1、會計學1第二第二(d r)型線積分和面積分型線積分和面積分第一頁，共38頁。2009年5月2個向量個向量(xingling)場都與某個向量場都與某個向量(xingling)函數函數 ( , , )( , , ) i( , , ) j( , , )kA x y zP x y zQ x y zR x y z 相對應相對應. 這里這里 P, Q, R 為所定義區域上的數量函數為所定義區域上的數量函數, 并假定它們并假定它們(t men)有一階連續偏導數有一階連續偏導數. 如如,設一個設一個(y )質點在質點在處受處受點點 O 的距離成正比的距離成正比,( , )M x yF 的大小與的大小與M 到到

2、原原F 的方向的方向力力F 的作的作用用,與與OM 垂直且與垂直且與 y 軸夾銳角軸夾銳角, ,則則 F( ,)k yx ( , )M x yoxy第1頁/共38頁第二頁，共38頁。2009年5月3磁力線等都是向量場線磁力線等都是向量場線.注注 場的性質是它本身的屬性場的性質是它本身的屬性(shxng), 和坐標系的引進無關和坐標系的引進無關. 引入或選擇引入或選擇(xunz)(xunz)某種坐標系是為了便于通過數學方法來某種坐標系是為了便于通過數學方法來 進行進行(jnxng)計算和研究它的性質計算和研究它的性質. 則稱曲線則稱曲線 L 為向量場為向量場 的的向量場線向量場線. 例如電力線、

3、例如電力線、 A設設 L 為向量場中一條曲線為向量場中一條曲線. 若若 L 上每點上每點 M 處的切線處的切線 ddd,xyzPQR方向都與向量函數方向都與向量函數 在該點的方向一致在該點的方向一致, 即即 A第2頁/共38頁第三頁，共38頁。2009年5月4梯度(t d)場 我們我們(w men)已經介紹了梯度的概念已經介紹了梯度的概念, 它它 grad ijk.uuuuxyz方向方向(fngxing)上的方向上的方向(fngxing)導數導數. grad u 是由數量場是由數量場 u 派生出來的一個向量場派生出來的一個向量場, 稱為稱為 是由數量函數是由數量函數 所定義的向量函數所定義的向

4、量函數( , , )u x y z grad u 的方向就是使方向導的方向就是使方向導 梯度場梯度場. 由前面知道由前面知道, ul數數 達到最大值的方向達到最大值的方向, grad u就是在這個方就是在這個方 第3頁/共38頁第四頁，共38頁。2009年5月5( , , )u x y z( , , )u x y zc 因為數量場因為數量場 的等值面的等值面 的法的法線線 方向為方向為 ,uuuxyz所以所以 grad u 恒與恒與 u 的的等值面等值面 正交正交. ,xyz 當把它作為運算當把它作為運算(yn sun)符號來看待時符號來看待時, 梯度可寫作梯度可寫作 grad.uu 引進符號

5、(fho)向量 第4頁/共38頁第五頁，共38頁。2009年5月6mr試求的梯度.試求的梯度.解解 2,.mmx y zrrrr r 若以若以 0rOM 表表示示上的單位向量上的單位向量, 則有則有 02.mmrrr 222,rOMxyz 例例1 設質量為設質量為 m 的質點的質點(zhdin)位于原點位于原點, 質量為質量為 1 的質點的質點(zhdin) 位于位于 ( , , ),M x y z 記記 第5頁/共38頁第六頁，共38頁。2009年5月7它表示兩質點間的引力它表示兩質點間的引力, 方向方向(fngxing)朝著原點朝著原點, 大小與質量大小與質量 的乘積的乘積(chngj)成

