1、（2016屆）本科畢業設計（論文）資料 題 目 名 稱：生長玻色-愛因斯坦凝聚體中的孤子幅度調控 學 院（部）： 理學院_ 專 業： 應用物理學_ 學 生 姓 名： 蘇桂華_ 班 級：_應物 1201 學號： 11411200108 指導教師姓名： 何章明_ 職稱： 講師_ 最終評定成績：_ 湖南工業大學教務處2016屆本科畢業設計（論文）資料第一部分 畢業論文（2016屆）本科畢業設計（論文）題 目 名 稱：生長玻色-愛因斯坦凝聚體中的孤子幅度調控 學 院 （部）： 理學院_ 專 業： 應用物理學_ 學 生 姓 名： 蘇桂華_ 班 級：應物1201 學號：11411200108 指導教師姓名

2、： 何章明_ 職稱： 講師_ 最終評定成績：_ 2016年 5 月湖南工業大學本科畢業論文（設計）誠信聲明本人鄭重聲明：所呈交的畢業論文（設計），題目生長玻色-愛因斯坦凝聚體中的孤子幅度調控是本人在指導教師的指導下，進行研究工作所取得的成果。對本文的研究作出重要貢獻的個人和集體，均已在文章以明確方式注明。除此之外，本論文（設計）不包含任何其他個人或集體已經發表或撰寫過的作品成果。本人完全意識到本聲明應承擔的責任。作者簽名：日期： 年 月 日湖南工業大學本科畢業設計（論文）摘要考慮BEC從外部熱原子云中吸收原子或者有原子耗散，利用相似變換法研究了BEC中孤子的動力學性質。結果表明：當BEC從外部

3、熱原子云中吸收原子時，亮孤子和黑孤子的幅度增加，寬度保持不變，而灰孤子的寬度和幅度都保持不變；當BEC中有原子耗散時，亮孤子和黑孤子的幅度減小，寬度保持不變，而灰孤子的寬度和幅度都保持不變。相關的研究結果可為BEC的孤子實驗控制提供幫助。關鍵詞：玻色-愛因斯坦凝聚；Gross-Pitaevskii方程；孤子ABSTRACTConsidering gain or loss, we study analytically the dynamics properties of bright solitons in Bose-Einstein condensates. It is shown that,

4、 the growing model has an important effect on the amplitude of the soliton in the condensates. In the absence of the growing model, the bright, black and gray solitons keep stable in the condensates. In the presence of the growing model, the obtained results show that the amplitude of the bright and

5、 black soliton decreases (increases) for the BEC growing coefficient, but the amplitude of gray soliton keeps unchanged. These results will provide help for experiments of BEC. Keywords: Bose-Einstein condensates; Gross-Pitaevskii equation; solitons目 錄第1章 緒論11.1 BEC的理論11.2 BEC的實驗簡介21.3 描述BEC性質的理論模型6

6、1.4 本文的研究內容及意義8第2章 BEC中孤子幅度調控92.1 生長BEC的模型92.2 亮孤子幅度操控102.3 暗孤子幅度操控12總結16參考文獻17致 謝1819第1章 緒論1.1 BEC的理論玻色-愛因斯坦凝聚（Bose-Einstein condensation , BEC）是物質的一種新的狀態，本質上屬于量子統計現象。BEC中宏觀數量的原子布居在基態，因此處在BEC狀態中的大量原子的行為和單個粒子很像。形成BEC有兩個條件：第一是系統溫度要求比某一個臨界值要低，即至少使這個環境溫度到達臨界溫度以下。將玻色的這個理論運用在原子氣體中，由此能夠推斷,在處于一般的正常溫度下時，氣體原

7、子能夠處在所有能級中的任意一個，但是大部分原子就會在突然間跌落到最低的能級上一旦氣體原子處在溫度非常低的情況下是，就好像一幢大樓忽然之間就坍塌了。一個大超級原子一般可用來描述處在這種狀態下的大量原子的行為。我們在討論這一個理論的時候之所以采用了量子統計的方法，前面我們說過是因為從本質上來說玻色-愛因斯坦凝聚體其實是一種量子統計現象。所以第二個條件是：粒子的德布羅意波長必需比粒子間的間距要長。這是是形成BEC的不可缺少的條件。從玻色-愛因斯坦統計理論出發，對于理想氣體在某一能級上的粒子數可以用下面公式來表示： , (1.1)式中是化學勢，且; k為玻耳茲曼常量。則系統的總粒子數表示為 , (1.

