1、初等數論考試試卷 1一、單項選擇題（每題3分，共18分）1、如果 ba , ab，則（）.A a =bb a=-bc a _b d a=b2、如果 3n , 5n，則 15 （） n.A整除 B不整除 C等于 D不一定3、 在整數中正素數的個數（）.A有1個 B有限多 C無限多 D不一定4、如果a =b（m°dm）,c是任意整數，則Aac 三bc（modm） B bCacbc（modm）D a=b5、 如果（）,則不定方程ax by =c有解A（a, b）c B c（a,b） CacD （a,b）a6、整數5874192能被（）整除.A 3 B 3 與 9 C 9 D 3 或 9二、

2、填空題（每題3分，共18分）1、素數寫成兩個平方數和的方法是（）2、 同余式axF=0（modm）有解的充分必要條件是（）.3、 如果a,b是兩個正整數，則不大于a而為b的倍數的正整數的個數為（）.4、 如果P是素數,a是任意一個整數，則a被P整除或者（）.5、 a,b的公倍數是它們最小公倍數的（）.6、如果a,b是兩個正整數，則存在（）整數q,r ,使a=bqj,ozr b.三、計算題（每題8分，共32分）1、求136,221,391=?2、求解不定方程9x 21y =144.3、解同余式 12x 15=°（mod45）.4294、求563 ,其中563是素數.（8 分） 四、證明

3、題（第 1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32分）1證明對于任意整數23n n n+ +n ,數326是整數.2、 證明相鄰兩個整數的立方之差不能被5整除.3、證明形如4n -1的整數不能寫成兩個平方數的和試卷1答案一、單項選擇題（每題3分，共18分）1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B二、填空題（每題3分，共18分）1、素數寫成兩個平方數和的方法是（唯一的）2、同余式axFOgodm）有解的充分必要條件是（a，m）b）.3、 如果a,b是兩個正整數，則不大于a而為b的倍數的正整數的個數為4、 如果P是素數,a是任意一個整數，則a被P整除或者（與P互素）.5、 a,b

4、的公倍數是它們最小公倍數的（倍數）.6、 如果a,b是兩個正整數，則存在（唯一）整數q,r ,使a =bq r, o =（申）.三、計算題（每題8分，共32分）1、求136,221,391=? （ 8 分）解136,221,391=136,221,391136 221 ,391= 17 =1768,391（41768 391=104 391=40664.（4分）2、求解不定方程9x 2y =144.（ 8 分）解：因為（9, 21） =3, 3144，所以有解； （2分）化簡得 3x，7y=48 ； （1 分）考慮 3x7yT，有 x = _2,， （2 分）所以原方程的特解為 x二6, y

5、=48， （ 1分）因此，所求的解是 x=T6 Pt, y =48-3t,tZ 。 （2分）3、解同余式 12x 15=0（mod45）.（8 分）解因為（12,45）=3|5,所以同余式有解，而且解的個數為3. （ 1分）又同余式等價于4x 5 =°（mod15）,即4x5=15y. （ 1 分）我們利用解不定方程的方法得到它的一個解是（10,3）, （2分）即定理4.1中的X。=10 .（1分）因此同余式的3個解為x 三 1°(mod 45)(1 分)=1°45 (mod 45) = 25(mod 45)3(1 分)三 1°245 (mod 45)三

6、 4°(mod 45)3(1 分)4294、求563 ,其中563是素數.（8 分）429解把563看成Jacobi符號，我們有429 A 563 4429 十 1)丁.丁 563563429=563 =型=2竺十° 8429429429 429<429 J（3 分）67 1 429 1-一429 )*429 )I 67丿167丿27 J67 J-I = 一（一1）<67；' 丿27 丿 <27；即429是563的平方剩余.- （2 分）（2分）（1分）四、證明題（第 1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32分）1、證明對于任意整數23

