1、絕密啟用前2020年普通高等學校招生全國統一考試數學理試題(山東卷)本試卷分第I卷和第II卷兩部分， 共4頁。滿分150分。考試用時120分鐘。考試結束后, 將將本試卷和答題卡一并交回。注意事項：1 .答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、考生號、縣區和科類填 寫在答題卡和試卷.規定的位置上。2 .第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動,用橡皮擦干凈后，在選涂其他答案標號。答案寫在試卷上無效。3 .第R卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應 的位置，不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上

2、新的答案；不能使用 涂改液、膠帶紙、修正帶。不按以上要求作答的答案無效。4 .填空題直接填寫答案，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.參考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B尸P(A)+P(B).第I卷(共50分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合要求的(1)若復數z滿足2z z 3 2i，其中i為虛數單位，則z=(A) 1+2i(B) 1 2-i(C) 1 2i (D) 1 2i【答案】B【麗試題分折：設a =匕+加1則1 = 3e+=3 - ,故色=1=2 ,則n = 1 - ,選E-考點：注意共輾復數的概念 .x2(2

3、)設集合 A y|y 2 ,x R, B x|x 1 0,則 AUB =(A) ( 1,1)(B) (0,1)(C) ( 1, )(D) (0,)【解析】 試題分析：A y|y 0, B x| 1 x 1,則 A B x|x 1,選 C.考點：本題涉及到求函數值域、解不等式以及集合的運算(3)某高校調查了200名學生每周的自習時間(單位：小時) ，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是17.5,30,樣本數據分組為17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30.根據直方圖,這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是(A) 56

4、(B) 60(C) 120(D) 140【答案】D1解析】試題分析！自習時間和三2” 伸偽后三組F其藕朝昉16+ 0.08 + 0.04)/25 敵人都為 200x0.7=140A.進口.考點：頻率分布直方圖|x+ y? 2,(4)若變量x, y滿足?2x- 3y?9Ux2+ y2的最大值是?x 0,(A) 4(B) 9(C) 10(D) 12【答案】C【解析】試題分析：不等式組表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3廠1)為頂點的三角形區域，x2 y2表示點(x,y)到 . 一2原點距離的平方，最大值必在頂點處取到，經驗證最大值OC 10,故選C.考點：線性規劃求最值(5) 一個

5、由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為(A) 1 2(B) 1 匹/3 33312(C)冗36【答案】C試題分折:由三視圄可知，上面是半徑為質的半球，體積為八二段二37,4二學：下面是底面積為 21 2 32 J 61高為1的四極錐體積-二klxl故選C.33考點：根據三視圖求體積.(6)已知直線a, b分別在兩個不同的平面 ” 3內.則 直線a和直線b相交”是 平面“和平面.3相交”的(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既.不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：直線 a與直線b相交，則,一定相交，若,相交，則a,b可能相交，也可能平行

6、，故選A.考點：直線與平面的位置關系；充分、必要條件的判斷(7)函數 f (x) = ( J3 sinx+cosx) ( 33 cosx -sinx)的最小正周期是(A) - (B)兀(C)(D) 2 兀22【答案】B【解析】試題分析：f x 2sin x 2cos x 2sin 2x 一，故最小正周期T，故選B.考點：三角函數化簡求值，周期公式(8)已知非零向量 m, n滿足4 m =3 n , cos<m, n>=_ .若ni_( tm+n),則實數t的值為3(A) 4(B) Y(C) 9(D) -944【答案】B【喃】沅題分析：由屋, i=li4中=3 A; =4.kl<

7、; > 0) , 匕“十用,所以n- (tm + n) = rT'im += t m，r cos < w: n> + rjr = T故選B.考點：平面向量的數量積(9)已知函數f(x)的定義域為 R.當x<0時，f(x) x3一.1.1時，f(x-)f (x-)則 f(6)=(A) -2 (B) - 1 (C) 0 (D) 2【答案】D【解析】1 11試題分析：當 x 時，f (x ) f (x ),所以當2 22f(6)f(1),又因為函數f(x)是奇函數，所以f (1)二 63Ex二4乂二十(4©二4次二十16好二0所以11 ；當- 1 x 1 時

