1、2021屆新人教B版 導數與函數的綜合問題 配餐作業配餐作業 (十六 ) 導數與函數的綜合問題1 (2021 沈陽模擬)據統計某種汽車的最高車速為120千米/小時，在勻速行駛時每小時的耗油量 y ( 升) 與行駛速度 x ( 千米/ 小時) 之間有133 如下函數關系：y = 128 000 80 + 8。甲、乙兩地相距 100千米。(1) 假設汽車以 40千米/小時的速度勻速行駛，那么從甲地到乙地需耗油多少升？(2) 當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解析：(1)當x = 40時，100 汽車從甲地到乙地行駛了 402.5( 小時) ，13 ? ? 3 需耗油

2、 128 000 X 408040+ 8? X 2.5 = 17.5(升)。? ?所以汽車以 40 千米/ 小時的速度勻速行駛，從甲地到乙地需耗油 17.5 升。(2) 當汽車的行駛速度為 x 千米/ 小時時，100 從甲地到乙地需行駛 x設耗油量為 h (x ) 升，依題意，13? ? 1*? x x + 8 得 h (x )= 128 000 = 1 280x + x 4, 0v80? ? xx 120,33x 800x 80h (x )= 640 x 640x v x 0, h (x ) 是增函數，所以當 x = 80 時，h (x ) 取得最小值 h (80) =11.25。所以當汽車

3、以 80千米/小時的速度行駛時,從甲地到乙地耗油最少，最少為 11.25 升2 . (2021 長春模擬)設函數f (x )為實數。=In x ax , g (x )= e x ax ,其中 a(1) 假設 f (x )求 a 的取值范圍。在(1 ，+)上是單調減函數，且g (x ) 在(1，+O)上有最小值，(2) 假設 g (x ) 的結論。在( 1,+)上是單調增函數，試求f (x )的零點個數，并證明你1解析： (1)f(x )=x a W0在(1 , +)上恒成立，1那么 a x ,x (1,+x)，故 a 1。g (x )= e x a ，假設 1 w a w e那么 g (x )

4、=e xa 0在(1 , +)上恒成立，此時， g (x )=e xax在(1 ,+)上是單調增函數，無最小值，不合題意；假設 a e , 1上是單調增函數，那么 g (x )= e x ax 在 (1 ， In a ) 上是單調減函數，在(Ina ，+Og (x ) min= g (Ina )，滿足題意。故 a 的取值范圍為 ae 。(2)g (x )= e xa0在(1,+)上恒成立，1那么 a we x，故 awe ，1ax 1f (x )=x a =x x 0) 。1( i )假設 0va We1? ? 令 f(x ) 0得增區間為0, a ? ;? ? 1?令 f (x ) v0得減

5、區間為a ,+*?。? ?當x -0時,f (x )OO-)當 X 7十8時，f (x ) f 8;? 1? 1 當 x = a f a ? =- In a 10,當且僅當a = e時取等號。1 故當a = e時，f (x ) 有1個零點；1 當Ovave f (x ) 有2個零點。(ii) 假設 a = 0 時，貝V f (x )= In x ,易得f (x ) 有1個零點。(iii) 假設 a v 0,1 那么f (x )= x a 0在(0，+)上恒成立，即f (x )= In x ax在(0,+)上是單調增函數，當 x f0 時，f (x )f s；當 x + 時，f (x ) f+s

6、。此時， f (x ) 有1個零點。1 綜上所述，當a = e或a W0時，f (x ) 有1個零點；1 當 0va ve f (x ) 有2個零點。3 . (2021 山西四校聯考)f (x )= In x x + a + 1。(1) 假設存在x (0，+s)使得f (x )0成立，求a的取值范圍;11(2) 求證：當 x 1時，在(1)22 +ax a x In x +2解析： (1) 原題即為存在 x 0，使得 In x x +a +10，二a In x + x 1，令 g (x )= In x + x 1，x 11 那么 g (x )= x 1x令 g (x )= 0，解得 x =1。