8、2)用表示基態上的粒子數，激發態上所有粒子數之和用表示，則總粒子數為 (1.3)而 (1.4)其中能級的微觀態數表示為，可設 （1.5）應該對的所有的微觀態求和。利用(1.5)式，有 （1.6）式中S表示自旋態，m表示質量，h是普朗克常數。表示這個稱為臨界溫度的特定溫度。當T<時，N(T)<N，其余粒子布居在基態。此時可推得 （1.7） （1.8）從上式可知，當溫度小于時，基態上面將有大量的粒子，這個現象就是玻色愛因斯坦凝聚，如體1.1所示。圖1.1玻色愛因斯坦凝聚示意圖1.2 BEC的實驗簡介玻色子都遵循的是統計規律，在溫度趨近絕對零度時(條件是非常的苛刻，一直到后來捕捉中性原子

9、技術和激光冷卻的出現，才提供了在氣體中實現玻色-愛因斯坦凝聚實驗所需要的條件)，玻色氣體中的原子將全部凝聚到能量的基態上。即當溫度趨向于絕對零度的時候，玻色氣體原子的統計性質在理想情況下形成的BEC，而沒有考慮原子之間的相互作用。要在試驗上能夠完成BEC，就需要對玻色氣體先進行稀釋、束縛而后進行冷卻，其中在技術上難度最大的是進行冷卻這個的過程，這也是確保BEC實驗能夠成功的關鍵地方。實驗上觀察到銣原子氣中實現了第一個BEC系統在1995年由國家標準技術研究所(NIST)的Wieman小組和美國科羅拉多大學實驗天體物理聯合研究所(JILA)首先報道了。2000年在實驗上發現BEC中的超流現象是在

10、繼液氦系統之后的第二種被發現的超流系統。和液氦系統相比較之后發現，BEC系統所具有的相互作用是非常弱的，因此更容易在理論上對其進行分析。與此同時，,BEC系統的很多的物理參數比如說動能、密度等等在都實驗上都是可調的。此外，進行與自旋相關的超流現象研究是能夠利用具有自旋的BEC系統的，例如不伴隨凈質量流的自旋超流及存在自旋-軌道耦合的BEC超流等都是可見的例子。相關的理論以及實驗和實踐任務仍在不斷地獲得更多的進展。目前的實驗報道，BEC實驗的實現基本環節大概如下所示：先通過激光冷卻原子，然后利用外部勢阱囚阱超冷原子，再進一步降低體系溫度，同時使得相空間密度有相應的提高，最后一步是采用光學的手段來

11、檢測有沒有形成目標BEC。在上述實現BEC的過程中包含了四種重要的實驗技術:磁束縛、激光冷卻、磁光阱和稀釋制冷、BEC的檢測。原子因具有磁矩而在磁場中產生相應的附加能量（）即磁束縛的基本原理，從而提供一個在空間上不均勻分布的磁場進而能夠產生相應的梯度力5。我們之所以需要使原子在磁場中心處的能量不高于磁場邊緣處的能量是因為實際上玻色氣體被實驗者限制在磁場的中心區域內。能夠實現的只有磁場邊緣高、強度中心低的磁場分布，因為氣體所存在的區域內是不存在任何電流的,因而只有磁矩與磁場方向反平行的原子才能夠被束縛。 圖1.2激光冷卻示意圖激光冷卻的原理基本就是原子在不需要激光作用時也可以發生的自發

12、輻射和在一個指定頻率的激光作用下的躍遷吸收。設置激光的頻率使之稍微低于受激吸收的本征頻率然后用該頻率的激光去照射指定的原子，如圖1.2所示。當原子的運動方向逆著激光照射時，因為光的多普勒效應作用，原子實際能夠接收到的光頻率就可以達到受激躍遷的本征頻率，從而原子在吸收光子之后能夠躍遷到較高能級；反之，當原子的運動方向順著激光的方向時，其所能夠接收到激光的頻率反而離本征頻率更遠，受激吸收因此就不能發生1。原子在吸收光子躍遷到較高能級后就會產生動量方向完全隨機地發射出光子的自發輻射。這兩個過程造成的總效果就是和激光運動的方向正好相反的原子獲得的動量與激光方向相同,由此和激光方向相反方向的速度就會減小

