：Fx =0、Fy=0）；或具有固定轉動軸的物體的平衡條件：物體所受的合力矩為零，即M0；或一般物體的平衡條件：F0；M0列方程，再結合具體問題，利用數學工具和處理有關問題的方法進行求解物體的平衡又分為隨遇平衡、穩定平衡和不穩定平衡三種一、穩定平衡：如果在物體離開平衡位置時發生的合力或合力矩使物體返回平衡位置，這樣的平衡叫做穩定平衡如圖11（a）中位于光滑碗底的小球的平衡狀態就是穩定的 二、不穩定平衡：如果在物體離開平衡位置時發生的合力或合力矩能

3、使這種偏離繼續增大，這樣的平衡叫做不穩定平衡，如圖11(b)中位于光滑的球形頂端的小球，其平衡狀態就是不穩定平衡 三、隨遇平衡：如果在物體離開平衡位置時，它所受的力或力矩不發生變化，它在新的位置上仍處于平衡，這樣的平衡叫做隨遇平衡，如圖11（c）中位于光滑水平板上的小球的平衡狀態就是隨遇的 從能量方面來分析，物體系統偏離平衡位置，勢能增加者，為穩定平衡；減少者為不穩定平衡；不變者，為隨遇平衡 如果物體所受的力是重力，則穩定平衡狀態對應重力勢能的極小值，亦即物體的重心有最低的位置不穩定平衡狀態對應重力勢能的極大值，亦即物體的重心有最高的位置隨遇平衡狀態對應于重力勢能為常值，亦即物體的重心高度不變

4、二、方法演練類型一、物體平衡種類的問題一般有兩種方法解題，一是根據平衡的條件從物體受力或力矩的特征來解題，二是根據物體發生偏離平衡位置后的能量變化來解題。例1有一玩具蹺板，如圖12所示，試討論它的穩定性（不考慮桿的質量） 分析和解：假定物體偏離平衡位置少許，看其勢能變化是處理此類問題的主要手段之一，本題要討論其穩定性，可假設系統發生偏離平衡位置一個角，則：在平衡位置，系統的重力勢能為 當系統偏離平衡位置角時，如圖1一3所示，此時系統的重力勢能為 故只有當時，才是穩定平衡例2如圖14所示，均勻桿長為a，一端靠在光滑豎直墻上，另一端靠在光滑的固定曲面上，且均處于Oxy平面內如果要使桿子在該平面內為

5、隨遇平衡，試求該曲面在Oxy平面內的曲線方程分析和解：本題也是一道物體平衡種類的問題，解此題顯然也是要從能量的角度來考慮問題，即要使桿子在該平面內為隨遇平衡，須桿子發生偏離時起重力勢能不變，即桿子的質心不變，yC為常量。 又由于AB桿豎直時，那么B點的坐標為消去參數得 類型二、物體系的平衡問題的最基本特征就是物體間受力情況、平衡條件互相制約，情況復雜解題時一定要正確使用好整體法和隔離法，才能比較容易地處理好這類問題。例3三個完全相同的圓柱體，如圖1一6疊放在水平桌面上，將C柱放上去之前，A、B兩柱體之間接觸而無任何擠壓，假設桌面和柱體之間的摩擦因數為0，柱體與柱體之間的摩擦因數為，若系統處于平

6、衡，0與必須滿足什么條件？分析和解：這是一個物體系的平衡問題，因為A、B、C之間相互制約著而有單個物體在力系作用下處于平衡，所以用隔離法可以比較容易地處理此類問題。設每個圓柱的重力均為G，首先隔離C球，受力分析如圖1一7所示，由Fcy0可得 再隔留A球，受力分析如圖1一8所示，由FAy=0得 由FAx=0得 由EA0得 由以上四式可得，而， 類型三、物體在力系作用下的平衡問題中常常有摩擦力，而摩擦力Ff與彈力FN的合力凡與接觸面法線方向的夾角不能大于摩擦角，這是判斷物體不發生滑動的條件在解題中經常用到摩擦角的概念例4如圖1一8所示，有兩根不可伸長的柔軟的輕繩，長度分別為 和，它們的下端在C點相

7、連接并懸掛一質量為m的重物，上端分別與質量可忽略的小圓環A、B相連，圓環套在圓形水平橫桿上A、B可在橫桿上滑動，它們與橫桿間的動摩擦因數分別為1和2，且。試求1和2在各種取值情況下，此系統處于靜態平衡時兩環之間的距離AB。分析和解：本題解題的關鍵是首先根據物體的平衡條件，分析小環的受力情況得出小環的平衡條件，由圖19可知 定義，為摩擦角，在得出摩擦角的概念以后，再由平衡條件成為展開討論則解此題就方便多了。即由情況1：BC繩松弛的情況1=00，不論1、2為何值，一定平衡。情況2：二繩均張緊的情況（圖110） A環不滑動的條件為：，即于是有又由圖111知所以，若要A端不滑動，AB必須滿足 根據對稱

