1、導數練習題1 .已知函數f (x) =ax3+bx2+cx在x=±l處取得極值，在 x=0處的切線與直線 3x+y= 0 平行.求f (x)的解析式；(2)已知點A(2, m),求過點A的曲線y = f(x)的切線條數.解(1) f ' (x) = 3ax2+2bx+c,f' (1)=3a+2b+c=0,a=1,由題意可得f' ( 1)=3a 2b+c=0,解得b=0,f' (0) =c=3,c= 3.所以 f(x) =x33x.(2)設切點為(t, t33t),由知f' (x) =3x23,所以切線斜率k=3t23,切線方程為 y-(t3-3

2、t)=(3t2-3)( x-t).又切線過點A(2,m),代入得mv (t33t)= (3t23)(2t),解得 m 2t3+6t26.設 g(t) =2t3 + 6t26,令 g' (t) =0,即一6t2+12t=0,解得 1 = 0或1=2.當t變化時，g' (t)與g(t)的變化情況如下表：t(°°, 0)0(0,2)2(2, +8)g' (t)一0十0一g(t)極小值/極大值所以g(t)的極小值為g(0) =- 6,極大值為g(2) = 2.作出函數草圖(圖略)，由圖可知：當n>2或nr 6時，方程m= 2t3+6t26只有一解，即過

3、點 A只有一條切線；當vm= 2或件6時，方程m 2t3+6t 26恰有兩解，即過點 A有兩條切線；當6<n<2時，方程rn= 2t 3+6t26有三解，即過點 A有三條切線.2 .已知函數 f(x)=aln x- bx2.(1)當a=2, b=；時，求函數f (x)在-,e上的最大值； 2e(2)當b=0時，若不等式f (x) >m x對所有的aC0, 1 , x C (1 , e2都成立，求實數 m的取值范圍.- ，一一12.22x2也；令 f' (x)<0 ,得也<xwe解由題息知，f(x) = 2ln x-2x,f (x) = x-x= ,當ewx

4、we 時，令 f ' (x)>0 得ewx<.1，f(x)在e，42)上單倜遞增，在(娘，e上單倜遞減，f(x)max= f(平)=ln 2 -1.3-2 一、(2)當b=0時，f (x) =aln x,若不等式f(x) >nx對所有的aC 0 ,引，xC (1 , e 都成3 一 2立，則aln x> x對所有的aC 0,2 , xC (1 , e 都成立，即me aln xx,對所有的aC0,3 一222 , x C (1 , e 者B成立，令 h( a) = aln x x,則 h(a)為一次函數， me h(a)min. / x (1 , e ,1. I

5、n x>0, .h(a)在0 , 3上單調遞增，h(a)min=h(0) =x,me x 對所有的 xC(1, e2都成立.,1xWe ) ew x< 1, ''' m ( x) min = e .即實數 m 的取值范圍為(°°, e .3.設函數 f(x) = ln(1 +x) , g(x)=xf' (x), x>0,其中 f ' (x)是 f(x)的導函數. *(1)令 g1(x)=g(x), gn+1(x) =g(gn(x) , ne N ,求 gn(x)的表達式；(2)若f (x) > ag(x)恒成立

6、，求實數a的取值范圍； *(3)設nCN,比較g(1) +g(2) + g( n)與nf (n)的大小，并加以證明.-x解由題設得，g(x)=-(x>0).1十X, 八x(1)由已知，g1(x) =7-, g2(x) =g(g1(x) I xx1 + nx.下面用數學歸納法證明.x1 +x1 + 2x'x g3(x)=Ex,，可得gn(x) .x 當n= 1時，g(x)=1,結論成立.I 1 xx假設n=k時結論成立，即gk(x) = -.m,當n=k+1時,1十kxxQk(x)1 + kxx ，、gk+1(x) = g(gk(x) = =；-,即結論成立.1" 1 +

7、 gk(x)x 1 + (k+1)x1 + 1 + kx*. 由可知，結論對 n e N成立. 一ax ax(2)已知 f (x) Rag(x)恒成立，即 ln(1 +x) >jx 恒成立.設(J)(x)=ln(1 +x) (x>0),ax+1 a1 + x- (1 +x)2 (1 +x)2,6 (x)在0 , +oo )上單調遞當aw 1時，巾，(x) >0(當且僅當x=0, a=1時等號成立)，增.ax又 6 (0) =0,6 (x) >0 在0 , +8 )上恒成立,.awi時，in(1 +x)恒成立(當且僅當x=0, a=1時等號成立).1 x當 a>1