13、，但是在運動方向與激光方向相同時并不能夠得到加速。因此將兩個相對照射的激光設置在每一個自由度上則原子在該自由度上的速度就會變小。通常僅僅通過激光冷并不足以使氣體的溫度降到足夠發生BEC的溫度，但可以使用激光冷卻使氣體在被磁阱束縛前得到預冷Error! Reference source not found.。 圖1.3磁光阱示意圖目前實現BEC主要的實驗設備就是由激光(輻射場)和磁阱共同構成的一個系統，這個系統就是磁光阱，如圖1.4所示。在前文已經提及過磁阱的束縛作用，激光的作用除可以使原子發生能級間共振躍遷之外還可以束縛原子(在輻射場中的原子也會產生一定的附加能量,從而能有相應的梯度

14、力)9，其中,想要實現我們想要的原子在磁光阱中稀釋制冷的效果的主要原理就是原子在塞曼子能級之間的躍遷。 圖1.4稀釋制冷示意圖保留溫度較低的原子去除氣體中溫度高(動能大)的原子是稀釋制冷的大致的基本思路，這樣整體的進一步降低溫度就得到了實現。為了討論不是太復雜,一般只考慮那些有兩個投影方向(與磁場反平行和平行)的磁矩的原子。正如我們在前文所描述的那樣，當提供邊的磁場是緣強、中心弱的磁場時，那些磁矩方向與磁場方向平行的原子就會逸出，而會束縛住那些磁場和磁矩反平行的原子。原子即使是被束縛后也會遵循一定的速率分布，更靠近邊緣的都是那些是速率比較大的原子。同時，塞曼分裂的能極差會在磁場更強的

15、邊緣處變得更大，與此相對應的共振躍遷的激光頻率就會隨著變大。因而，要使特定磁場強度處的原子發生躍遷選擇激光頻率一定要恰當合適。通常用原子的磁量子數可以更加清楚簡便地標示塞曼能級，下、上能級分別與平行于磁場和原子磁矩反平行相對應。由此，使原子的磁矩發生反向是躍遷得出的結果。磁阱通常情況下只對磁矩與磁場反方向平行的那些原子才能發生束縛作用，所以如果磁矩發生反向的話，這部分之前被束縛原子就會因此從磁阱中逸出脫離束縛。在實際的操作中逐步稀釋降溫是平時最常使用的一個辦法，即把激光頻率逐步的減小，把原子按運動速率從高速到低速逸出來進行選取，到最后那些運動速率較慢的部分原子就被剩下，降溫到這步就基本完成了。

16、通過在磁阱中稀釋制冷的方法使玻色氣體的溫度降到10nK-100nK這個量級，最終低至BEC發生所需要的臨界溫度。 圖1.5 BEC的形成過程 在超冷原子囚禁中，“time-of-flight experiment” 基本的思路為:束縛磁場在磁光阱中完成降溫后撤除，是進行BEC觀測的一種常用方法10。這時候的玻色氣體將自發進行自由擴散運動，在經過一定的時間之后原子距離本來的磁場中心的距離將會和它的速率大小成正比發生變化。因此,處在激發態的原子因能量相對較高而距離中心相對較遠，而在基態的原子則因為能量較低將會集中在靠近中心的區域內。最終會得到反映了原子數密度的速率分布的一個在空

17、間上的原子數密度分布情況。如圖1.5，中心峰的尖銳程度可以反映發生凝聚的比例。通過分析該分布曲線進一步得到玻色氣體的溫度。 1.3 描述BEC性質的理論模型根據高等量子力學有 （1.9） （1.10）其中態上的原子密度由表示，求和符號中不包括態。包括所有態的湮滅算符。有外場時 （1.11）其中 （1.12）是BEC的波函數。外部熱原子的場算符用表示，并且 （1.13）將（1.11）式代入海森堡方程有 （1.14）其中，相互作用項為 （1.15）把（1.15）式代入（1.14），且有，所以有 （1.16）再把（1.5）式代入（1.16），利用，得到 （1.17）這就是BEC滿足的運動方

