1、隨機過程綜合練習題第一章L Xb X2, Xn是獨立同分布的隨機變量，Xi的特征函數為g(t),則Xl X2Xn的特征函數是2. E E (XY)3. X的特征函數為g(t), Y aX b,則丫的特征函數為4. 條件期望E(X Y)是的函數，(是。r不是)隨機變量。5. Xt, X2,人是獨立同分布的隨機變量，的特征函數為g，(t),則Xl X2X n的特征函數是6. n維正態分布中各分量的相互獨立性和不相關性第二章7寬平穩過程是指協方差函數只與有關。&在獨立重復試驗中，若每次試驗時事件A發生的概率為p(0 P 1),以X(n)記進行到n次試驗為止A發生的次數， 則X( n),n 0,1,2

2、,是過程。9正交增量過程滿足的條件是10正交增量過程的協方差函數Cx(s, t)第三章11 . (X(t), t 0)為具有參數0的齊次泊松過程，其均值函數為方差函數為12 .設到達某路口的綠、黑、灰色的汽車的到達率分別為3且均為泊松過程，它們相互獨立，若把這些汽車合并成單個輸出過程(假定無長度、無延時)，相鄰綠色汽車之間 的不同到達時間間隔的概率密度是，汽車之間的不同到達時刻間隔的概率密度是13. X(t), t 0為具有參數0的齊次泊松過程,0,1,P X(t s) X(s) n14 .設X（t）, t 0）是具有參數 0的泊松過程，泊松過程第 n次到達時間十的數學期望15 .在保險的索賠

3、模型中，設索賠要求以平均2次/月的速率的泊松過程到達保險公司.若每次賠付金額是均值為10000元的正態分布，求一年中保險公司的平均賠付金16 .到達某汽車總站的客車數是一泊松過程，每輛客車內乘客數是一隨機變量.設各客車內乘客數獨立同分布，且各輛車乘客數與車輛數N（t）相互獨立，則在0, t內到達汽車總站的乘客總數是（復合or非齊次）泊松過程.17 .設顧客以每分鐘2人的速率到達，顧客流為泊松流，求在 2min內到達的顧客不超過 3 人的概率是第四章18 .無限制隨機游動各狀態的周期是19非周期正常返狀態稱為20.設有獨立重復試驗序列Xn,n lo以Xn1記第n次試驗時事件A發生，且PXn 1

4、P,以 Xn0記第n次試驗時事件 A不發生，且P Xn 0）1 P,若有Yn Xk,k 11,則Yn, n鏈。答案、填空題1.gr (t);3 . eibtg (at)gi(t) ； 6 .等價7.時間差;獨立增量過程;9.E X(t2)X（tl）X（t4）X（t3）10(min s,t)33)e t 011.12 . f (t)f(t)13.e n!15.240000 16.復合；17 .71 4 e18. 2； 19,遍歷狀態;20.齊次馬爾科夫鏈;二、判斷題(每題2分)第一章 n1 . gi(t) (i 1, 2, n)是特征函數，gi(t)不是特征函數。2 . n維正態分布中各分量的相

5、互獨立性和不相關性等價。3 .任意隨機變量均存在特征函數。( n4 . Ei(t)(i 1,2, n)是特征函數，gi (t)是特征函數。(il5 .設X1,X 2, X 3, X 4是零均值的四維高斯分布隨機變量，則有E (X1X2X3X4) E (X1X2) E (X3X4) +E (XiXs) E (X 2X4) +E (XiX.i) E (X2X3)第二章6 .嚴平穩過程二階矩不一定存在，因而不一定是寬平穩過程。7 .獨立增量過程是馬爾科夫過程。8 .維納過程是平穩獨立增量過程。第三章9 .非齊次泊松過程是平穩獨立增量過程。第四章10 .有限狀態空間不可約馬氏鏈的狀態均常返。11 .有