7、當 0v x v 1 時，g (x ) v 0, g (x ) 為減函數，當x 1時，g (x ) 0，g (x ) 為增函數，g (x ) min = g (1) = 0，a g (1) = 0。故 a 的取值范圍是 0，+s) 。(2) 證明：原不等式可化為121x+ ax x In x a 22 0(x 1, a 0)121 令 G (x )= 2x + ax x In x a 2G =0。由(1) 可知 x In x 1 0，那么 G (x )= x + a In x 1 x In x 1 0, G (x )在(1 ,)上單調遞增， G (x ) G (1) = 0 成立，1212+

8、ax x In x a 20 成立，121 即 2ax a x In x2x + 14. (2021 東北三校聯考)函數f (x )= e為自然對數的底數) 。(1) 求函數 f (x ) 的單調區間；1(2) 設函數 0 (x )= xf (x )+ tf (x ) e，存在實數 x 1 , x 2 0, 1，使得20 (x 1) 0 (x 2)成立，求實數t的取值范圍。x 解析：(1) t函數的定義域為R , f (x ) = e當 x 0,當 x 0 時，f (x ) 0,f (x ) 在(a, 0)上單調遞增，在(0，+)上單調遞減。(2) 假設存在 x 1 , x 2 0,1 ,使得

9、 20 (x 1)0 (x 2) 成立,那么 2 0 (x )min 0 (x )max 。2x + (1 t )x + 1 x t 0 (x )= xf (x )+ tf (x )+ e=, e x 2 + (1 +t )x t (x t )(x 1) 0 (x )。 e e 當 t時，0 (x )0,0 (x )在0,1 上單調遞減,e 20 (1) 3 21 。當t W0時，0 (x ) 0, 0 (x )在0,1上單調遞增， 2( (0) v (1)，即 t v 3 2e v 0o當0v t v 1時，假設 x 0 ,t ) , (x ) v 0,0 (x) 在0,t ) 上單調遞減；

10、假設 x (t, 1, (x ) 0, 0 (x )在(t, 1上單調遞增，所以 20 (t )v max0 (0) ，0 (1) ，?t 13t ? ? ,(*)即 e max ? 1, e ? ?t+ 1由 知，g (t)= e 0,1上單調遞減，t+ 1423 t 3 故 ee2,而 e e e所以不等式(*)無解。e ? ?綜上所述，存在t ( a, 3 2e) U 3 2?，使得命題成? ? 立。5 . (2021 皖南名校聯考)函數f (x )= ax In x (a工0, a R ) 0 時，f (x ) a (x 1)；x 1(2) 當 x (1 , e) 時,不等式 a v

11、In x 恒成立,求實數 a 的取值范 圍。解析：(1)證明：依題意，要證f (x )a (x 1),即證 ax ln x a (x 1)；因為 a 0,即證 x ln x x 1,即證 x ln x x +1 0o令 g (x )= x ln x x + 1,故 g (x )= ln x + 1 1 = ln x ,故 g (x ) 在(0,1) 上單調遞減,在(1 ，a) 上單調遞增，故g (x )mi n = g (1) = 0,故當 a 0 時，g (x )0,即 f (x ) a (x 1)x 1(2)當a 0時，a In x在(1 , e)上恒成立，故 a 0時，因為x (1 ,

12、e),x 1x 1 故 In x 0,故 a In x 。x 1x In x x + 1 令 h (x )= In x h (x ) = x (In x ) 由(1)可知，當 x (1 , e) 時,x In x x + 1 0,故 h (x ) 0,x 1故h (x )= In x (1, e)上單調遞增，故 h (x ) e 1,故實數a的取值范圍是e 1,+) U ( a,0)。6. (2021 湖北八校聯考)函數f (x )= e x , x R。(1) 假設直線 y = kx 與 f (x ) 的反函數的圖象相切,求實數 k 的值；(2) 假設 m 0,h (x ) 在(a, 0)上

