1、1第八章 反常積分-廣義積分 1 廣義積分的概念與計(jì)算廣義積分的概念與計(jì)算 2 廣義積分的收斂判別法廣義積分的收斂判別法 3 習(xí)題課習(xí)題課2 1、給出了反常積分的概念。給出了反常積分的概念。2、給出了反常積分的計(jì)算。給出了反常積分的計(jì)算。3、給出了反常積分的斂散性判別方法給出了反常積分的斂散性判別方法。教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):反常積分的概念；反常積分的判斂方法。反常積分的概念；反常積分的判斂方法。要求要求:1、理解反常積分的概念。理解反常積分的概念。2、熟練掌握求反常積分的判斂方法，并會(huì)計(jì)算熟練掌握求反常積分的判斂方法，并會(huì)計(jì)算反常積分。反常積分。本章內(nèi)容、要求及重點(diǎn)本章內(nèi)容、要

2、求及重點(diǎn)3第一節(jié) 反常積分的概念與計(jì)算 1 無(wú)窮限的廣義（反常）積分無(wú)窮限的廣義（反常）積分 2 無(wú)界函數(shù)的廣義（反常）積分無(wú)界函數(shù)的廣義（反常）積分 3 小結(jié)小結(jié)4定義定義 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間), a上連續(xù)，取上連續(xù)，取ab ，如果極限，如果極限 babdxxf)(lim存在，則稱此極存在，則稱此極限為函數(shù)限為函數(shù))(xf在無(wú)窮區(qū)間在無(wú)窮區(qū)間), a上的廣義積上的廣義積分，記作分，記作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在時(shí)，稱廣義積分發(fā)散時(shí)，稱廣義積分發(fā)散.

3、.一、無(wú)窮限的廣義積分一、無(wú)窮限的廣義積分5類似地，設(shè)函數(shù)類似地，設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(b上連續(xù)，取上連續(xù)，取ba ，如果極限，如果極限 baadxxf)(lim存在，則稱此極存在，則稱此極限為函數(shù)限為函數(shù))(xf在無(wú)窮區(qū)間在無(wú)窮區(qū)間,(b上的廣義積上的廣義積分，記作分，記作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .6 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),(上連續(xù)上連續(xù), ,如果如果廣義積分廣義積分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收斂，則都

4、收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)稱上述兩廣義積分之和為函數(shù))(xf在無(wú)窮區(qū)間在無(wú)窮區(qū)間),(上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim極限存在稱廣義積分收斂；否則稱廣義積分發(fā)散極限存在稱廣義積分收斂；否則稱廣義積分發(fā)散. .7例例1 1 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22

5、8例例2 2 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 9例例 3 3 證證明明廣廣義義積積分分 11dxxp當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí)收收斂斂，當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散.證證, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此當(dāng)因此當(dāng)1 p時(shí)廣義積分收斂，其值為時(shí)廣義積分收斂，其值為11 p；當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)廣義積分發(fā)散時(shí)廣義積分發(fā)散.10例例 4 4 證證明明廣廣義義積積分分 apxdxe

6、當(dāng)當(dāng)0 p時(shí)時(shí)收收斂斂，當(dāng)當(dāng)0 p時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散.證證 apxdxe bapxbdxelimbapxbpe lim pepepbpablim 0,0,pppeap即即當(dāng)當(dāng)0 p時(shí)時(shí)收收斂斂，當(dāng)當(dāng)0 p時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散.11定義定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上連續(xù)，而在上連續(xù)，而在點(diǎn)點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無(wú)界取的右鄰域內(nèi)無(wú)界取0 ，如果極限，如果極限 badxxf )(lim0存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 badxxf)(. . badxxf)( badxxf )(lim0當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣

7、義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分12類似地，設(shè)函數(shù)類似地，設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),ba上連續(xù)，上連續(xù)，而在點(diǎn)而在點(diǎn)b的左鄰域內(nèi)無(wú)界的左鄰域內(nèi)無(wú)界. .取取0 ，如果極限，如果極限 badxxf)(lim0存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),ba上的廣義積分，上的廣義積分，記作記作 badxxf)( badxxf)(lim0. .當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .13設(shè)設(shè)函函數(shù)