6、正比成正比, 與兩點間距離的平方成反比與兩點間距離的平方成反比. mr這說明了引力場是數量場這說明了引力場是數量場 的梯度場的梯度場, 因此因此常稱常稱 mr為為引力勢引力勢(gravitational potential ).第6頁/共38頁第七頁，共38頁。2009年5月8對坐標的曲線對坐標的曲線(qxin)積分積分第7頁/共38頁第八頁，共38頁。2009年5月9 向量向量(xingling)函數函數F 其大小其大小(dxio)(dxio)和方向都隨點和方向都隨點M M變變化化 有向曲線有向曲線(qxin)指定了方向的曲線指定了方向的曲線.通常指出起點，終點來表明通常指出起點，終點來表明

7、.ABLAB BA ABL是是向量向量()F M ( , , )PQR ( , , )( , , )( , , )ijP x y zQ x y zRzkx y 簡簡記記為為PQRijk 預備知識預備知識( , , )F x y z ( , , )x y z( , , )x y z()M ( , , )M x y z()F M oyzx( , , )x y z第8頁/共38頁第九頁，共38頁。2009年5月101. 1. 問題的提出問題的提出(t ch) (t ch) 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功求變力求變力 對質點所作的功對質點所作的功W. .()F M 設一質點在變力設一質點在變力

8、作用下作用下, ,()F M L線線沿沿光光滑滑曲曲從點從點A點點B,ABLcosF AB ABFWF AB 常力沿直線常力沿直線(zhxin)所作所作的功的功處理辦法處理辦法分割分割近似代替近似代替取極限取極限求和求和第9頁/共38頁第十頁，共38頁。2009年5月11（1）分割）分割(fng)L0AM nBM 1(1,2,., )iiiMMrin 設設1,iiiMMs 設長為設長為的度的度011,nnAMMMMB 點點分分 ABn將將個個分分成成任任意意小小弧弧段段1nM iM1iM 2M1M()iF M 1,iiiMMM 點點任任取一取一意意（2）近似）近似(jn s)代代替替()iiF

9、 Mr iW ( 3 ) 求和求和(qi h)11()nniiiiiWWF Mr （4）取極限取極限01lim()niidiF Mr 12max,nsss令d令d1iiMM , ,W 第10頁/共38頁第十一頁，共38頁。2009年5月120AM nBM 1nM iM1iM 2M1M()iF M oxy1iiiMMr 01lim()niidiF MWr (,)iiiM x yiix iy j ()(,)iiiFFyMx (,)(,)iiiiPQ (,)(,)iiiiP x y iQ x yj(,)iiiM ，()iiF Mr 01 (lim),(,iiiiiindiPxQy ix iy 11(

10、)()iiiixxiyyj ix iy C第11頁/共38頁第十二頁，共38頁。2009年5月132. 2. 定義定義(dngy) (dngy) ()F MAB 設數點 為點，點 為終點設數點 為點，點 為終點向量函在以起的向量函在以起的()iiF Mr 1ni 0limd存在存在(cnzi)稱此極限稱此極限(jxin)為向量為向量()F M 若若在有向在有向曲線曲線 上的上的第二類曲線積第二類曲線積分分AB函數函數()ABF Mdr 記記作作01lim (,)(,)niiiiiidiPxQy ( , )( , )P x y iQ x y j(,)(,)ABP x y dxQ x y dy (

11、 (坐標形式坐標形式) ) AB線線義義且且有有界界，有有向向光光滑滑曲曲上上有有定定( (向量形式向量形式) ), ,或或對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分( (與分法和點的取法無關與分法和點的取法無關！) )，第12頁/共38頁第十三頁，共38頁。2009年5月14()ABF Mdr 即即()iiF Mr 1ni 0lim ( , )( , )ABP x y dxQ x y dy 01lim (,)(,)niiiiiiiPxQy 第二類曲線積分第二類曲線積分(jfn)（向量形式）（向量形式）第二類曲線積分第二類曲線積分(jfn)（坐標形式）（坐標形式）AB當為間線時，當為間線時，空曲空曲(

