1、暑假作業(yè)04-角平分線(xiàn) 一、單選題1.如圖所示，OP平分/? ?L ?”? ?垂足分別為 A、B.下列結(jié)論中不一定成立的是（）.A.?=?C.?2?3.如圖，AD是叢BC的角平分線(xiàn)，DELAB,B.PO 平分 / ?D.AB垂直平分OPEC=1,則OF的長(zhǎng)為（).D.4AB = 6cm , DE = 4cm , Szabc = 30cm2,貝U AC 的長(zhǎng)為(C.4.5cmD.3cm)個(gè).C.3D.44 .如圖是三條兩兩相交的筆直公路，現(xiàn)要修建一個(gè)加油站，使它到三條公路的距離相等，這個(gè)加油站的位置共有（5 .三角形ABC的三條內(nèi)角平分線(xiàn)為 AE、BF、CG ,下面的說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（）4AB

2、C的內(nèi)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到三邊距離相等三角形的三條內(nèi)角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)三角形的內(nèi)角平分線(xiàn)位于三角形的內(nèi)部三角形的任一內(nèi)角平分線(xiàn)將三角形分成面積相等的兩部分.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)6 .如圖，在？? / ?90 ,點(diǎn)？要/ ? ?線(xiàn)的交點(diǎn)，且？?？ 4cm, ?= 5cm,貝U點(diǎn)？到邊？?距離為（）A. 1cmB.2cmC.3cmD.4cm二、填空題7 .如圖，/AOB=60 CD/OA 于 D/CE/OB 于 E,且 CD=CE,則 /DOC=8 .如圖，在四邊形 ABCD中，/ A = 90； AD = 3,連接BD, BD CD, /ADB = /C.若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則 DP長(zhǎng)的

3、最小 值為:9 .如圖，AABC中，AC = BC, /C=90度，AD平分/ CAB, DELAB,若AB=20厘米，貝U /9EB的周長(zhǎng)為 厘米.10 .如圖所示，在?, / ? 90 , /?= 30 ,以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N再分另U以MN為1圓心，大于 廣?酌長(zhǎng)為半徑回弧，兩弧交于點(diǎn) P,連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D,則下列說(shuō)法中正確的有 AD是/?平分線(xiàn)； /?=?60;點(diǎn)D在A(yíng)B的中垂線(xiàn)上；？2 ?：? ? 1:3三、解答題11 .已知直線(xiàn)？ 繆于點(diǎn)？ ? ?吩另J在？? ？社.求作點(diǎn)？使？?？ ？?？且？到?12 ?勺距離相等.12 .如圖，已知 O

4、B=90 ； OM是/AOB的平分線(xiàn)，將三角尺的直角頂點(diǎn)P放在射線(xiàn)OM上，兩直角邊分別與 OA, OB交于點(diǎn)C, D.(1)證明：PC=PD.(2)若OP=4,求OC+OD的長(zhǎng)度.13 .如圖，AABC中，AB=11 , AC= 5 , / BAC的平分線(xiàn)AD與邊BC的垂直平分線(xiàn) DG相交于點(diǎn)D ,過(guò)點(diǎn)D分別作 DEXAB , DFXAC ,垂足分別為 E 、 F,求BE的長(zhǎng)度.14 . (1)已知如圖所示，在四邊形 ABCD 中，？? ? ? ?L? BD 平分/ ?球證：/ ?2 ?180 .(2)如圖所示，D, E, F分別是 ?三邊上的點(diǎn)，？?撕 ?的面積相等，求證： AD平分/?A.

5、?= ?C.?2 ?【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得出).C.3D.4暑假作業(yè)04-角平分線(xiàn)一、單選題1.如圖所示，OP平分/? ?L ?”? ?垂足分別為 A、B.下列結(jié)論中不一定成立的是（）.B.PO 平分 / ?D.AB垂直平分OPPA=PB,再利用“ HL”證明 AOP和ABOP全等，可得出/?=?/?OA=OB ,即可得出答案.【詳解】解：；OP 平分 /?L? ?= ?選項(xiàng) A 正確；在 AOP和ABOP中，?= ?= ? A? ?. /?=?/?OA=OB ,選項(xiàng) B, C 正確；由等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，OP垂直平分AB, AB不一定垂直平分

