1、一、教學(xué)內(nèi)容：規(guī)律探究型問題1. 圖案變化規(guī)律2. 數(shù)列、代數(shù)式運(yùn)算規(guī)律3. 幾何變化規(guī)律4. 探索研究二、知識要點(diǎn)：近年來，探索規(guī)律的題目成為數(shù)學(xué)中考的一個熱點(diǎn)，目的是考查學(xué)生觀察分析及探索的能力 . 題目分為題設(shè)和結(jié)論兩部分，通常題設(shè)部分給出一些數(shù)量關(guān)系或圖形變換關(guān)系，通過觀察分析，要求學(xué)生找出這些關(guān)系中存在的規(guī)律。這種數(shù)學(xué)題目本身存在一種數(shù)學(xué)探索的思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想從特殊到一般的發(fā)現(xiàn)規(guī)律。是中考的一個難點(diǎn)，越來越引起考生重視。下面我們根據(jù)幾種不同類型的規(guī)律變化類型題進(jìn)行分析。“規(guī)律探究型問題”根據(jù)學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和認(rèn)知特點(diǎn)，分別從直觀形象和抽象符號上進(jìn)行規(guī)律探索，突出數(shù)學(xué)的生活化，給

2、學(xué)生提供更多機(jī)會體驗學(xué)習(xí)和探索的“過程”與“經(jīng)歷”，使之擁有一定的問題解決、課題研究、社會調(diào)查的經(jīng)驗，使學(xué)生經(jīng)歷探索事物間的數(shù)量關(guān)系并用字母和代數(shù)式表示的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維，進(jìn)一步使學(xué)生體會到代數(shù)式是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學(xué)模型。現(xiàn)就規(guī)律探究的幾個例子，來探討一下這類專題：一、規(guī)律探索型問題的分類：1、數(shù)式規(guī)律通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，考查了學(xué)生的分析、歸納、抽象、概括能力。一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征

3、，改寫成要求的格式。如：1、有一串單項式： a，2a2， 3a3，4a4， ， 19a19，20a20， 那么第 n 個單項式是。2、爭當(dāng)小高斯：高斯在10 歲的時候，曾計算出1+2+3+4+ +100=_；還有另外一種解法：設(shè)S=1+2+3+ +99+100，那么也可以寫成S=100+99+98+97+ +2+1，把這兩個等式左右兩邊分別相加，可以得到 2S= （ 1+100） +（2+99）+（3+97）+ + （ 99+2） + （100+1），2S=100 101，S=由此，猜想前 n 個自然數(shù)和： 1+2+3+4+n=-_，前 n 個偶數(shù)和： 2+4+6+8+ +2n=_，前 n 個

4、奇數(shù)和： 1+3+5+7+ 9+ + (2n -1) =_.猜想歸納是解決這類問題的有效方法，通過對已給出的材料和信息對研究的對象進(jìn)行觀察、實驗、比較、歸納和分析綜合，作出符合一定規(guī)律與事實的推測性想象，從而發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律 . 它是發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識規(guī)律的重要手段 . 平時的教學(xué)不能局限于課本，可以設(shè)計一些猜想性、類比性的活動，讓學(xué)生經(jīng)歷一個觀察、試驗等活動過程，在活動中通過對大量特殊情形的觀察猜想出一般情形的結(jié)論，從而探索事物的內(nèi)在規(guī)律 .2、圖形規(guī)律根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化規(guī)律，從中總結(jié)圖形變化所反映的規(guī)律。解決這類圖形規(guī)律問題的方法有兩種，一種是數(shù)圖形，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律，再用數(shù)字規(guī)律的解決問題，

5、一種是通過圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律。如： 1、下圖是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第n 個小房子用了 _塊石子。2、下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖：經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（ 2）比圖（ 1）多出 2 個“樹枝”，圖（ 3）比圖（ 2）多出 5 個“樹枝”，圖（ 4）比圖（ 3）多出 10 個“樹枝”，照此規(guī)律，圖（7）比圖（ 6）多出個“樹枝”圖案、圖表具有直觀、形象、簡明，包含的信息量多等特點(diǎn)，解決此類問題需要把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。二、規(guī)律探索型問題常用解法1、抓住條件中的變與不變找數(shù)學(xué)規(guī)律的題目，都會涉及到一個或者幾個變化