6、限齊次馬爾科夫鏈的所有非常返狀態集不可能是閉集。12 .有限馬爾科夫鏈，若有狀態k使lim pj/ 0,則狀態 k即為正常返的。(n13 .設i S,若存在正整數n,使得pY0,0,貝i非周期。(14 .有限狀態空間馬氏鏈必存在常返狀態。15 . i是正常返周期的充要條件是lim不存在。(n16 .平穩分布唯一存在的充要條件是：只有一個基本正常返閉集。17 .有限狀態空間馬氏鏈不一定存在常返狀態。18 . i是正常返周期的充要條件是lim p1)存在。(n潮.京南藥馬威魁雷金為能返態，或者型為非常返態.答案 二、判斷題1.x2 .V6.V10. v16. v 三、1117 大題121820第一

7、章1. ( 10 分)一易)設B(n, p)，求的特征函數，并利用其求EX o2. ( 10 分)-中)利用重復拋擲硬幣的試驗定義一個隨機過程,X(t)cos t,出現正面2t,出現反面出現正面和反面的概率相等，求X(t)的一維分布函數 F(x, 1/2)和F(x, 1), X(t)的二維分布函數 F(xu x2; 1/2, 1) o3. ( 10分)一(易)設有隨機過程X(t) A Bt,t變量，均服從0 ,其中A與B是相互獨立的隨機 標準正態分布，求X (t )的一維和二維分布。第二章4. ( 10分)一(易)設隨機過程X(t)=Vt+b , t (0,+ 0), 6為常數，V服從正態分布

8、N(0, 1)的隨機變量，求X(t)的均值函數和相關函數。5. (10分)一 易)已知隨機過程為普通函數，令 Y(t)=X(t) + g(t)6. (10 分)一中)設X(t), tX(t)的均值函數mx(t)和協方差函數B x(t 1, t 2), g(t),求隨機過程Y(t)的均值函數和協方差函數。T 是實正交增量過程，T 0, ), X(0)0,是一服從標準正態 分布的隨機變量，若對任一 t 0, X(t)都與相互獨立，求Y(t) X(t)t 0,)的協方差函數。7. ( 10 分)一(中)設Z(t) X Yt,若已知二維隨機變量(X, Y)的協方差矩陣為2 ,求Z （t）的協方差函數。

9、2& （10 分）一（難）設有隨機過程 X （t） , t T和常數a,試以X （t）的相關函數表示隨機過程Y(t) X(ta） X （t） , t T的相關函數。第三章9. （10分）一（易）某商店每日8時開始營業，從8時到11時平均顧客到達率線性增加.在8時顧客平均到達率為5人/時，11時到達率達到最高峰20人/時,從11時到13時，平均顧客到達率維持不變，為20人/時，從13時到17時，顧客到達率線性下降，到17時顧客到達率為12人/時。假定在不相重疊的時間間隔內到達商店的顧客數是相互獨立的，問在&30- 9： 30間無顧客到達商店的概率是多少在這段時間內到達商店的顧客數學期望是多 少1

10、0. （15分）一（難）設到達某商店的顧客組成強度為的泊松過程，每個顧客購買商品的概率為P,且與其它顧客是否購買商品無關，求（0, t ）內無人購買商品的概率。11. （15分）一（難）設Xl （t）和X2 （t）是分別具有參數1和2的相互獨立的泊松過程，證明：Y （t）是具有參數I2的泊松過程。12. （10分）一（中）設移民到某地區定居的戶數是一泊松過程，平均每周有 2戶定居.即2o如果每戶的人口數是隨機變量，一戶四人的概率為 1/6, 一戶三人的概率為1/3 ,戶兩人的概率為1/3, 一戶一人的概率為1/6,并且每戶的人口數是相互獨立的，求在五 周內移民到該地區人口的數學期望與方差。k1

11、3. （ 10分）一（難）在時間t內向電話總機呼叫k次的概率為P t - e , k 0, 1,2, k! （k）其中0為常數如果任意兩相鄰的時間間隔內的呼叫次數是相互獨立的，求在時間2t內呼叫n次的概率P2t （n）30人到達,求下列事件的概率：兩個顧客相繼到達的時間間隔超過2 min15. （15分）一（中）設進入中國上空流星的個數是一泊松過程，平均每年為10000個.每個流星能以隕石落于地面的概率為，求一個月內落于中國地面隕石數EWvarW 和 PW14. （10分）一（易）設顧客到某商場的過程是泊松過程，巳知平均每小時有Imin內沒有車輛通過的概 2）.16. （10分）一（易）通過某