8、性，只要將上式中的下角標1、2對調，即可得出B端不滑動時，AB必須滿足的條件為： 如果系統平衡，兩式必須同時滿足。從式可以看出，1可能取任意正值和零，當1=0時，AB只能取最小值，此時1=0，拉直但無張力。從式可以看出2的取值滿足否則AB無解，時，AB取最小值。綜上所述，AB的取值范圍為：情況1：松弛，1、2為任意非負數。情況2：張緊兩式右邊較小的，1為任意非負數，。類型四、一般物體平衡條件的問題主要又分為剛體定軸轉動平衡問題和沒有固定轉動軸的剛體轉動平衡問題，這類問題要按一般物體平衡條件來處理，即要么既要考慮力的平衡，又要考慮力矩平衡來求解；要么就要考慮以哪點為轉動軸或哪點先動的問題。例5質

9、量分別為m和M的兩個小球用長度為的輕質硬桿連接，并按圖1一11所示位置那樣處于平衡狀態桿與棱邊之間的摩擦因數為，小球m與豎直墻壁之間的摩擦力可以不計為使圖示的平衡狀態不被破壞，參數m、M、a和應滿足什么條件？ 分析和解：本題是一道典型的剛體定軸轉動平衡問題，解題時對整體進行受力分析，但物體的平衡不是共點力的平衡，處理時必須用正交分解法，同時還要考慮力矩的平衡，受力分析如圖，根據力的平衡條件可列出： 根據力矩平衡條件可寫出： 桿不滑動的條件為Fm < n。由得 ，即用除得 桿不向右翻倒的條件為N10。由和可得出 由此可得 將中的N代人得 由于，再考慮不等式，可得 為了在不等式中能同時滿足最

10、后兩個不等號，就必須滿足條件： 由此可得平衡條件為：，如果 ，就不可能出現平衡例6如圖1一12，勻質桿長，擱在半徑為R的圓柱上，各接觸面之間的摩擦因數均為，求平衡時桿與地面的夾角應滿足的關系分析和解：本題也是一個一般物體的平衡問題與上題的區別在 于沒有固定轉動軸，所以這個問題的難點在于系統內有三個接觸點，三個點上的力都是靜摩擦力，不知道哪個點最先發生移動我們先列出各物體的平衡方程：設桿和圓柱的重力分別為G1和G2。 對桿 Fx=0 Ff3Ff2cos=FN2sin Fy=0 FN3FN2cos+Ff2sin=G1 MO´=0 對柱Fx=0 Ff1Ff2cos=FN2sin Fy=0

11、Ff2sin+G2FN2cos=FN1 MO=0 Ff1 =Ff2 MO´=0 FN2+G2=FN1 以上七個方程中只有六個有效，由式可知，FN1>FN2,又因為 Ff1 =Ff2 ,所以一定是2 z處比1處容易移動,再來比較2處和O´處.(1)如果是2處先移動,必有 Ff2=FN2, 代入式,可得,將此結果代入式,即有 在這種情況下,如要Ff3FN3,必須有桿要能擱在柱上，當然要因此在時,=2arctan。（2）如果是0'處先移動，必有Ff3=FN3，代入式，可有 滿足式的即為平衡時的，這時要求Ff2FN2·，須有綜上所述當時，=2arctan。當

12、時，應滿足。三、小試身手1 如圖113所示，長為L的均勻木桿AB,重量為G，系在兩根長均為L的細繩的兩端，并懸掛于O點，在A、B兩端各掛一重量分別為G1、G2的兩物，求桿AB處于平衡時，繩OA與豎直方向的夾角 2 一長為L的均勻薄板與一圓筒按圖114所示放置，平衡時，板與地面成角，圓筒與薄板相接觸于板的中心板與圓筒的重量相同均為G若板和圓筒與墻壁之間無摩擦，求地面對板下端施加的支持力和靜摩擦力3 如圖115，兩把相同的均勻梯子AC和BC，由C端的鉸鏈 連起來，組成人字形梯子，下端A和B相距6m，C端離水平地面4m，總重200 N，一人重600 N，由B端上爬，若梯子與地面的靜摩擦因數0.6，則

13、人爬到何處梯子就要滑動？4 如圖116所示，一均勻梯子，一端放在水平地面上，另一端靠在豎直墻上，梯子與地面和墻間的靜摩擦因數分別為1和2，求梯子平衡時與地面所能成的最小夾角5 如圖117所示，一個半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其A端固定在球面的頂點,B端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長度的質量為。試求鐵鏈A端受的拉力FT。6 有一半徑為R的圓柱體A靜止在水平地面上，并與豎直墻面相接觸現有另一質量與A相同，半徑為r的較細圓柱體B，用手扶著圓柱體A，將B放在A的上面，并使之與墻面相接觸，如圖1一18所示，然后放手已知圓柱體A與地面的動摩擦因數為0.20，兩圓柱體之間