6、的量. 所謂找規(guī)律，多數(shù)情況下，是指變量的變化規(guī)律. 所以，抓住了變量，就等于抓住了解決問題的關(guān)鍵 . 而這些變量通常按照一定的順序給出，揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號 .如：一組按規(guī)律排列的式子： ， （），其中第 7 個式子是，第個式子是（為正整數(shù)）分子和分母的底數(shù)沒變，變化的是符號及它們的指數(shù)，再把變量和序列號放在一起加以比較，就很容易發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。2、化繁為簡，形轉(zhuǎn)化為數(shù)有些題目看上去很大、圖形很復(fù)雜，實際上，關(guān)鍵性的內(nèi)容并不多. 對題目做一番認(rèn)真地分析，去粗取精，取偽存真，把其中主要的、關(guān)鍵的內(nèi)容抽出來，題目的難度就會大幅度降低，問題也就容易解決了.如：將一些半徑相同的小圓按如

7、圖所示的規(guī)律擺放： 第 1 個圖形有 6 個小圓，第 2 個圖形有 10 個小圓，第 3 個圖形有 16 個小圓，第 4 個圖形有 24 個小圓， ，依次規(guī)律，第6 個圖形有個小圓通過比較，可以發(fā)現(xiàn)事物的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，更容易找到事物的變化規(guī)律.3、尋找事物的循環(huán)節(jié)有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到了事物的循環(huán)規(guī)律，其他問題就可以迎刃而解 .如：把一張紙片剪成 4 塊，再從所得的紙片中任取若干塊，每塊又剪成 4 塊，像這樣依次地進(jìn)行下去， 到剪完某一次為止。 那么 2007，2008，2009，2010這四個數(shù)中 _可能是剪出的紙片數(shù)有些題目，雖然形式發(fā)生了變化，但是本質(zhì)并沒有改變. 我們只要

8、在觀察形式變化的過程中，始終注意尋找它的不變量，就可以揭示出事物的本質(zhì)規(guī)律.三、規(guī)律探索型問題常見的結(jié)論：1、乘方型：如：一張白紙引發(fā)的規(guī)律：將一張長方形的紙對折，可得到兩層。繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次的折痕保持平行，1、連續(xù)對折 n 次后，可以得到幾層 ?2、連續(xù)對折 n 次后，可以得到幾條折痕 ?3、若這張白紙的面積為 1，連續(xù)對折 n 次后單層面積是多少？另如：拉面問題：將一團(tuán)拉面拉一次，再捏合一次，再拉第二次，又捏合一次，如此重復(fù)下去，第 n 次捏合后，有多少根拉面？這類問題的關(guān)鍵在于觀察數(shù)的特征：將“數(shù)”進(jìn)行比較，一定會發(fā)現(xiàn)“數(shù)”與“數(shù)”間的聯(lián)系2、等比型：這類題型最簡單，通過觀

9、察、比較，學(xué)生能很容易解決。如：觀察下列圖形，則第個圖形中三角形的個數(shù)是_3、等差型：這些題型在數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣，題型最多。例如：火柴棍引發(fā)若干的規(guī)律1、用火柴棍拼三角形三角形個數(shù)12345n火柴棍根數(shù)3變式 1：用火柴棍拼正方形正方形個數(shù)123。n火柴棒條數(shù)（ 1）搭一搭，填一填：（ 2）根據(jù)你的算法，搭100 個這樣的正方形需要根火柴棒。變式 2：用同樣規(guī)律的藍(lán)白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)地面， 如圖所示第 n 個圖形中需用藍(lán)色瓷磚 塊當(dāng)數(shù)學(xué)問題所反映的數(shù)列的差值均為整數(shù) K 時，其通式就與整數(shù) K 的倍數(shù)有關(guān)，結(jié)果一定是（ Kn常數(shù)）的形式（ n 為自然數(shù)），將 K 代入特例中驗證即可輕易得到通式

10、，這種方法簡便易行，熟練后可口頭作出答解。4、差值呈自然數(shù)增長型這類通式往往與前n 個自然數(shù)的和、前n 個奇數(shù)和或前 n 個偶數(shù)和有關(guān)。這類習(xí)題有許多實例：一條直線上有 2 個點(diǎn)，則有 1 條線段；如有 3 個點(diǎn)，則有 2+1 條線段；有 4 個點(diǎn)，則有 3+2+1 條線段；依次類推：有 n 個已知點(diǎn)，則有線段（ n-1 ）+（n-2 ）+ +3+2+1條線段，即有 （n-1+1 ） (n-1) 2=n（ n-1 ） 2 條線段。 另外還有“幾個人相互握手總次數(shù)和”、“打籃球進(jìn)行單循環(huán)比賽取總場次”等問題。所反映的是同一個數(shù)學(xué)問題，只是將其置身于各類不同的生活背景中，但歸根到底是求前（ n-1