12、十字路口的車流是一泊松過程設率為，求2min內有多于一輛車通過的概率。17. （10分）一（易）設顧客到某商場的過程是泊松過程，巳知平均每小時有30人到達，求下列事件的概率：兩個顧客相繼到達的時間間隔短于4 min18. （ 15分）一（中）某刊物郵購部的顧客數是平均速率為6的泊松過程，訂閱1年、2年或3年的概率分別為1/2、I /3和1 /6,且相互獨立.設訂一年時，可得1元手續費；訂兩年時，可得2元手續費；訂三年時，可得 手3元手續費.以X （t）記在0 , t內得到的總續費，求 EX（t）與 var X （t）19. （10分）一（易）設顧客到達商場的速率為2個/ min,求（1）在5

13、min內到達顧客數的平均值；（2）在5min內到達顧客數的方差；（3）在5min內至少有一個顧客到達的概率.20. （10分）一（中）設某設備的使用期限為10年，在前5年內平均年需要維修一次，后 5年平均2年需維修一次，求在使用期限內只維修過1次的概率.21. （15分）一（難）設X （t）和丫（t 0）是強度分別為x和丫的泊松過程，證明：在X （t）的任意兩個相鄰事件之間的時間間隔內，Y （t）恰好有k個事件發生的概率為第四章22. （10分）一（中）已知隨機游動的轉移概率矩陣為0. 5 0. 50. 5 0. 50. 50. 5求三步轉移概率矩陣 P3及當初始分布為PXo 1 PXo 20

14、, P Xo 31時，經三步轉移后處于狀態3的概率。23. （15分）一（難）將2個紅球4個白球任意地分別放入甲、乙兩個盒子中，每個盒子放3個，現從每個盒子中各任取一球，交換后放回盒中（甲盒內取出的球放入乙盒中，乙盒內取出的球放入甲盒中），以X （n）表示經過n次交換后甲盒中紅球數，則X （n） , n0）為齊次馬爾可夫鏈，求（1）一步轉移概率矩陣；（2）證明：X （n） , n 0）是遍歷鏈；（3）求iim rT, j 0, 1, 2 o24. （10分）一（中）已知本月銷售狀態的初始分布和轉移概率矩陣如下:P7(0)(0.4, 0.2,0. 4)0. 80. 10. 10. 1-70.20

15、. 20. 20. 6求下一、二個月的銷售狀態分布。I 1 2,-轉移概率矩陣為25. （ 15分）一 難）設馬爾可夫鏈 的狀空間 *0.40.2 0. 100. 10. 10. 10. 10.2 0.20. 2 0. 10. 10. 100.60.4000P0 00.400.6000.20.5 0.300000000求狀態的分類及各常返閉集的平穩分布。000. 30. 7000. 80. 226. （15分）一（難）設河流每天的B0D生物耗氧量）濃度為齊次馬爾可夫鏈，狀態空間I二1 ,1/21/22, 3, 4是按B0D濃度為極低，低、中、高分別表示的，其一步轉移概率矩陣（以一天為單位）為0

16、. 50. 20. 100.40. 50.20.20. 10.20.60.400. 10. 10. 4若B0T度為高，則稱河流處于污染狀態。（1）（3）河流再次達到污染的平均時間427. （ 10分）一（易破馬爾可夫鏈的狀態空間證明該鏈是遍歷鏈；（2）求該鏈的平穩分布;I二0,1 , 2 , 3）,轉移概率矩陣為1/21/21/21/21/41/40000001/41/401求狀態空間的分解。I二1 , 2, 3, 4）.轉移概率矩陣為28. （ 15分）-（難股馬爾可夫鏈的狀態空間為2/31/41/2討論lim Pi?n29. （ 10分）-（易破馬爾可夫鏈的轉移概率矩陣為P 1/ 21/2