6、 OP,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)定理是解此題的關(guān)鍵.2.如圖，/ ?也？?？?l50, ?M?L?點(diǎn) C,若 EC=1,貝U OF 的長(zhǎng)為（【解析】EG的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到/OEF = /COE = 15。，然后利用三角形的外【分析】作EGLOA于G,根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到 角和內(nèi)角的關(guān)系求出/ EFG=30 ,利用30角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半解題.【詳解】作EGLOA于G,如圖所示：. EF/OB, / AOE = /BOE= 15/ OEF = /COE = 15 , EG = CE=1,. / AOE =15

7、 ,EFG= 15 + 15。= 30 ,EF= 2EG = 2.:/ AOE =/ OEF= 15OF= EF =2故選B.【點(diǎn)睛】是解本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、含 30。角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)，證出/ EFG=30 決問(wèn)題的關(guān)鍵.3.如圖，AD 是公BC 的角平分線(xiàn)，DELAB, AB = 6cm , DE = 4cm, Szabc = 30cm2,貝 U AC 的長(zhǎng)為（）【答案】BC. 4.5cmD. 3cm【解析】【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)求出 DF,根據(jù)三角形面積公式求出 ABD的面積，求出 ADC面積，即可求出答案.【詳解】過(guò)D作DFXAC于F,A

8、D是4ABC的角平分線(xiàn)，DEXAB ,DE =DF = 4, 11 Saadb = 2AB X DE = 2 x 6X4=12, . A ABC的面積為30,.ADC 的面積為 30-12=18, .1 2ACXDF=18,2AC X4=18, .AC = 9故選：B.【點(diǎn)睛】 本題考查的是角平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟知角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.4 .如圖是三條兩兩相交的筆直公路，現(xiàn)要修建一個(gè)加油站，使它到三條公路的距離相等，這個(gè)加油站的位置共有（A. 1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，分別作三角形的內(nèi)角平分線(xiàn)與外角平分線(xiàn)可得

9、答案.【詳解】如圖所示，作三角形的內(nèi)角平分線(xiàn)與外角平分線(xiàn)，交點(diǎn)分別為Pl, P2, P3, P4,P4到三條直線(xiàn)的距離相等,根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，可知 Pl, P2, P3, 所以符合條件的位置共有 4個(gè)，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，熟記角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.5 .三角形ABC的三條內(nèi)角平分線(xiàn)為 AE、BF、CG ,下面的說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（）4ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到三邊距離相等三角形的三條內(nèi)角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)三角形的內(nèi)角平分線(xiàn)位于三角形的內(nèi)部三角形的任一內(nèi)角平分線(xiàn)將三角形分成面積相等的兩部分.A. 1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【答案】B【解析】【分

10、析】畫(huà)出圖形，設(shè)。為/ BAC的角平分線(xiàn)和/ ACB的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，過(guò) 。作ONLAB于N, OM，BC于M , OQ，AC于Q ,求 出ON=OM=OQ ,判斷即可.【詳解】.設(shè)。為/BAC的角平分線(xiàn)和/ ACB的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，過(guò) 。作ONLAB于N, OM，BC于M , OQLAC于Q,ON=OQ , OQ=OM ,ON=OM=OQ ,.ABC的三個(gè)內(nèi)角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，：錯(cuò)誤；ON AB , OM BC, ON=OM ,.O在/ABC的角平分線(xiàn)上，即。是4ABC的三個(gè)角的平分線(xiàn)交點(diǎn)，.正確；三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)都在三角形的內(nèi)部，：正確；三角形的任意中線(xiàn)把三角

11、形的面積分為面積相等的兩部分，而三角形的任意角平分線(xiàn)不一定把三角形的面積分成面積相等的兩部分，：錯(cuò)誤；a故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的角平分線(xiàn)性質(zhì)和三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力和辨析能力，熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.6.如圖，在？?？ / ?90 ,點(diǎn)？要/ ? ?游線(xiàn)的交點(diǎn)，且 ？?？ 4cm, ?= 5cm,貝U點(diǎn)？到邊？?距離為(CBA. 1cmB.2cmC.3cmD.4cm【答案】A【解析】【分析】過(guò)。作OPLAB,連接OB,根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得點(diǎn)。到邊AC、BC、AB的距離相等，,結(jié)合三角形面積的不同求法列式求出OP,即可得出答案.【詳解】解：點(diǎn)。為/CAB與/

