1、2015 年高考試卷第1頁共 13 頁絕密啟封并使用完畢前2015 年普通高等學校招生全國統一考試文科數學本試卷分第 I 卷(選擇題)和第 n 卷(非選擇題)兩部分。第 I 卷1 至 3 頁，第 n卷 4 至 6 頁。注意事項：1.答題前，考生務必將自己的準考證號、姓名填寫在答題卡上。考生要認真核對答題卡上粘貼的 條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人準考證號、姓名是否一致。2.第 I卷每小題選出答案后，用2B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，在選涂其他答案標號。 第 n卷必須用 0.5 毫米黑色簽字筆書寫作答.若在試題卷上作 答，答案無效。3.考試結束

2、，監考員將試題卷、答題卡一并收回。第I卷一、選擇題：本大題共12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。(1)已知集合 A=x|x=3n+2,nN,B=6,8,12,14, 則集合 AB 中元素的個數為(A) 5(B) 4( C) 3(D) 2ujuruuiu(2) 已知點 A (0,1 ), B (3,2 ),向量AC= (-4 , -3 ),則向量BC=(A) (-7,-4 )( B) (7,4 )( C) (-1,4 )(D) (1 , 4)(3) 已知復數 z 滿足(z-1 ) i=i+1，則 z=(A) -2-I( B) -2+I(C) 2-I(

3、D) 2+i(4)如果 3 個整數可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這 3 個數為一組勾股數， 從 1, 2,3,4,5 中任取 3 個不同的數，則 3 個數構成一組勾股數的概率為10111(A)(B)(C)(D)3510202015 年高考試卷第2頁共 13 頁1(5) 已知橢圓 E 的中心在坐標原點，離心率為 ，E 的右焦點與拋物線 C: y2=8x 的焦點重合，A,2B 是 C 的準線與 E 的兩個焦點，貝 U |AB|=(A) 3( B) 6( C) 9(D) 122015 年高考試卷第3頁共 13 頁(6)九章算術是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內

4、角，下周八尺，高五尺。問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐 的四分之一)，米堆底部的弧度為 8 尺，米堆的高為 5 尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知 1 斛米的體積約為 1.62 立方尺，圓周率約為 3,估算出堆放斛的米約有A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛已知嘰是公差為 1 的等差數列， 一了 L、| .一.則=4 .，j =1_(A)1(B)(C) 10( D)12(8)函數 f(x)=.一一一 -的部分圖像如圖所示，則f(x)的單調遞減區間為A)|73 3 - -. .- -+ +7T7TA)2015 年高考試卷第4頁共

5、13 頁(A) (kk )心2s-1- 2rx 17531(A)-丄 (B) -( C) -( D)-4444(11 )圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r )組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正(A)1(2k一)t=0.01，則輸出的 n=(D) 8，且 f (a) =-3，貝 U f (6-a )=(10 )已知函數 fe) =2015 年高考試卷第5頁共 13 頁視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為16+20n，則 r=(A) 1(B) 2(C) 4(D) 8(12)設函數 y=f (x)的圖像關于直線 y=-x 對稱，且 f(-2 )+f (-4 ) =1,則 a=(A)

6、-1( B) 1(C) 2(D) 4第口卷注意事項：第 n 卷共 3 頁，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上作答。若在試卷上作答，答案無效。本卷包括必考題和選考題兩部分。第13 題第 21 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22 題第 24 題為選考題，考生根據要求做答。二.填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分(13) 在數列an中，a1=2,an+1=2an, Sn為an的前 n 項和。若-Sn=126，則 n=.(14)已知函數 f(x)=ax3+x+1 的圖像在點(1, f(1)處的切線過點(2,7 ),貝 U a= .+ y-2 0 x - 2y +10八：一 1 十 二：，則 z