17、1/21/20求其平穩分布。P,乙勝的概率是30. （ 15分）-（難）甲乙兩人進行一種比賽，設每局比賽甲勝的概率是 q,和局的概率為r,且p+q+r=1 .設每局比賽勝者記1分，負者記一 1分.和局記零分。當有一人獲 得2分時比賽結束.以L表示比賽至n局時甲獲得的分數，則工，n 1是齊次馬爾可夫鏈.1）寫出狀態空間I ; （ 2）求出二步轉移概率矩陣；3）求甲已獲1分時，再賽兩局可以結束比賽的概率.31. （10分）一（中）（天氣預報問題）設明天是否有雨僅與今天的天氣有關，而與過去的 天氣無關.又設今天下雨而明天也下雨的概率為，而今天無雨明天有雨的概率為，規 定有雨天氣為狀態0，無雨天氣為狀

18、態1。因此問題是兩個狀態的馬爾可夫鏈.設0. 7,0.4 ,求今天有雨且第四天仍有雨的概率.1）是一個馬爾可夫鏈，其狀態空間I=a , b, c)，轉移概32. （ 1 0 分）T）設Xn,n率矩陣為1/21/41/42/3013求(1) PXib, X 2 C, X 33/52/50a, X 4 c X5 a, X 6c, X 7 b Xo c)2)PXn 2 C Xn b33. （ 1 5分）一（難）設馬爾可夫 Xn,n 鏈 矩陣為0的狀態空間I二（1 ,2,，6）,轉移概率1/31/31/33分）1/21/2試分解此馬爾可夫鏈并求出各狀態的周 期。答案三、大題1.解：引入隨機變量Xi1,

19、21分）i (t) Ee itXnXi B(n, p)14分)_ itXEeit( Xi)Ee 1itXiEe,it n(pe q)(6分)(0) iEX8 分)EX i (0) / iti (penq).,it n 1i n(pe q) pe inp10分)2.解：依題意知硬幣出現正反面的概率均為1/2當t=l/2時，X (1/2)的分布列為Px(l)0 P XC)其分布函數為3分)01 1x)21同理，當時X (1)的分布列為X(l)P X(l)其分布函數為F(l； X)-5分)(2)由于在不同時刻投幣是相互獨立的，故在1PX(1)0, X 1P X()廿1/2 , 時的聯合分布列為廿10

20、, X(l)1PXJ)1 X 1 x(2)1, X(l)10分)故聯合分布函數為01/411/2F(2, 1； Xi, X2)Xi0orX21Xi1 and1 X2Xi1 ancfc 2or Xi1and1X2Xi1andX223.解：對于任意固定的t X(t)是正態隨機變量，故 T,E X(t) E(A) E(B)t 0DX(t) D(A) D(B)t2 1 t2所以X(t )服從正態分布N (0, 1 t=)3分)其次任意固定的 ti, t2 T, X(ti) A Bti, X(t2) A Bt2則依n維正態隨機向量的性質，X(t0, X(tJ服從二維正態分布，且EX (ti) EX(t2

21、) 0DX(t2) 1 t228分)Cov(X(ti), X(t2) EX(tl)X(t2) 1 tlt2所以二維分布是數學期望向量為(0, 0),協方差為 一/的二維正態分布。 t1 tlt2 110分)4.解：X(t) Vt b , V N(0, 1),故X(t)服從正態分布,E X(t)E VtbtEVbbD X(t)D VtbDV t2m(t) E X (t) b 均值函數為4分)相關函數為 R(ti, t2)EX (ti)X(ti)E Vt 1 b Vt 2 bE V :tit2 V (ti t2 )b b2 tit2 b2io 分)5. 解：my(t) EY(t) EX(t) g(

22、t) mx (t) g(t)4分)By(ti, t2) Ry(ti, t2) mY(ti)mY (t2)EY (ti) Y (t2) mY(ti)mY (t2)EX(ti) g(ti) X(t2)g(t2)J mx(ti) g(ti) mx(t2)g(t2)JRx(ti, t2) mx(ti)mx (t2) Bx ti,t2)10分)6.解：因為X(t),t T)是實正交增量過程，故EX(t) 010分）服從標準正態分布，所以E 0,DI分） 分）又因為t 0, X （t）都與相互獨立CovY(s),Y(t) EY(s)Y(t)JE X (s)X (t)6分）28分)EX(s)X(t) E X