14、的動摩擦 因數為0.30.若放手后，兩圓柱體能保持圖示的平衡，問圓柱體B與墻面間的動摩擦因數和圓柱體B的半徑r的值各應滿足什么條件？7 如圖119所示，有六個完全相同的長條薄片AiBi(i=1,2,. 6)依次架在水平碗口上，一端擱在碗口、另一端架在另一薄片的正中位置（不計薄片的質量）將質量為m的質點置于A1A6的中點處，試求A1B1薄片對A6B6的壓力8 如圖120所示質量為m的小球A用細繩拴在天花板上，懸點為O，小球靠在光滑的大球上，處于靜止狀態，已知大球的球心O'在懸點的正下方，其中繩長為，大球的半徑為R，懸點到大球最高點的距離為h，求繩對小球的拉力和小球對大球的壓力9 現有一個

15、彈簧測力計（可隨便找地方懸掛），一把勻質的長為l的有刻度、零點位于端點的直尺，一個木塊及質量不計的細線。試用這些器材設計一實驗（要求畫出示意圖），通過一次測量（彈測力計只準讀一次數），求出木塊的質量和尺的質量。（已知重力加速度為g）參考解答1 解：以OAB整體為研究對象，并以O為轉動軸，其受力情況如圖所示，設OA與豎直線夾角為，OC與豎直線夾角為，因為OAB為等邊三角形，C為AB邊的中點，所以，即，以O為轉動軸，則由剛體的平衡條件可知，即展開后整理得：所以，AB處于平衡時，繩OA與豎直方向的夾角為2解：如圖所示，圓筒所受三個力沿水平和豎直方向平衡的分量式為，板所受五個力沿水平和豎直方向平衡的分

16、量式為板所受各力對圓筒和板的交點為轉動軸的力矩平衡方程為根據牛頓第三定律，有聯立以上各式，可解得地面對板的支持力和靜摩擦力分別為FN3=2G，3解：進行受力分析，如圖所示，把人和梯子看成一個整體，整個系統處于平衡狀態： AB=6m，CD=4m，AC=BC=5m 設人到鉸鏈C的距離為 滿足， 所以 整理后：，所以人在爬到梯子中點處時梯子就要滑動4解：受力分析如圖所示，同樣處于平衡狀態，解題過程與上題類 似，故解題過程略則梯子平衡時與地面所能成的最小夾角為5 解：以鐵鏈為研究對象，由于整條鐵鏈的長度不能忽略不計，所以整條鐵鏈不能看成質點，要分析鐵鏈的受力情況，須考慮將鐵鏈分割，使每一小段鐵鏈可以看

17、成質點，分析每一小段鐵鏈的受力，根據物體的平衡條件得出整條鐵鏈的受力情況在鐵鏈上任取長為L的一小段（微元）為研究對象，其受力分析如圖所示由于該微元處于靜止狀態，所以受力平衡，在切線方向上應滿足： 由于每一段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大，所以整個鐵鏈對A端的拉力是各段上的和，即觀察的意義，由于很小，所以，表示L在豎直方向上的投影R，所以所以。6圓柱體A、B的受力情況如圖所示圓柱體A傾向于向左移動，對墻面沒有壓力，平衡是靠各接觸點的摩擦力維持的現設系統處于平衡狀態，列出兩圓柱體所受力和力矩的平衡方程 圓柱體A： 圓柱體B： 由于，由得 又因，聯立，可得 首先討論圓柱體B與墻面的接觸點，

18、接觸點不發生滑動的條件為：由式可得，所以再討論圓柱體A與地面的接觸點的情形，圓柱體A在地面上不發生滑動的條件是：由圖可知： 由三式以及可以求得：即只有當時，圓柱體A在地面上才能不滑動最后討論兩圓柱的接觸點，接觸點不發生滑動的條件為：由兩式以及可解得顯然，在平衡時，r的上限為R，故可得到r應滿足的條件為：所以，圓柱體B與墻面接觸點不發生滑動的條件為21，圓柱體A與地面接觸點不發生滑動的條件為1，兩圓柱體接觸不發生滑動的條件為3，圓柱體B的半徑r的值各應滿足的條件為Rr0.29R7 解：本題中六個物體，其中通過分析可知A1 B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5的受力情況完全相同，因此將A1 B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5作為一類，對其中一個進行受力分析、找出規律，求出通式即可以第個薄片AB為研究對象，受力情況如圖1所示，第個