18、程。此外，在求非凝聚體的方程時 （1.18）這里用代替，的平均值等于零。而，即忽略場的漲落效應，有 （1.19） 將（1.16）式減去（1.17）式，再利用（1.18）式有 （1.20）在BEC形成之后，要比大得多，所以略去，有 （1.21）這就是Ginzburg-Pitaevskii-Gross（GP）方程，其中非線性系數。在沒有外部囚禁勢時，GP方程無量綱化可變為標準的非線性Schrödinger方程 （1.22）1.4 本文的研究內容及意義考慮BEC從外部熱原子云中吸收原子或者有原子耗散，利用相似變換法來研究BEC中孤子的動力學性質。探索BEC生長或者原子耗散對亮孤子和暗孤子性

19、質的影響，實現孤子性質的精確操控。相關結果可為BEC中的孤子實驗提供指導。第2章 BEC中孤子幅度調控實驗中成功地在超冷原子氣體中觀察到BEC以后，BEC的研究迅速成為凝聚態物理領域研究的熱點之一。BEC形成以后，會繼續從外部熱原子云吸收原子，即BEC的生長。BEC的生長已經在實驗中被證實。例如，23Na凝聚體的生長在1998年被克特勒領導的實驗小組觀測到，之后7Li凝聚體的生長也被Hulet帶領的實驗組發現。BEC除了生長，還會原子耗散。在此我們研究BEC的生長和耗散對BEC中孤子性質的影響。2.1 生長BEC的模型基于平均場理論，生長或耗散BEC的性質可用下面GP方程來描述 (2.1)其中

20、M為原子質量；Y是描述BEC的宏觀波函數；并且滿足， N為BEC中的原子數；是S-波散射長度；是常數；外部勢阱 選取如下. (2.2)其中和是諧振勢阱的軸向和橫向囚禁頻率，在此考慮，并設（2.1）式解為 . (2.3)橫向振動長度，將（2.3）式對時間T求導有. (2.4)將（2.3）式對空間求導有. (2.5)其中，把（2.4）和2.5式代入（2.1）式中可得 . (2.6)將（2.4）式兩邊同乘以 可得 (2.7)在（2.7）兩邊同時對Y， Z從零到正無窮積分，用到的積分變換：. (2.8)其中 ，把積分變換（2.6）式代入（2.5）式之后有 (2.9)隨后, 引入變量, 代入方程（2.9

21、）, 并考慮軸向囚禁頻率，可得, (2.10)其中, ， 本文中考慮BEC中原子間為相互吸引作用（）.2.2 亮孤子幅度操控基于相似變換法，當時，可得到(2.10)式的亮孤子解為 (2.11)其中，A、v是常數，。為了對比，首先研究了凝聚體中沒生長或者沒有原子耗散的情況，即，其他參數選取，然后根據（2.11）式畫出了圖2.1。從圖2.1中看到，在初始時刻BEC出現了一個亮孤子。隨著時間的推移，亮孤子向左邊傳播，并且在傳播過程中孤子的寬度和幅度都沒有發生改變，所以在凝聚體中沒生長或者沒有原子耗散時，BEC中的亮孤子在傳播過程中可保持動力學穩定。接下考慮凝聚體生長的情況，選取，其他參數選取與圖2.

22、1一致。根據（2.11）式畫出了圖2.2。從圖2.2中看到，隨時間的推移，BEC中的亮孤子向左邊傳播，并且隨著凝聚體不斷從外部吸收原子，孤子的幅度不斷增加，而寬度保持不變。最后考慮凝聚體中有原子耗散的情況，選取，其他參數選取與圖2.1一致。根據（2.11）式畫出了圖2.3。從圖2.3中看到，隨時間的推移，BEC中的亮孤子向左邊傳播，并且隨著凝聚體原子耗散，孤子的幅度不斷減小，而寬度也保持不變。圖2.1 BEC中亮孤子的穩定傳播圖2.2 BEC中亮孤子幅度增加圖2.3 BEC中亮孤子幅度減小2.3 暗孤子幅度操控同樣利用相似變換法，當得到(2.10)式的暗孤子解為 (2.12)其中，A和是常數。