8、，f ( x) f(x);當 x 萬1 , 一， I ，x 時，函數f(x)是周期為1的周期函數，所以23f( 1)112 ,故選 D.考點：本題考查了函數的周期性、奇偶性，靈活變換求得函數性質是解題的關鍵(10)若函數y=f(x)的圖象上存在兩點n,使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱y=f(x)具有T性質.下列函數中具有T性質的是(A) y=sinx (B) y=lnx (C) y=ex (D) y=x3【答案】A【解析】試題分析：當y sin x時，y cosx , cos0 cos 1 ,所以在函數y sin x圖象存在兩點x 0, x使條件成立，故 A正確；函數y lnx,y

9、 ex, y x3的導數值均非負，不符合題意，故選 A.考點：本題,注意實質上是檢驗函數圖像上存在兩點的導數值乘積等于-1.第II卷(共100分)、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分(11)執行右邊的程序框圖，若輸入的a,b的值分別為0和9,則輸出的i的值為【答案】3【解析】試題分析:第一次循環；a二二名：第二次循環；3二工b二 6 ：第三次循環;a -6,b-3結束循環，此時，i=3.5滿足條件.考點：循環結構抓住結束點是關鍵(12)若(ax2+、)、 x3的展開式中x3的系數是一80,則實數a=【答案】-2【解析】,“5_10 二 rK試題分析：因為Tr 1 C；(ax2)5()

10、 C；a5 rx 2 ,所以由10 5r 5 r 2,因此Jx2C2a5 280 a 2.考點：二項展開式(13)已知雙曲線E1:24 1 (a>0, b>0),若矩形ABCD的四個頂點在 E上，AB,b2CD的中點為E的兩個焦點，且2AB|=3|BC|,則E的離心率是【答案】2【解析】卜2試題分析：易得A(c, ) , B(c, ab2),所以 |AB | a2b2，|BC | 2c, a由 2 AB 3BC,c2 a2 b2 得1離心率e 2或e -(舍去)，所以離心率為2.考點：把涉及到的兩個線段的長度表示出來是做題的關鍵(14)在-1,1上隨機地取一個數 k,則事件“直線y

11、=kx與圓(x- 5)2 +y2 = 9機交”發生的概率為,3【答案】34試題分析：直續產h與圖(1-5)=-。相交,需要滿足同心到直線的距禽小于半徑，d二，三九山k，蟀得一：k. 而讓_i,山所以發生的-率 442 4考點：直線與圓位置關系；幾何概型概率| x |,x m(15)已知函數f(x) 1 2h其中m 0,若存在實數b,使得關于x的方程f (x) =b有三x 2mx 4m, x m個不同的根，則m的取值范圍是【答案】(3,b,使得關于x的方程f (x) =b有三個不試題分析：由題意畫出函數圖像為圖時才符合，要滿足存在實數同的根應4m m2 m解得m 3 ,即(3,).考點：能夠準確

12、畫出函數的圖像是解決本題的關鍵三、解答題：本答題共6小題，共75分。(16)(本小題滿分12分)在 ABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c,已知2(tanA tanB)tan A tan BcosB cosA(I)證明：a+b=2c;(n )求cosC的最小值.1【答案】(i)見解析；(n) 1 2【解析】試題分析:(I )根據兩角和的正弦公式.正切公式、正弦定理即可證明:(U)根據余弦定理公式表示出2 由基本不等式求也的最小值.3工出“ 八sin 5 sin Asin B試題解析：(I)由題意知2 +- =-+, cos A cos 5 cascoscos-d化簡得 2 (si

13、n-14cosS + sin 5cosXl =siii J +sin B ,即 2 £n I d + 6 = sin A - sin 5.因為A + B -C =工所以.an(-44-' i = sifli>r-C) =sinC從而 sin J - sin 3=二 sin C由正弦定理得也+ b=所以cosC2. 22a b c2ab22,2 a ba b22ab3 b a118 a b4 2當且僅當a b時，等號成立.故cosC的最小值為-.2考點：兩角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理、基本不等式17.(本小題滿分12分)在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O