11、 ）個自然數(shù)的和。又如， 1、用大小相同的正方形拼圖，拼第1 個圖形需要 3 個正方形，拼第2 個圖形需要 6 個正方形，依次類推，拼第4 個圖形需要 _個正方形，拼第n 個圖形需要 _個正方形。2、下邊是一個有規(guī)律排列的數(shù)表, 請用含 n 的代數(shù)式 (n 為正整數(shù) ) 表示數(shù)表中第n 行第 n 列的數(shù) :_第一列第二列第三列第四列第一行12510第二行43611第三行98712第四行16151413結(jié)論的歸結(jié)無非是乘方型、n 的一次式 s=kn+b 或二次式 s=an2 +bn+c。數(shù)學(xué)規(guī)律，多數(shù)是函數(shù)的解析式. 函數(shù)的解析式里常常包含著數(shù)學(xué)運(yùn)算, 所以，要求把變量和序列號放在一起，做一些計

12、算，是解答找規(guī)律題的好途徑.規(guī)律探索型問題涉及的基礎(chǔ)知識非常廣泛，題目沒有固定的形式，因此沒有固定的解題方法。它既能充分地考察學(xué)生對基礎(chǔ)知識掌握的熟悉程度，又能較好地考察學(xué)生的觀察、分析、比較、概括及發(fā)散思維的能力及創(chuàng)新意識，因而成為中考的熱點(diǎn) . 這就啟發(fā)廣大數(shù)學(xué)教師必須注重過程教學(xué), 用科學(xué)的方法引導(dǎo)學(xué)生親身參與、經(jīng)歷探索規(guī)律的過程, 在這樣的過程中讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)之美,感受探索的愉悅 , 逐步培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立探究能力。1. 圖案變化規(guī)律探究題圖案變化規(guī)律題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)圖形所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的圖形或條件，要求學(xué)生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探

13、索規(guī)律，它體現(xiàn)了“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，考查了學(xué)生分析、解決問題的能力，觀察、聯(lián)想、歸納的能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力，題型可涉及填空、選擇或解答。例：如圖，是一個裝飾物品連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是（）。分析： 觀察圖像變化規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)陰影部分的圖形是按順時針每次旋轉(zhuǎn)兩個小格。 答案是 B2. 數(shù)列、代數(shù)式運(yùn)算規(guī)律 猜想型探究題題設(shè)中提供某些信息，供解題者觀察、類比、推理、反思，從而歸納、猜測、驗證得出一般性的規(guī)律和結(jié)論，這樣的問題稱為猜想型探究題。猜想型探究題能培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)字的敏感和直覺思維，能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的思維品質(zhì)和探索精神。3. 幾何變

14、化規(guī)律 探究題觀察幾何圖形、根據(jù)題中的變化規(guī)律進(jìn)行分析，猜想下面所沒有給出的圖形變化情況、探究圖形的變化和所求的結(jié)果、歸納總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。例：對面積為 1 的 ABC逐次進(jìn)行以下操作：第一次操作，分別延長 AB、 BC、CA至點(diǎn) A1、B1、 C1，使得 A1 B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，順次連接 A1、 B1、C1 ，得到 A1B1C1，記其面積為 S1；第二次操作，分別延長 A1B1、B1C1、 C1A1 至點(diǎn)C2，使得 A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，順次連接 A2、B2、C2，得到記其面積為 S2； ；按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到 A5B5C

15、5，則其面積 S5=_.A2、B2、A2B2C2，4. 探索研究已知題中給出一個全新的名詞，根據(jù)所學(xué)的知識和名詞的含義解題 . 體現(xiàn)學(xué)生對新知識、新事物的判斷和認(rèn)知能力，通過 提高數(shù)學(xué)知識技能，準(zhǔn)確地運(yùn)用數(shù)學(xué)基本思想和方法解題 .例：如果一個三角形和一個矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對的頂點(diǎn)在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形” . 如圖所示，矩形 ABEF即為 ABC的“友好矩形” . 顯然，當(dāng) ABC是鈍角三角形時，其“友好矩形”只有一個 .根據(jù)上面敘述，（ 1）說明什么樣的平行四邊形是一個三角形的“友好平行四邊形”；（2）如圖，若 ABC為