7、n nn+ +n ,數3 26是整數.(10分)3.(2 3nn2) - n(n 1)( n 2)證明因為326 =6=62n n_(3 分)而且兩個連續整數的乘積是2的倍數,3個連續整數的乘積是 3的倍數,并且（2,3）=1,一-（2 分）（1分）所以從 2n(n +1)(n +2)和 3n(n + 1)(n +2)有6n(n +1)(n + 2)(3 分)23n n n+即326是整數.(1 分)2、 證明相鄰兩個整數的立方之差不能被5整除.（11分）證明因為（n1）3-n3=3n_3n1, （3分）2所以只需證明3n 3n 1 .（mod 5）.而我們知道模5的完全剩余系由-2,-1,0

8、,1,2 構成，2所以這只需將n=0, ± 1, ± 2代入3n 3n 1分別得值1，7，1，19，7.2對于模5, 3n ，3n 7的值1，7，1，19，7只與1，2，4等同余，所以 3n 3n 1 （mod 5） （ 7 分）所以相鄰兩個整數的立方之差不能被5整除。 （1分）3、 證明形如4n -1的整數不能寫成兩個平方數的和.（11分）證明設n是正數，并且門一 T（mod4）, （ 3分）如果2+2n 二x y ,（1 分）則因為對于模4, x，y只與o,i,2,-i 等同余，2 2所以x , y只能與o,i同余,所以2 2x y 三 0,1,2(mod 4), (

9、4分)而這與n = "(mod 4)的假設不符， (2分)即定理的結論成立(1 分)初等數論考試試卷二一、單項選擇題1、（0,b）二（）.Ab B_bCb D 02、如果（a, b） =1，則（ab, a b）=（）.A a B b C 1 Dab3、小于30的素數的個數（）.A 10 B9C8D74、如果a三b（modm）,c是任意整數 貝UA ac 三bc（modm）B a =b C ac . bc（modm） D a 嚴b5、不定方程 525x 231y=210 （）.A有解 B 無解 C有正數解D有負數解6、整數5874192能被（）整除.A 3 B 3 與 9 C 9 D

10、3 或 97、如果 ba , ab，則（）.A a=b B a-七 C a_b D a-_b8、 公因數是最大公因數的（）.A 因數 B倍數 C相等 D不確定9、大于20且小于40的素數有（）.A 4個 B 5個 C 2個 D 3個10、 模7的最小非負完全剩余系是（）.A -3, -2,-1,0,1,2, 3 B11、因為（）,所以不定方程-6, -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5, 612x 15y =7沒有解.0,1,2,3,4, 5, 6A 12 , 15不整除7C 7不整除(12, 15)B (12, 15)不整除7D 7不整除12 , 1512、同余式 x2 三4

11、38(mod593)()二、填空題1有理數-,0 a b,（a,b）=1，能寫成循環小數的條件是（）b2、 同余式12x 75三0（mod45）有解，而且解的個數為 （）.3、不大于545而為13的倍數的正整數的個數為 （）.4、 設n是一正整數，Euler函數：:（n）表示所有（）n，而且與n （）的正整數的個數.5、設 a,b 整數，則（a,b） （）= ab.6、一個整數能被 3整除的充分必要條件是它的（）數碼的和能被3整除.7、x =x-（）.8、同余式111x三75（mod321）有解,而且解的個數（）.9、在176與545之間有（）是17的倍數.10、如果 ab 9則a,b（a,b）=（）.11、 a,b的最小公倍數是它們公倍數的（）.12、如果（a,b） =1,那么（ab,a b）=（）.三、計算題1、求24871與3468的最小公倍數?2、求解不定方程107x，37y=25.（ 8分）3、求429 ,其中563是素數.（8分）1563 丿4、解同余式 111x 三 75（mod321） .（ 8 分）5、求525,231=?6、求解不定方程 6x-11y=18.7、判斷同余式 x2三365（mod1847）是否有解？8、求11的平方剩余與平方非剩余.四、證明題1、 任意一個n位數anan/a2a1與其按逆字碼排列得到的數a1a anan的差必是9