14、的直徑，EF是上底面圓O'的直徑,是圓臺的一條母線.FB(I)已知 G,H分別為EC, FB的中點，求證： GH/平面ABC;1_ _.(II)已知 EF=FB=1AC=2T3AB=BC.求二面角 F BC A 的余弦值.【答案】（I）見解析；（n）7試題分析（I ）根娓線面平行找到平面/EU內與G月平行的直色熊可：（口）解法（1）建立空間直角生標系求解f（2）找到為二面角廣-君C-H的平面語直接求解 試題解析:（T）證明:設FC的中點為L連接GA印 在3CE產因為G是CE的中點;又 EF/OB,所 W,在AC用中因為H是網的中點，所以出口4C 又所以平面GHZ 平面小 C因為GHu平

15、面GHZ所以GH /平面ABC.<n> 解;4；連接ar則0。'，平面屋c,又韭=是圓的直密，所以以hu 以d為坐標原點)建立如圖所示的空間直角坐標系d-曰二, 由題意得3(0依0),(:一二盧。此，過點f作工豆_。8于點口， 所以Hlf = ,F3： _眠廣=3.可得F9至3前前二QA區 7出蠶 二(0=-3).設£ = O： Fa)是平面衛3的一個法向量u uuinm BC 0由 ir uuirm BF 0-2 3 3x 2、. 3y 0可得 _ - 3y 3z 0Lr、3可得平面BCF的一個法向量 m ( 1,1,),r因為平面ABC的一個法向量n (0,0

16、,1),所以cosur rm, nir rm n-ur-r-|m|n|所以二面角BC A的余弦值為7解法二:連接08',過點F作反好千點現有又。平面.西 可得 FM =FB1 -BM2 = 3.過點M作_ 3。于XI連接FN、可得EV_EC,從而±FNM為二面角F-BC-A的平面角.又,4=EC XC是圓。的直徑，.Jg所以=.7 從而F.M二j可得3/4二近. ，TF所以二面角尸- EC T的的玄值為 J.7考點：空間平行判定與性質；異面直線所成角的計算；空間想象能力，推理論證能力 (18)(本小題滿分12分)已知數列 an的前n項和Sn=3n2+8n, bn是等差數列，且

17、an bn bn 1.(I)求數列 bn的通項公式；.(An 1)n 1(n)令cn ，.求數列 cn的前n項和Tn.(bn 2)【答案】(I) bn 3n 1 ; ( n) Tn 3n 2n 2.【解析】試題分析:（1 ）根據/二50-即等差數列的通項公式求解i（口）根據）央啜列的通項公式J再用錯位相溫;域其前口項和.試題解析K I >由題意當n > 2時J 4 = $= 61+析當=1時，勺=3=11）所以4 二曲+析設數列的公差為心由二 2 即：L 二 ，解之得瓦二4s二3,所以九二3燈十1已一二尻 +瓦 1 -2b, +3（11）由（I）知g=a-g一尸,又丁 二0 +I+

18、G+,e燈+?”. i .足即北=32x21 +3x2J十4x2,十十十1）2'力,2Tr =3（2x2a + 3x24 + 4x2J 4-1-（«+1）2:,以上兩式兩邊相減得-T = 3222 42? + 爐 + - - 2_1_644）2 =44_（及_1）/=_%7曲. 2 1所以川三3肛2，考點：數列前n項和與第n項的關系；等差數列定義與通項公式；錯位相減法（19）（本小題滿分12分）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得 3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”

19、得03 2分。已知甲每輪猜對的概率是 3,乙每輪猜對的概率是 2;每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響。各輪結4 3果亦互不影響。假設“星隊”參加兩輪活動，求：（I） “星隊”至少猜對 3個成語的概率；（II ） “星隊”兩輪得分之和為 X的分布列和數學期望 EX.、2 八， 一，23【答案】（I） 2 （n）分布列見解析，ex 2336【解析】試題分析：(I)找出“星隊”至少猜對3個成語所包含的基本事件，由獨立事件的概率公式和互斥事件的 粒率加法公式求解；(II )由題意，隨機變量X的可能取值為0,1,2, 3, 4前.由事件的獨立性與互用性，得到 氯的分布列j根據期里公式求解.試題解析；1I)