16、直角三角形，且 C=90，在圖中畫出 ABC 的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大小 .（2）此時共有 2 個友好矩形，如圖的BCAD、ABEF.易知，矩形 BCAD、ABEF的面積都等于 ABC面積的 2 倍， ABC的“友好矩形”的面積相等 .三、重點(diǎn)難點(diǎn)：通過觀察、分析，找出存在的規(guī)律。它既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，著重考查學(xué)生觀察、操作、實驗、歸納、猜想、驗證等能力，是對學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)的重要前提【典型例題】例題 1、圖形的操作過程（本題中四個矩形的水平方向的邊長均為向的邊長均為b）：a，豎直方在圖中， 將線段 A1 A2 向右平移 1 個單位到 B1B2，得到封閉圖形 A1A

17、2B2B1（即陰影部分）；在圖中，將折線 A1A2A3 向右平移 1 個單位到 B1B2B3，得到封閉圖形 A1A2 A3B3 B2 B1 （陰影部分） .（1）在圖中，請你類似地畫一條有兩個折點(diǎn)的折線，同樣向右平移1 個單位，從而得到一個封閉圖形，并用斜線畫出陰影；（2）請你分別寫出上述三個圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：S1， S2， S3；（3）聯(lián)想與橋梁如圖中，在一塊矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是 1 個單位），請你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說明你的猜想是正確的 .考點(diǎn)：平行四邊形的面積.【分析】 這個題目是要求學(xué)生從幾何圖形的變化中，探索圖

18、形面積的變化，并加以說明 . 在前面的三個圖形中，常規(guī)的辦法是利用平行四邊形（或分別割成多個平行四邊形）的面積計算來求陰影部分的面積，進(jìn)而計算空白部分的面積注意平行四邊形的面積是底乘以高，陰影部分的面積以一個單位為底，高均為 b，或者多個和為 b，所以空白部分面積均為 ab b. 但是當(dāng)陰影部分的左右邊界由折線變?yōu)槿我獾那€時，計算的方法已經(jīng)不再適用，因此我們考慮圖形的拆分和拼接，利用平移得到空白部分構(gòu)成的“簡單”圖形來計算草地的面積【解析】 （ 1）畫圖（要求對應(yīng)點(diǎn)在水平位置上，寬度保持一致）想一想，什么樣的兩數(shù)之積等于這兩數(shù)之和？設(shè) n 表示正整數(shù)，用關(guān)于 n 的等式表示這個規(guī)律為：= +

19、考點(diǎn)：探究規(guī)律、導(dǎo)出公式【分析】 該題是通過觀察給出的運(yùn)算，找到反映其規(guī)律的表達(dá)式此類問題不僅考查學(xué)生對知識的掌握，同時考查學(xué)生觀察分析的能力通過觀察給出的四個等式左邊是一個分?jǐn)?shù)與一個整數(shù)的積且分?jǐn)?shù)的分子比分母大 1，而整數(shù)與分子相同右邊是這兩個數(shù)的和，所以不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律為：左邊例題 4、我們給出如下定義：若一個四邊形的兩條對角線相等，則稱這個四邊形為等對角線四邊形請解答下列問題：（1）寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱；（2）探究：當(dāng)?shù)葘蔷€四邊形中兩條對角線所夾銳角為時，這對角所對的兩邊之和與其中一條對角線的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論考點(diǎn)：平行四邊形、等邊三角形的性質(zhì)

20、和判定、三角形的兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)等 .【分析】 本題的名詞為學(xué)生的猜想提供了條件，正確結(jié)論的探索，是證明的基礎(chǔ) . 結(jié)論的證明綜合了平行四邊形、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的性質(zhì)及平移的方法和手段，將兩邊之和平移到同一線段上，再與第三邊進(jìn)行比較.【解析】 （ 1）答案不唯一，如正方形、矩形、等腰梯形等等即等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為時，這對角所對的兩邊之和大于或等于其中一條對角線的長例題 5、四邊形一條對角線所在直線上的點(diǎn)， 如果到這條對角線的兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對角線的兩個端點(diǎn)的距離相等，則稱這點(diǎn)為這個四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)如圖 1，點(diǎn) P 為四邊形 ABCD對角線 AC所在直線上的一點(diǎn)， PDPB，PAPC，則點(diǎn) P 為四邊形 ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)（1）如圖 2，畫出菱形 ABCD的一個準(zhǔn)等距點(diǎn)（2）如圖 3，作出四邊形 ABCD的一個準(zhǔn)等距點(diǎn) （尺規(guī)作圖， 保留作圖痕跡，不要求寫作法）（3）如圖 4，在四邊形 ABCD中， P 是 AC上的點(diǎn)， PA PC，延長 BP交 CD 于點(diǎn) E，延長 DP交