23、 (s) E X (t) E 2CovX(s), X(t) 1 x: (min s, t)1 .7.解利用數學期望的性質可得， Cz(s, t) E (X Ys) ( x ys) (XYt)(8.r (s t)解： Ry(ti, t2)EX(ti a)X(t210分)E (X x ) (Ys ys) (XE(X x)= E (X x)t(YE(X x)s(YDX (s t)Cov (X, Y) stDYx y t)(Yt Yt)Est(Yst 2_10分）E X(ti a)X(ti) X (t2 a) X(t2 )a) EX (ti a)X(t2) EX(ti)X(t2a)2分）8分）2分）R

24、j t】a t & a1a t2 Rx t； t2 a： Rx t； t210分）9.解：根據題意知顧客的到達率為5 5t(t)20202(t5) 51.5mx (1. 5) mx (0. 5)0,5 (5 5t)dt 10PX (1.5) X (0. 5)0 e 103分）6 分）10分）10.解：設X （t） ,t 0表示到達商店的顧客數,i表示第i個顧客購物與否，即1 第i個顧客購物0第i個顧客不購物則由題意知i獨立同分布.且與 X(t)獨立P( i 1) p P( i o)因此,Y(t)x(t)i是復合泊松過程,t )內購買商品的顧客數,5分)由題意求x(t)PY(t) 0) p i

25、i 1X(t)i 0,X(t) kP X(t)o(t)keo k!(10 分)(qt)”o k!ee pt11.證明：PY(t)Y (t)n)PXi(t)X2(t)X1 (t)PXi(t)Xi(t)X2(t(15 分)X2(t)n)X2(t)n)p Xi(tXi(t)i 0 nPXi(tXi(t)i 0(2尸 (n i)!i X2(tX2(t) n ii PX2(tX2(t) n i)(5分)(10 分)6 (12)2) nnn 0, 1, 2故Y(t)是具有參數2的泊松過程(15分)2的泊松過程，Yi表示每戶的12.解：設N(t)為在時間0 , t內的移民戶數，其是強度為x(t)人數，則在C

26、o , t內的移民人數X(t) Yi是一個復合泊松過程。 1 12分)Yi是獨立同分布的隨機變量，其分布為EYi 15EYi2 4364分)mx(5),、15EN(5) EY1 2 52567分)243215V (久、rT /匚、tt63(10 分)13.解:以A記時間2t內呼叫n次的事件，記第一時間間隔內呼叫為取,則P(HJPt (k),第二時間間隔內P(A|HJ Pt(nk)成立，于是P2t ( n) Pt (k)R(n k)v nk o k!e(n k)!(4分)8分)Yi12311111P6336n! k ok! (n k) !n!c n5 2 n!10分)14.解：由題意，顧客到達數

27、N(t)是強度為的泊松過程，則顧客到達的時間間隔Xn,n 1服從參數為的指數分布，fx(X)30e如0(4分)(10 分)15解：設X(t)是t年進入中國上空的流星數,X(t)為參數10000的齊次泊松過程設y 1第i個流星落于地面o,第i個流星不落于地面o即 丫0. 9999 0. 000130x , _2 30e dx 60由題意知，Wx(t)Yi是一個復合泊松過程i 15 分)EW END eyi I10000 0.0001VarWVarX(t) EY；12W是參數為1的泊松過程10000 I2 0.0001 12(10 分)16.解:PW 21 PW 1PW 0 PW 1N(t)表示在

28、0,t)內通過的軍薪數,設1 -e12e12(15 分)” tPN(t) k e k!0, 1, 2,(2分)P(N(1)0)0. 2In 5(5分)P(N(2)1)PN(2)11 P(N(2)0PN(2)1)(10 分)17解：由題意，顧客到達數N(t)是強度為 服從參數為的指數分布，的泊松過程，則顧客到達的時間間隔X0,n 1fx(X)(4分)30x60;60 3Oe30sdx(10 分)24 Aln52525(5分)18解：設Z(t)為在0, t內來到的顧客數，Z(t)為參數6的齊次泊松過程,Yi是每個顧客訂閱年限的概率分布，且 Yi獨立同分布，z(t)由題意知，X(t) Yi為0 ,