12、, , )( , , )( , , )ABP x y z dxQ x y z dyR x y z dz 01lim (,)(,)(,),niiiiiiiiiiiiiPxQyRz ()( , , )( , , )( , , )( , , ) ,F MF x y zP x y z iQ x y z jR x y z k 積分積分(jfn)路徑路徑被積函數被積函數單獨形式單獨形式( , )dABP x yx 01lim(,),niiiiPx ( , )dABQ x yy 01lim(,),niiiiQy 稱為對坐標稱為對坐標 x 的曲線積分的曲線積分; ;稱為對坐標稱為對坐標 y的曲線積分的曲線積分

13、. .第13頁/共38頁第十四頁，共38頁。2009年5月15ABWF dr 由定義由定義(dngy)，變力沿曲線所作的功，變力沿曲線所作的功( , )( , )ABP x y dxQ x y dy AB（當為線時）（當為線時）平面曲平面曲第14頁/共38頁第十五頁，共38頁。2009年5月163. 3. 性質性質(xngzh) (xngzh) ABACCB（） ，（） ，1若1若()ABF Mdr (2)()ABF Mdr 注第二類曲線積分第二類曲線積分(jfn)(jfn)必須注意積分必須注意積分(jfn)(jfn)路徑的方向路徑的方向 ! !ACB().CBF Mdr ()ACF Mdr

14、()BAF Mdr ABLABL第15頁/共38頁第十六頁，共38頁。2009年5月17oxy()( , ),( , )F MP x y Q x y （dr dydxdd ,d )rxy 記（記（ ABM弧弧在在點點處處與與曲曲線線方方向向一一致致的的切切向向量量 ABAB tFds AB ddP xQ y dFr ABoxyC()F M ( ),( )xtyt :ABtA tB ( ( ) ,( ) )ttt dtdtdtd , ( )dxy dr 22dddrxy ds 0dd(,)dd (cos,cos)xytss 積徑積徑與分路方向一致.與分路方向一致.0F t ds AB (cosc

15、os)dPQs AB 第16頁/共38頁第十七頁，共38頁。2009年5月18類似地類似地, 在空間曲線在空間曲線 上的兩類曲線積分上的兩類曲線積分(jfn)的聯系是的聯系是 coscoscosdABPQRs dABABFrPdxQdyRdz( ( , , ),( , , ),( , , )P x y z Q x y z R x y z()F M ( , )M xy z點點處處線線在在的的切切的的方方向向余余弦弦0(cos, cos, cos )t 其中其中AB為為與方向一致與方向一致F (,)P Q R 簡記簡記(jin j)為為簡記簡記(jin j)為為第17頁/共38頁第十八頁，共38頁

16、。2009年5月19定理定理(dngl)1 (dngl)1 d() d( , )d( , )CCF MrP x yxQ x yy一定一定(ydng)(ydng)存在存在, , 且且d() d( , )d( , )CCF MrP x yxQ x yyd ( , )cos( , )cosCP x yQ x ys 第18頁/共38頁第十九頁，共38頁。2009年5月20例例將積分將積分(jfn)( , )d( , )dCP x yxQ x yy 化為對弧長的積化為對弧長的積分分,(0,0)(2,0).OA從從到到解解oyxA212xyxx 21y 212xx cos 22,xx cos 1x ( ,

17、 )d( , )dCP x yxQ x yy ( , )( , )dLP x yQ x ys (1)x 其中其中(qzhng)C 沿上半圓周沿上半圓周22yxx22xx 21(1,)2xtxx t 第19頁/共38頁第二十頁，共38頁。2009年5月21例例將積分將積分(jfn)( , )d( , )dCP x yxQ x yy 化為對弧長的積化為對弧長的積分分,(0,0)(2,0).OA從從到到解法解法(ji f)2oyxA212xyxx ds 21dyx 21d2xxx dcosdxs 22,xx dcosdys 1x ( , )d( , )dCP x yxQ x yy ( , )( ,