7、=3x+y 的最大值為.2 _(16)已知 F 是雙曲線C:x2-上=1 的右焦點，P 是 C 的左支上一點，A (0,6 . 6 ).當 AAPF 周長2015 年高考試卷第6頁共 13 頁8最小是，該三角形的面積為三解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟(17)(本小題滿分 12 分)2已知 a, b, c 分別為 ABC 內角 A, B， C 的對邊，sin B=2sinAsinC(I)若 a=b，求 cosB;(H)設 B=90,且 a=2，求 ABC 的面積(18)(本小題滿分 12 分)如圖，四邊形 ABC為菱形，G 為 AC 與 BD 的交點，BE平面 ABCD.(I)證

8、明：平面 AECL 平面 BED(H)若/ ABC=120 , AE 丄 EC 三棱錐一 ACD 的體積為蘭6，求該三棱錐的側面積(19)(本小題滿分 12 分)某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x (單位：千元)對年銷售量y (單位：t )和年利潤 z (單位：千元)的影響，對近 8 年的年宣傳費 二和年銷售量(i=1,2，,8)數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值。2015 年高考試卷第7頁共 13 頁620 -申600 -拿*580 5604540520 r500 -*號34 36 38 40 42 44 46 4S 50 52 54 56年獪傳費/千

9、元 _r xU yU w8(Xix)2i 18(Wiw)i 18(x x)(yiy)i 18(Wiw)(yiy)i 146.65636.8289.81.61469108.8廠ir8表中w = yjxi,w= w18i 1(I)根據散點圖判斷，y a bx與y c d.X哪一個適宜作為年銷售量 y 關于年宣傳費 x 的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(H)根據(I)的判斷結果及表中數據，建立y 關于 x 的回歸方程；(川)以知這種產品的年利率z 與 x、y 的關系為 z=0.2y-x。根據(n)的結果回答下列問題：(i )年宣傳費 x=49 時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？(ii

10、 ) 年宣傳費 x 為何值時，年利率的預報值最大？附：對于一組數據(U1vl) , ( U2V2).( Unvn),其回歸線 V=U 的斜率和截距的最小二乘估計分別為：工仙-u)(yt- v)4 -2015 年高考試卷第8頁共 13 頁fal(20)(本小題滿分 12 分). 2 2已知過點 A(0,1)且斜率為 k 的直線 I 與圓 C(x-2) +(y-3)=1 交于 M,N 兩點.(1)求 K 的取值范圍；uuuruur(2)若0MON=12，其中 0 為坐標原點，求丨 MN| .(21).(本小題滿分 12 分)設函數x。(I)討論f(x)的導函數f(X)零點的個數；2(n)證明：當a

11、 0時，f (x) 2a aln。a請考生在第 22、23、24 題中任選一題作答，如果多做，則安所做的第一題計分。作答時請寫 清題號。(22)(本小題滿分 10 分)選修 4-1 :幾何證明選講如圖，AB 是 OO的直徑，AC 是 OO的切線，BC 交 OO于點 E。(I)若 D 為 AC 的中點，證明：DE 是 OO的切線；(n)若 CA= . 3 CE 求/ ACB 的大小。(23)(本小題滿分 10 分)選修 4-4 ;坐標系與參數方程2 2在直角坐標系xOy中。直線C1:x 2，圓C2:x 1 y 21,以坐標原點為2015 年高考試卷第9頁共 13 頁極點，x軸的正半軸為極軸建立極

12、坐標系。(I) 求 G，C2的極坐標方程；(II )若直線C3的極坐標方程為R，設C2與C3的交點為M,N,求VC2MN的4面積(24)(本小題滿分 10 分)選修 4-5 :不等式選講已知函數f(x) | x 1| 2 | x a |, a 0.(1)當a 1時，求不等式f (x)1的解集；(n)若f(x)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍2015 年高考試卷第10頁共 13 頁2015 年文科數學參考答案選擇題(1) D(2) A(3) C(4) C(5) B(6) B(7) B(8) D(9) C(10) A(11) B(12)(二.填空題(13) 6(14) 1(15)