8、數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上除除點(diǎn)點(diǎn))(bcac 外外連連續(xù)續(xù)，而而在在點(diǎn)點(diǎn)c的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)無(wú)無(wú)界界. .如如果果兩兩個(gè)個(gè)廣廣義義積積分分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都都收收斂斂，則則定定義義 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0否否則則，就就稱稱廣廣義義積積分分 badxxf)(發(fā)發(fā)散散. .定義中定義中C為為瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)，以上積分稱為，以上積分稱為瑕積分瑕積分.14例例5 5 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 為為被被積積函函數(shù)數(shù)的的無(wú)無(wú)窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)

9、. axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa .2 15例例 6 6 證證明明廣廣義義積積分分 101dxxq當(dāng)當(dāng)1 q時(shí)時(shí)收收斂斂，當(dāng)當(dāng)1 q時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散.證證, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此當(dāng)因此當(dāng)1 q時(shí)廣義積分收斂，其值為時(shí)廣義積分收斂，其值為q 11；當(dāng)當(dāng)1 q時(shí)廣義積分發(fā)散時(shí)廣義積分發(fā)散. 101dxxq16例例7 7 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(ln

10、lim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原廣義積分發(fā)散故原廣義積分發(fā)散.17例例8 8 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解.)1(3032 xdx1 x瑕點(diǎn)瑕點(diǎn) 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 18無(wú)界函數(shù)的廣義積分（無(wú)界函數(shù)的廣義積分（瑕積分瑕積分）無(wú)窮限的廣義積分無(wú)窮限的廣義積分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(

11、（注意注意：不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn)）：不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn)） badxxf)(三、小結(jié)三、小結(jié) 作業(yè)：作業(yè)：P368 2 ;3(3)(6)(8);4(1)(2)(5); 6(1)(4);12. 19思考題思考題積分積分 的瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？的瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？ 101lndxxx20思考題解答思考題解答積分積分 可能的瑕點(diǎn)是可能的瑕點(diǎn)是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是瑕點(diǎn)不是瑕點(diǎn), 101lndxxx的瑕點(diǎn)是的瑕點(diǎn)是. 0 x21一、一、 填空題：填空題：1 1、 廣義積分廣義積分 1pxdx當(dāng)當(dāng)_時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)_時(shí)時(shí)發(fā)散；發(fā)散；2 2、 廣義積

12、分廣義積分 10qxdx當(dāng)當(dāng)_時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)_時(shí)發(fā)時(shí)發(fā)散；散；3 3、 廣義積分廣義積分 2)(lnkxxdx在在_時(shí)收斂； 在時(shí)收斂； 在_ 時(shí)發(fā)散；時(shí)發(fā)散； 4 4、廣廣義義積積分分 dxxx21= =_ _ _ _ _；練練 習(xí)習(xí) 題題225 5、 廣廣義義積積分分 1021xxdx_ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 廣廣義義積積分分 xdttf)(的的幾幾何何意意義義是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 判判別別下下列列各各廣廣義義積

13、積分分的的收收斂斂性性，如如果果收收斂斂，則則計(jì)計(jì)算算廣廣義義積積分分的的值值：1 1、 0coshtdtept )1( p； 2 2、 222xxdx ；3 3、 0dxexxn（為為自自然然數(shù)數(shù)n） ；4 4、 202)1(xdx；235 5、 211xxdx； 6 6、 022)1(lndxxxx；7 7、 10ln xdxn. .三、三、 求當(dāng)求當(dāng)為何值時(shí)為何值時(shí)k，廣義積分，廣義積分)()(abaxdxbak 收斂？又收斂？又為何值時(shí)為何值時(shí)k，這廣義積分發(fā)散？，這廣義積分發(fā)散？四、四、 已知已知 xxxxxf2,120,210,0)(，試用分段函數(shù)表示，試用分段函數(shù)表示 xdttf)(. .24一、一、1 1、1, 1 pp；2 2、1,1 qq； 3 3、1,1 kk；4 4、發(fā)散；、發(fā)散； 5 5、1 1； 6 6、過(guò)點(diǎn)、過(guò)點(diǎn)軸軸平行于平行于 yx的直的直線左邊線左邊, ,曲線曲線)(xfy 軸軸和和 x所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . .二、二、1 1、12 pp； 2 2、 ； 3 3、!n； 4 4、