18、)dLP x yQ x ys (1)x 其中其中(qzhng)C 沿上半圓周沿上半圓周22yxx22xx 21dd2xyxxx 第20頁/共38頁第二十一頁，共38頁。2009年5月22:( ),( ),AB xtyt設光滑線設光滑線有向曲有向曲:,t,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt d( ( ),( )rtt dt 解解ddsr 22( )( )tt dt ( , )cos( , )cosdABP x yQ x ys ( , )d( , )dABP x yxQ x yy dPQt 化為定積分化為定積分(jfn)( ) t ( ),( )tt( ),( )tt(

19、) t 將積分將積分(jfn)ddABPxQy 化為定積分化為定積分(jfn)第21頁/共38頁第二十二頁，共38頁。2009年5月23( ),( )tt在以 及在以 及(1):( ),( ),AB xtyt線線有向光滑曲有向光滑曲(2) ( , )( , )P x yQ x yAB、在在定理定理(dngl)設設上連續上連續(linx)，則，則 ( ),( ) ( ) ( ),( ) ( )dPtttQtttt 起點起點終點終點( , )( , )ABP x y dxQ x y dy 計算定積分計算定積分轉轉 化化求曲線積分求曲線積分當當t t由由 時，對應的點時，對應的點M( (x, ,y)

20、 )從起點從起點A運動運動到終點到終點B 描出曲線描出曲線AB為端點的區間上連續，為端點的區間上連續，22 ( ) ( )0.tt且且第22頁/共38頁第二十三頁，共38頁。2009年5月24注( , )( , ) ( ,)( )( )( ,)( )bABaP x y dxQy xy xyx y dyP xQ xxx d ( , )( , )(, )(, )( )( )dABcyP x y dxQ x y dyPyQyyydy 3:( ):AB xyA ycByd （ ）若（ ）若2:( ):AByy xA xaB xb （ ）若（ ）若 未必有：未必有：(1)對應起點，對應終點對應起點，對應

21、終點( )xxyy x ( )xyyy 第23頁/共38頁第二十四頁，共38頁。2009年5月25(4) 推推廣廣:( ),( ),( )ABxtytzt :tA B對應曲線上對應曲線上 PQRdt ( ),( ),( )ttt( ),( ),( )ttt( ),( ),( )ttt( , , )d( , , )d( , , )dP x y zxQ x y zyR x y zz ( ) t ( ) t ( ) t 第24頁/共38頁第二十五頁，共38頁。2009年5月26yxo例例2 2 計算計算(j (j sun)sun)22()d()d ,CIxyxxyy 其中其中(qzhng)(1)2:

22、,(0,0)(1,1) ;CyxOB(2)2:,(0,0)(1,1) ;CxyOB(3):.COAAB 解解 (1)22x1250(42)dxxx (2)4() 2yyy(3)(OAI 120(0 )dxx 1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(I 4() 2)dxxxx10(I 22()dyyy22)()d()dABxyxxyy 120( 1)dyy 11被積函數被積函數相同相同(xin tn)，起，起點和終點點和終點相同相同(xin tn)，但，但是路徑不是路徑不同，積分同，積分結 果 相 同結 果 相 同( x i n tn)。第25頁/共38頁第二十六頁，共38頁。20

23、09年5月27例例3 3 計算計算(j sun)(j sun)曲曲線積分線積分解解22Cydxxdyxy ，222:Cxya時針時針沿逆方向.沿逆方向.2012dt cos:sinxatCyat :02t 22Cydxxdyxy sin (sin )atatcos ( cos )at at dt2201a 第26頁/共38頁第二十七頁，共38頁。2009年5月28例例4 4 設曲線設曲線(qxin)G:(qxin)G:22222,(0),zaxyxyax a 從從 ox 軸正向軸正向(zhn xin)看去看去為逆時針方向為逆時針方向,求曲線求曲線(qxin)積積分分222ddd .Iyxzyx