20、記事件恥“甲第一輪精對二記事件B："乙第一輪猜對/記事件C; “甲第二輪猜對凡記事件D： “乙第二輪猜對石記事件E ： “星隊至少猾對3個成語由 意，E = ACD + CD +_4BC3 + -T3c + 'LBC. D.由事件的濁立性與互斥性F尸(©二 F(HJCD)+P(為8| + 尸上和D|+F|HBE| + F|ABC5j二尸P尸©尸”尸FQP+尸M尸尸+巧閨尸尸©P3 ， 3 2fl 2 3 *3 1j2<>+P(AP(BP(CP(D)-x=.k- + 2二乂一、二一二二x_乂二=二，4m 431J1434 343J3所以

21、,”星隊”猜對3個成語的概率為1.(II)由題意，隨機變量 X的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得111114 3 4 3 144105144 723 11112 1124343434325144313131121231121243434343434343433 2 1 11 1 3 21,43434343 123 2 3 1 3 2 1 25P X 4 2 - - - - -一4343434312可得隨機變量X的分布列為X012346P15251511447214412124152515123所以數學期望EX 0 1 25-3 4 6 - 3144721441212

22、46考點：獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和期望(20)(本小題滿分13分)2x 1已知 f(x) ax In x -2, a R. x(I)討論f(x)的單調性；3(II)當a 1時，證明f(x)>f'x 對于任意的x 1,2成立.2【答案】(I)見解析；(n)見解析【解析】試題分析：)求/)的導心勤，對白進行分類討論，求的單調性占(H)要證/(匯)>/田+：對于任意的工云口二：成立，月口證了(冷-了001，根據單調性求解, 試題解析，(I) /CO的定義域為3萬工；f (主，=+三=3一?7 , X X TXT(L)當q£Q時，若k交QI),

23、圖數/<田單調遞增3xe (L+QJ (x)<0 J酶/單調遞減a(x 1)( x J2)(x 尤)(2)當 a 0時，f/(x) 畢La-。x若0 a 2,則J2 1,所以當x (0,1)或(J2,)時，f/(x) 0,函數f(x)單調遞增； ,aa當(1,J2)時，f/(x) 0 ,函數f(x)單調遞減；若a 2時，I2 1, f/(x) 0,函數f(x)單調遞增； :a若八乙則oy丁l所以當ye電行)或a+o泗,<(Y)>o,函氮r單調遞/當(J|工時f (x)<0,函翱"的單調遞減。琮上所述；當。£0時，翻f3在(0J)上單調遞增7的馥

24、/3在(L+Q上單調遞減口當0一<2時拯頻/8在(0J)和年片Q上單調遞埼困為丁在(1J2)上單調速南為"2時, aV a函教i在地十工)上單調is增；當白,2,觥1，(切在(oj$和。1與上單調遞增s函封f16在(£)上單蜩遞減口(n)由(I)知 a 1時,/2x 1f(x) f (x) x In x 2 x122(12-3)x x xx lnx 3 x1 ， x 1,2,人312./.令 g(x)x lnx, h(x) 一不y1,則 f(x)f (x)g(x)x x x,一 x 1由p/(x) 。可得g(x) g(1) 1當且僅當x 1時取等號；xh(x),又 h

25、(x)3x2 2x 64，x(x)3x2 2x 6,則(x)在1,2上單調遞減,且(1) 1, (2)10,(x) 0,x (x0,2)時，(x) 0,所以在1,2上存在x0使得x (1,x0)時,所以函數 (x)在(1,xO)上單調遞增；在(x0,2)上單調遞減，一1一1,一.由于h(1) 1,h(2) 一，因此h(x) h(2)一當且僅當x 2取等號，2 23 /3所以 f(x) f/(x) g(1) h(2)即 f(x) f/(x)對于任意的 x 1,2恒成立。 22考點：利用導函數判斷單調性；分類討論思想(21)(本小題滿分14分)22J平面直角坐標系xOy中，橢圓C：x-y-1 a>b>0的離心率是 ，拋物線E：x22y的焦點Fa2 b22是C的一個頂點(I)求橢圓C的方程；(II)設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與C交與不同的兩點 A, B,線段AB的中點為D,直線OD