13、 4(16)12、6三解答題(17)解:(I)由題設及正弦定理可得b22ac又a b，可得b 2c,a 2ca2c2b2由余弦定理可得cosB2ac2(叮由(I)知b 2ac因為B 90，由勾股定理得a2c2b2故a2c22ac，得c a、2所以VABC的面積為 1(18)解:(I)因為四邊形 ABCD 為菱形，所以AC BD因為BE平面ABCD，所以AC BE，故AC平面BED又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.5 分(n)設AB x，在菱形ABCD中，由ABC 120，可得12 分AG GC-3x,GB2GD因為AEEC，所以在RtVAEC中，可得EG2015 年高考試卷第11頁共

14、 13 頁由BE平面ABCD，知VEBG為直角三角形，可得3 2故x 2.9 分從而可得AE EC ED ,6BE2x2由已知得，三棱錐E ACD的體積VE ACD1- ACgGDgBE6x362015 年高考試卷第12頁共 13 頁所以VEAC的面積為 3，VEAD的面積與VECD的面積均為.5故三棱錐E ACD的側面積為3 2 5.12 分(19)解:(I)由散點圖可以判斷，y c .x適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型.2 分(n)令w、興，先建立y關于w的線性回歸方程，由于8 _ _(Wiw)(yiy)i 1_8 _(wiw)2i 1108.81.668c y d w 56

15、3 68 6.8 100.6所以y關于wy 100.668w，因此y關于x的線性回歸方程y 100.6 68匸. 6 分(川)(i)由(n)知，當x 49時，年銷售量y的預報值Ay 100.6 68.49576.6年利潤z的預報值Az 576.6 0.2 49 66.32.9 分(ii)根據(n)的結果知，年利潤z的預報值Az 0.2(100.6 68 x) x x 13.6、x 20.122015 年高考試卷第13頁共 13 頁(20) 解:(I)由題設，可知直線I的方程為y kx 1因為I與C交于兩點，所以|2k3=“1Ji k2解得k 33(n)設M(xi,yj, N(X2,y2)(1

16、k2)x24(1 k)x 7(21) 解：所以，當、X13626.8，即x 46.24時，z取得最大值,故年宣傳費為 46.24 千元時，年利潤的預報值最大12 分所以k的取值范圍為(34,14.7)將y kx 1代入方程(x2)2(y3)21，整理得所以4(1 k)花和2ujuu unrOMgDNX1X22(1 k )x1x2k(x-iX2)由題設可得4k(1 k)1 k24k(1 k)1 k28 12,解得k 1，所以I的方程為y x 1故圓心C在I上，所以|MN | 212 分2015 年高考試卷第14頁共 13 頁(I)f (x)的定義域為(0,),f (x) 2e2x-(x 0)x當

17、a 0時，f (x)0,f (x)沒有零點；2 x當a 0時，因為e單調遞增，一單調遞增，所以f (x)在(0,)單調遞增，又f (a) 0,x2015 年高考試卷第15頁共 13 頁ai當b滿足0 b且b時，f (b)0,故當a 0時，f (x)存在唯一零點.6 分44(n)由(I),可設f (x)在(0,)的唯一零點為X)，當x (0, x0)時，f (x) 0；當x (x0,)時，f (x)0最小值為f (x0)2故當a 0時，f (x) 2a a Ina(22)解：(I)連結AE，由已知得，AE BC, AC在RtVAEC中，由已知得，DE DC連結OE，貝U OBE OEB又ACB

18、ABC 90，所以故OED 90o,DE是e O的切線.(n)設CE 1,AE x，由已知得AB 2 3, BE .12 x2由射影定理可得，AE2CEgBE，所以x2J12 x2，即x4x212 0可得x.3，所以ACB60o.-10 分(23)解：(I)因為xcos , ysin，所以G的極坐標方程為cos2,C2的極坐標方程為22 cos4 sin40.5分(n)將代入422cos 4 sin40,得23 240,解得22,22，故122，即| MN |2故f(x)在(0,x。)單調遞減，在(x。,)單調遞增，所以當x X0時,f (x)取得最小值,由于2e2x)ax0,所以f (x)2ax0al n22a2x)aaln -a2015 年高考試卷第16頁共 13 頁1由于C2的半徑為 1，所以VC2MN的面積為一.