24、z 解解22222()( )aaxy2(1cos )axt2sinayt 2sintza :02t 338sinat 3282(1cos ) cosdattt 20I 3222sincosatt 338sindat t 20 0 34(1cos )cos datt t 20 34a 3222sincos datt t20 3282(1cos ) cos dattt 20 20 3522cosdatt0 34a 第27頁/共38頁第二十八頁，共38頁。2009年5月29例例5 5 設一個設一個(y )(y )質點在質點在( , , )M x y z處受力處受力 的作用的作用(zuyng),已知已

25、知F 的方向指向的方向指向(zh xin)坐標原點坐標原點,其大小與作用點到其大小與作用點到 xoy 面的面的距離成反比距離成反比.此質點由點此質點由點)1 ,2,2(A沿直線移動到沿直線移動到, )2,4,4(B求求 F 所作的功所作的功 W.解解zxoyABzk222zyxkzjyi xzkLzyxzzzyyxxk222ddd:L22 tx22 ty1tz) 10:(t101d3ttk2ln3ksFWLdF)(0r) 1 , 2 , 2(ABrF 第28頁/共38頁第二十九頁，共38頁。2009年5月30思考題思考題第29頁/共38頁第三十頁，共38頁。2009年5月31思考題解答思考題解

26、答(jid)曲線曲線(qxin)方向由參數的變化方向而方向由參數的變化方向而定定.例如例如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中當當t從從 0 變變到到 2時時，L取取逆逆時時針針方方向向;反反之之當當t從從 2變變到到 0 時時，L取取順順時時針針方方向向.第30頁/共38頁第三十一頁，共38頁。2009年5月32練練 習習 題題第31頁/共38頁第三十二頁，共38頁。2009年5月33二、二、 計算下列對坐標的曲線積分計算下列對坐標的曲線積分: : 1 1、 Lxydx, ,L其中其中為圓周為圓周)0()(222 aayax及及 x軸所圍成的在第一象限內的區域的整個邊界軸所

27、圍成的在第一象限內的區域的整個邊界( (按按 逆時針方向繞行逆時針方向繞行) )； 2 2、 Lyxdyyxdxyx22)()(, ,L其中其中為圓周為圓周 222ayx ( (按逆時針方向饒行按逆時針方向饒行) )； 3 3、 ydzdydx, ,其中為有向閉折線其中為有向閉折線ABCD, ,這里這里 的的CBA,依次為點依次為點(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)； 4 4、 ABCDAyxdydx, ,其中其中ABCDA是以是以)0 , 1(A，)1 , 0(B, , )0 , 1( C, ,)1, 0( D為頂點的正方形正向邊界線

28、為頂點的正方形正向邊界線 . .第32頁/共38頁第三十三頁，共38頁。2009年5月34三、三、 設設z軸與重力的方向一致軸與重力的方向一致, ,求質量為求質量為m的質點從位的質點從位置置),(111zyx沿直線移到沿直線移到),(222zyx時重力所作時重力所作的功的功. .四、四、 把對坐標的曲線積分把對坐標的曲線積分 LdyyxQdxyxP),(),(化成化成對弧長的積分對弧長的積分, , L其中其中為為: :1 1、 在在xoy面內沿直線從點面內沿直線從點(0,0)(0,0)到點到點(1,1)(1,1)；2 2、 沿拋物線沿拋物線2xy 從點從點(0,0)(0,0)到點到點(1,1)(1,1)；3 3、 沿上半圓周沿上半圓周xyx222 從點從點(0,0)(0,0)到點到點(1,1).(1,1).第33頁/共38頁第三十四頁，共38頁。2009年5月35練習題答案練習題答案(d n)一、一、1 1、坐標；、坐標； 2 2、-1-1； 3 3、起、起, ,點；點； 4 4、 dzRQdyPdx dsRQP)coscoscos( . .二、二、1