12、ACB的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，:點(diǎn)O在/ABC的角平分線(xiàn)上，:點(diǎn)。到邊AC、BC、AB的距離相等，過(guò)。作OPLAB ,連接OB,11 11 _SZABC = S；AAOC + SZOAB+ SAQBC = 2OP?AC+ 2OP?AB + 2OP?BC= -OP? (AB + BC + AC),又AC = 5cm, BC=4cm, /B = 90,AB =3cm,.11 _ _ .2X 3X4-?OP (3+4 + 5),解得：OP=1,：點(diǎn)？?U邊？?？距離為1cm,故選：A.【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形面積的求法，正確表示出三角形面積是解題關(guān)鍵.二、填空題7.如圖，/AOB=60

13、 CD/OA 于 D/CE/OB 于 E,且 CD=CE,則 /DOC=【答案】30 【解析】【分析】由CDLOA于D/CE XOB于E,且CD=CE ,可判斷OC為角平分線(xiàn)，即 /?笠?! / ?【詳解】 CDXOA 于 D/CELOB 于 E,且 CD = CEZOC 平分/ AOB/即/?；/?1x 60 = 30 ：故答案為30 .【點(diǎn)睛】考查角平分線(xiàn)的判定與性質(zhì)，角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線(xiàn)上8 .如圖，在四邊形 ABCD中，/ A = 90； AD = 3,連接BD, BD CD, /ADB = /C.若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則 DP長(zhǎng)的最小【解析】【分析】根據(jù)等角的余角相

14、等求出/ ABD = / CBD,再根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知 DPXBC時(shí)DP最小，然后根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距 離相等可得 DP = AD.【詳解】/BD/CD, /A = 90,ZZABD+ZADB = 90, /CBD+/C=90,/ZABD= /CBD,由垂線(xiàn)段最短得，DP /BC時(shí)DP最小, 此時(shí)，DP = AD = 3.故答案為：3.【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：角平分線(xiàn)性質(zhì).運(yùn)用角平分線(xiàn)性質(zhì)得到線(xiàn)段相等是關(guān)鍵.9 .如圖，叢BC中，AC = BC, /C=90度，AD平分/ CAB, DELAB,若AB=20厘米，貝U /9EB的周長(zhǎng)為 厘米.【答案】20.【解析】【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)上的

15、點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得CD=DE ,然后利用“ HL”證明RtAACD和RtAAED全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AC=AE ,再求出 DBE的周長(zhǎng)=AB ,從而得解.【詳解】/ C=90, AD 平分/ CAB , DEAB ,：CD=DE, / ACD = / AED=90 , AD=AD A ACDA AEDAE = AC ,AC = BC,AE = BC,AB =20 厘米,. .DEB 的周長(zhǎng)為：DE+BD+BE =AD+BD+BE = BC+BE = AE+BE = AB = 20 （厘米）.故答案為：20.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形

16、的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出 DBE的周長(zhǎng)=AB是解題的關(guān)鍵.10 .如圖所示，在?, / ? 90 , /?= 30 ,以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N再分另以MN為圓心，大于1?酌長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P,連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D,則下列說(shuō)法中正確的有 .AD是/?平分線(xiàn)； /?=?60;點(diǎn)D在A(yíng)B的中垂線(xiàn)上；？2 ? ?-= 1:3【答案】【解析】【分析】根據(jù)題目中尺規(guī)作圖的步驟即可判斷出AD是/?并分線(xiàn);利用直角三角形兩銳角互余求出/?呦度數(shù)，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出/?渤度數(shù)，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可得出結(jié)論；通過(guò)角平分線(xiàn)的定

17、義能夠得出/?= /?=?30,則？?2 ?除后根據(jù)垂直平分線(xiàn)性質(zhì)定理的逆定理即可得出結(jié)論;根據(jù)含 30的直角三角形的性質(zhì)得出 ？?？ ？?？ 2?則？?2 3?又因?yàn)??相同，則 ?積之間的關(guān)系可求.【詳解】由題干可知，AD是/?并分線(xiàn)，故正確； /? 90 , /?= 30/?90 - /? 60.AD 平分/ BAC 1/?=?/?=?_ / ?30。：? 2?Z?30 - /?50 ,故正確；,. /?/ ?30 ：?2 ?.點(diǎn)D在A(yíng)B的中垂線(xiàn)上，故正確；.? ?= 2?.?= 3?目同，一？?:?么? 1: 3, 故正確； 故答案為：.30的直角三角【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性