13、單調遞增；當 x (0,2)時，h (x ) 0,h (x ) 在(2 ,+a)上單調遞增。e 2 h (x ) 在(0,+)上有極小值為 h (2) = 4? e ? e當m 4, 0?時，函數h (x )= x與函數y = m圖象交點的個? ? 2x數為 1；e 2e x當m = 4函數h (x ) x 與函數y = m圖象交點的個數為2;e ? ?當 m R, 4 時，？ ？函數 h (x ) x 與函數 y =m 圖象交點的個數為 3。？ ？ 綜上所述,當 m R, 4 時,函數 g (x ) 有三個零點;模擬)函數 f (x )= e x x 2 +a , x R 的圖象在點 x=

14、0 處的切線為 y = bx(1)求函數 f (x )的解析式;(2)當 x R 時,求證：f(x ) x 2 + x ;(3)假設 f (x ) kx 對任意的 x (0 ,+R ) 恒成立,求實數k 的取值范圍。e ？ 當 m 40？ 時函數 g (x )o解析： (1)f (x )當m = 4g (x ) 有兩個零點;有一個零點。？ ？ 2227. (2021 哈爾濱六中=e x x 2+ a , f (x )= e x 2x ,=1，由？解得？ ？f (0) = 1 = b , ? ? ? b？ ？ ？ f (0) = 1+a =0, ？ a=1,故 f (x )= e x x 2 1

15、 。(2) 證明：令 g (x )= f (x )+x 2 x =e x x 1,由 g (x )= e x 1 = 0 得 x = 0。當 x ( R,0時，g (x ) v 0, g (x )單調遞減；當 x (0 , +R)時，g (x ) 0, g (x )單調遞增。 g (x ) min=g (0) = 0,從而 f (x ) x 2 +x 。f (x )(3)f (x ) kx 對任意的 x (0 ,+R ) 恒成立 ？ x k 對任意的 x (0 ,+)恒成立，f(X ) 令 0(X )= X, x 0,0 (x )= xf (x ) f (x )x= x (e x 2x ) (

16、e x x 2 1)X =(x 1)(e xx 1) , x由 可知當x (0 , +R)時，e 2 x 10恒成立,令 g (x ) 0，得 x 1 ； g (x ) v 0 得 0v x v 1 ， g (x )的增區間為(1 ,),減區間為(0,1) , g (x ) min = g =0, k v g (x ) min = g =0,實數k的取值范圍為(一R, 0)。8. (2021 河南八市質檢)函數f (x )= ( x 2 + x 1)e x ，其中e是自然對數的底數。(1) 求曲線 f (x ) 在點(1 ，f (1) 處的切線；1312(2)假設方程 f (x )= 32x

17、m 有 3 個不同的根，求實數m 的取值范圍。解析：(1) 因為 f (x )=(x 2 x 1)e x ，所以 f (x )= (2x 1)e x (x 2 x 1)e x = (x 2 x )e x 。所以曲線f (x ) 在點(1 , f (1)處的切線斜率為k = f (1) = 2e。又 f (1) = e ，所以所求切線方程為 y e = 2e(x 1) ，即 2e x y e = 0(2) 因為 f (x )= ( 2x + 1)e x + ( x 2 + x 1)e x = ( x 2 x )e x , 當x v 1 或 x 0 時，f (x ) v 0；當一1 v x v 0 時，f (x ) 0,所以 f (x )= ( x 2 x 1)e x 在 ( R， 1) 上單調遞減，在上單調遞增，在(0 ，R ) 上單調遞減，所以 f (x ) 在 x = 1 處取得極小值 f ( 1) = 3e在x = 0處取得極大值f (0) =- 1。令 g (x )= 133+ 122+ m，得 g (x ) = x 2 + x。當 x v 1 或 x 0 時，g