23、當時，(2.12)式為黑孤子解，黑孤子幅度最小處為零；當時，(2.12)式為灰孤子解，灰孤子幅度最小處不為零。圖2.4 BEC中黑孤子的穩定傳播首先選取，來研究黑孤子的動力學行為。為了對比，先考慮凝聚體中沒生長或者沒有原子耗散的情況，即，其他參數選取與圖2.1一致，然后根據（2.12）式畫出了圖2.4。從圖2.4中看到，在初始時刻，一個黑孤子出現在了。隨著時間的推移，黑孤子可保持穩定。 圖2.5 BEC中黑孤子幅度增加接下考慮凝聚體生長的情況，選取，其他參數選取與圖2.1一致。根據（2.12）式畫出了圖2.5。從圖2.5中看到，隨時間的推移，BEC中的黑孤子位置仍保持不變。而隨著凝聚體不斷從外

24、部吸收原子，孤子兩邊的基底高度不斷增加，導致黑孤子的深度也不斷增加，即幅度也不斷增加，但是寬度保持不變。隨后考慮凝聚體中有原子耗散的情況，選取，其他參數選取與圖2.1一致。根據（2.12）式畫出了圖2.6。從圖2.6中看到，隨時間的推移，BEC中的黑孤子位置不變，孤子兩邊的基底高度不斷減小，導致黑孤子的深度也不斷減小，即幅度也不斷減小，但是寬度保持不變。圖2.6 BEC中黑孤子幅度減小為了研究灰孤子的性質，選取。為了對比，先考慮凝聚體中沒生長或者沒有原子耗散的情況，即，其他參數選取與圖2.1一致，然后根據（2.12）式畫出了圖2.7。從圖2.7中看到，在初始時刻，一個灰孤子出現在了。隨著時間的

25、推移，灰孤子向右邊傳播，而其幅度和寬度都沒有改變。這表明黑孤子可保持動力學穩定。接下考慮凝聚體生長的情況，選取，其他參數選取與圖2.1一致。根據（2.12）式畫出了圖2.8。從圖2.8中看到，隨時間的推移，BEC中的灰孤子位置仍向右邊傳播。而隨著凝聚體不斷從外部吸收原子，孤子兩邊的基底高度不斷增加，同時灰孤子的最小幅度處也隨著增加，即幅度保持不變，此外，寬度也保持不變。隨后考慮凝聚體中有原子耗散的情況，選取，其他參數選取與圖2.1一致。根據（2.12）式畫出了圖2.9。從圖2.9中看到，隨時間的推移，BEC中的灰孤子向右邊傳播，孤子兩邊的基底高度不斷減小，同時灰孤子的最小幅度處也隨著減小，即幅

26、度保持不變，此外，寬度也保持不變。所以，不論是凝聚體從外部吸收原子還是有原子耗散，灰孤子的幅度都保持不變。圖2.7 BEC中灰孤子的穩定傳播圖2.8 BEC吸收熱原子時灰孤子的動力學行為圖2.9 BEC原子耗散時灰孤子的動力學行為總結 考慮BEC從外部熱原子云中吸收原子或者有原子耗散，從三維GP方程出發，通過降維和無量綱化處理，得到了一維無量綱化的非線性薛定諤方程。利用相似變換法得到BEC的亮孤子和暗孤子解，然后根據得到的解析解數字計算了BEC中孤子的動力學性質。結果表明：當BEC從外部熱原子云中吸收原子時，亮孤子和黑孤子的幅度增加，寬度保持不變，而灰孤子的寬度和幅度都保持不變；當BEC中有原

27、子耗散時，亮孤子和黑孤子的幅度減小加，寬度保持不變，而灰孤子的寬度和幅度都保持不變。相關的研究結果可為BEC的孤子實驗控制提供幫助。參考文獻1 茅奕. 玻色愛因斯坦凝聚的實現及應用J. 北京：現代物理知識， 2000.2 謝世標. 玻色愛因斯坦凝聚的研究J. 廣西：廣西物理，2002.3 俞慧友. 非線性薛定諤方程的孤子微擾理論及應用D. 湖南：湖南師范大學, 2005.4 王育竹，徐震. 激光冷卻及其在科學技術中的應用J. 上海：物理學進展，2005，（04）: 347-358.5 Carr L D, Clark C W, Reinhardt W P. Stationary solution

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