18、質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，掌握等腰三角形的性質(zhì)，含形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義是解題的關(guān)鍵.三、解答題11 .已知直線(xiàn)？I? ?于點(diǎn)？ ? ?吩另J在？? ？社求作點(diǎn)？使？?？ ？?？且？到?12 ?勺距離相等【答案】見(jiàn)解析.【解析】【分析】P在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，還在直線(xiàn) ？12 ?形成的夾角的角利用角平分線(xiàn)的判定定理以及線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定定理可知點(diǎn) 平分線(xiàn)上，據(jù)此作圖即可.【詳解】解：作法：1.連接AB，作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)；2 .作/?平分線(xiàn)；3 .垂直平分線(xiàn)與角平分線(xiàn)的交點(diǎn) ？?、？?就是所要求作的點(diǎn)【點(diǎn)睛】此題主要考查了尺規(guī)作圖，熟練掌握運(yùn)用角平分線(xiàn)的判定定

19、理以及線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定定理是解題關(guān)鍵.12.如圖，已知 OB=90 ； OM是/AOB的平分線(xiàn)，將三角尺的直角頂點(diǎn)P放在射線(xiàn)OM上，兩直角邊分別與 OA, OB交于點(diǎn)C, D.(1)證明：PC=PD.(2)若OP=4,求OC+OD的長(zhǎng)度.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 4亞【解析】【分析】(1)過(guò)點(diǎn)P點(diǎn)作PELOA于E, PFLOB于F,根據(jù)垂直的定義得到/ PEC = ZPFD=90 ,由OM是/ AOB的平分線(xiàn)，根據(jù)角 平分線(xiàn)的性質(zhì)得到 PE=PF,利用四邊形內(nèi)角和定理可得到/ PCE+/PDO=36090 90 =180 ,而/PDO+/PDF=180 ,貝U/ PCE=/PDF,然后

20、根據(jù)“ AAS ”可判斷 PCEA PDF ,根據(jù)全等的性質(zhì)即可得至U PC=PD .(2)由/ AOB=90, OM平分/AOB,得到APOE與APOF為等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)有 OE=PE=PF=OF,即可 得到OE的長(zhǎng).由(1)知PCE/PDF,由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到 CE=DF,進(jìn)而得到OC+OD=OE+OF=2OE,即可得出結(jié) 論.【詳解】(1)如圖，過(guò)點(diǎn) P 作 PELOA 于點(diǎn) E, PFLOB 于點(diǎn) F, ： / PEC=/PFD=90 . OM是/AOB的平分線(xiàn)，：PE=PF./AOB=90, /CPD=90,PCE + Z PDO=360 -90 -90

21、=180.而/ PDO + Z PDF=180 , Z PCE = / PDF .在 APCE 和 APDF 中，/ PCE=/PDF, / PEC= / PFD , PE=PF, APCEAPDF (AAS) PC=PD.(2) ./AOB=90, OM 平分/AOB, APOEAPOF為等腰直角三角形，OE=PE=PF=OF.OP =4, 0E=2g由(1)知PCE/APDF, CE=DF , OC+OD=OE+OF=2OE=4 【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì).13.如圖，ZABC中，AB=11 , AC=5 , / BAC的平分線(xiàn)AD與邊BC的垂直平分線(xiàn) DG相交于點(diǎn)D ,過(guò)點(diǎn)D分別作 DEAB , DF1AC ,垂足分別為 E、F,求BE的長(zhǎng)度.【答案】BE=3 .【解析】【分析】連接CD, BD,由角平分線(xiàn)定理得到 DF=DE , Z F= Z DEB=90 , Z ADF= Z ADE ,由DG是BC的垂直平分線(xiàn)得到 CP =BD ,由 此證明RtDDFRtABDE,推出BE=CF ,再根據(jù)AB=11 , AC= 5即可求出答案.【詳解】如圖，連接CD, BD,. AD 是/ BAC 的平分線(xiàn)，DELAB , DFXAC , DF=DE, ZF=Z DEB=90