29、t內得到的總手續費，是一個復合泊松過程EYi屹 210EYf2:3220飛8分)10EX(t) EZ(t) EYi 6t lOt6VarX (t) VarZ (t) EYf2020t(15 分)19.解：N (t)表示在0 , t)內到達的顧客數，顯然 N(t), t則當t=2時,N (5)服從泊松過程 01是泊松過 程，PN(5) k)(2 5)k 25ek!0, 1,25分)故 EN (5)10;DN(5)10PN(5)11 PN (5)0) e10分)20解：因為維修次數與使用時間有關,所以該過程是非齊次泊松過程，強度函數則(10)PN (10)21.證明:設X( t)P Y(t(t)1

30、/2. 51/2t 101010 1(t)dt o2. 5dt 尹 4.5Y0)4.5 4. 5!1 e 1的兩個相鄰事件的時間間隔為,依獨立性有6分)10分)2分)而X (t)的不同到達時刻的概率密度函數為fx()xe0 others(4分)由于X( t)是泊松過程，故Y (t)恰好有k個事件發生的概率為X(n)表示甲盒中的紅球數甲盒乙盒22紅、1白3白11紅、2白1紅、2白03白2紅、1白22.解:p（3）P3P323. W：由題意知,（丫）kP 0 k! ekX Yk!xe x dkX YkTk!（8分）10分）0. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50.

31、 50. 50. 50. 50. 50. 50. 50.50. 5P3P 3?0.250. 3750. 375甲盒中的球共有0. 3750.250. 3750.250. 3750. 3756分）0. 250. 253種狀態,10分）Poo P甲乙互換一球后甲盒仍有3個白球I甲盒有3個白球二P 從乙盒放入甲盒的一球是白球二1/3p01 I3 甲乙互換一球后甲盒有2個白球1個紅球I甲盒有3個白球二P 從乙盒放入甲盒的一球是紅球二2/3Po： I3 甲乙互換一球后甲盒有 1個白球2個紅球I甲盒有3個白球二0PT(1) PT(O)P(0.4, 0.2, 0.4)0. 8 0. 10. 10. 1 0.

32、 70. 2(0. 42 ：，32230.2 0.20. 6(5分)0.80. 10. 10.80. 10. 1p:P T(0) P2(0. 4, 0. 2, 0. 4)0 10. 70. 20. 10. 70. 20.20. 20. 60.20. 20. 6(0. 426, 0. 288, 0. 286)1/32/3以此類推，一步轉移概率矩陣為P 2/95/92/9（8分）2/31/3（2）因為各狀態互通，所以為不可約有限馬氏鏈，且狀態 0無周期，故馬氏鏈為遍歷鏈。（10 分）13分)1， 2）解方程組解得lim Pis15(n)lim Pillim(n)Pi2(15 分)24.解:（10

33、分）25解：N1,2是非常返集，Cx(3,4,5, C26, 7是正常返閉集。5分）常返閉集C(3, 4, 5上的轉移矩陣為0.6 0.400.400.60. 2 0. 50. 3解方程組（3,5),解得103， 4232310分）Ci上的平穩分布為0, 0, 23,召13, 0, 0)8同理解得C2上的平穩分布為。， o ，26.解:（1）因為1234,故馬氏鏈不可約,又因為狀態1非周期，故馬氏鏈是遍歷鏈(2 )解方程組其中（2,3,4 ）解得10.2112,0. 3028,0. 3236,0. 10441-9（天） 4 27.解：狀態傳遞圖如下圖15分）5分）10分）15分）由狀態3不可能到達任何其它狀態，所以是常返態.由狀態2可到達0, 1, 3三個狀態，但從1, 3三個狀態都不能到達狀態f (n)1 1 ,故狀態2是非常返狀態。f 224n 1狀態0, 1互通且構成一個基本常返閉集，f (n) f (1) f