8、時，對 xC (0 , a1有 曠(x) <0, j (x)在(0 , a1)上單調遞減j (a-1)< 6(0)=0.一 . 一.ax .即a>1時，存在x>0,使6 (x)<0 ,故知ln(1 +x) >-不恒成立， 1+x綜上可知，a的取值范圍是(00, 1.(3)由題設知g(1)+g(2) + +g(n)=；+2+n-f(n) =n-ln(n+1),比較結果2 311 十 1為 g(1) +g(2) + g(n)> n-ln( n+1).證明如下：、.，.一 1 11萬法一：上述不等式等價于-+- + -+ -<ln( n+1),2 3n

9、+1在(2)中取 a=1,可得 ln(1 +x)>-x, x>0.令 x=1, nCN*,則<ln吐. 1+xnn+1 n下面用數學歸納法證明.一 ,1 一當n= 1時，2<ln 2 ,結論成立.1 11假設當n=k時結論成立，即 力+；+ 173=<ln( k+ 1) -2 3 k 十 1.11111k + 2那么，當 n=k+1 時，2+3+ +幣 + 帝<ln(k+1)+ <ln(k+1) + ln后=ln( k +2),即結論成立.由可知，結論對 n C N成立.方法二：上述不等式等價于1+1+=7<ln( n+1),2 3n + 1在(

10、2)中取 a=1,可得 ln(1 +x)>7x-, x>0.令 x=, nCN*,則 ln "n>. 1+xnn n+1故有 ln 2 ln 1> ln 3 ln 2>，ln( n+ 1) ln n>-,23n+1'上述各式相加可得ln( n+1)>2+3+ n-y,結論得證.2. 一 .11D1、已知函數f x Ym與函數g x ln - 3x x - ,2的圖像上至少存在一對關于x軸對稱的點，則實數m的取值范圍是(11n 2,252 In 2,- ln24c 5G In 2,24ln22 ln2,2B2、已知函數f x3ax的取值

11、范圍，為23x 1，)。存在唯一的零點x0 ,且x00,A、（2,）,2) CD 、（1,A&定義在R上的函數f（x）滿足：f x0, f x 是的導函數，則不等式eex 1 （其中e為自然對數的底數）的解集為（A 0,10,01,1,4、已知函數f x1 2-y 4x 31n x 在2 xt,t 1上不單調，那么實數t的取值范圍(0,1) U (2,3)3C5若函數f(x) 31在區間2,3內有極值點，則實數a的取值范圍2,5B&已知函數值為（A -5 B,1 f (x) x3)°若函數f (xa） b為奇函數，則a b的、-2D7、已知函數f（x） ex2，.一

12、.、一x （3a 2）, x在區間（1,0）有最小值,則實數a的取值范圍是（1U1, iA&設函數f（x）在R上的導函數為f (x)，且2f(x)xf(x) x2卜面的不等式在R上包成立的是（A f (x) 0 B 、 f(x) 0C 、 f(x)D 、 f(x) xA9已知函數f(x)(2x)ex ax a,若不等式f(x) 0恰有兩個正整數解，則a的取值范圍是(1 3A、-e3,0 B4)。,2-,0 C、-e3,eD242D1。若函數f(x) lnx與函數g(x)ax2(a 0)有兩條公切線，則實數a的取值范圍是()。a、(o,e)B、(0,2e)C、(e,)D、(2e,)1 c11、已知函數g(x)滿足g(x) g(1)ex1 g(0)x ；x2,且存在實數x0使得不等式2m 1 g(x0)成立，則m的取值范圍是。【1, +無窮】12、已知x 1,x 3是函數f(x) sin( x )(0,)相鄰的兩個極值點，且3 3一 1八、”*)在* 一處的導數f 一 0,則f 一 。(一分N一)2231213、已知函數 f (x) x , g(x) x 2ax 4 ,右任思 x10,1，存在x2 1,2 ,x