1、最全高中數學必修三知識點總結歸納（經典版）第一章 算法初步1.1.1 算法的概念1、算法概念： 在數學上，現代意義上的 “算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟， 這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內完成 .2. 算法的特點 :(1) 有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的 .(2) 確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執行且得到確定的結果，而不應當 是模棱兩可 .(3) 順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個 確定的后繼步驟， 前一步是后一步的前提， 只有執行完前一步才能進行

2、下一步， 并且每一步 都準確無誤，才能完成問題 .(4) 不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法 .(5) 普遍性：很多具體的問題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經 過有限、事先設計好的步驟加以解決 .1.1.2 程序框圖1、程序框圖基本概念：(一) 程序構圖的概念： 程序框圖又稱流程圖，是一種用規定的圖形、 指向線及文字說明來 準確、直觀地表示算法的圖形。一個程序框圖包括以下幾部分： 表示相應操作的程序框； 帶箭頭的流程線； 程序框外必要文 字說明。二）構成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能起止框表示一個算法的起始和結束， 是任何流

3、程圖 不可少的。輸入、輸出框表示一個算法輸入和輸出的信息， 可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。處理框賦值、計算，算法中處理數據需要的算式、 公式等分別寫在不同的用以處理數據的處 理框內。判斷框判斷某一條件是否成立， 成立時在出口處標 明“是”或“ Y ”；不成立時標明“否”或 “N”。學習這部分知識的時候， 要掌握各個圖形的形狀、 作用及使用規則， 畫程序框圖的規則如下：1 、使用標準的圖形符號。 2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。 3 、除判斷框外，大多數流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。4 、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支

4、的判斷，而且有且僅有兩個結果； 另一類是多分支判斷，有幾種不同的結果。5 、在圖形符號內描述的語言要非常簡練清楚。（三）、算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環結構。1 、順序結構：順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下 的順序進行的， 它是由若干個依次執行的處理步驟組成的， 它是任何一個算法都離不開的一 種基本算法結構。順序結構在程序框圖中的體現就是用流程線將程序框自上而 下地連接起來，按順序執行算法步驟。如在示意圖中，A 框和 B A框是依次執行的，只有在執行完 A 框指定的操作后，才能接著執 行 B 框所指定的操作。 B2、條件結構：條件結構是指在算

5、法中通過對條件的判斷根據條件是否成立而選擇不同流向的算法結構。條件 P 是否成立而選擇執行 A 框或 B框。無論 P條件是否成立，只能執行 A框或 B 框之一， 不可能同時執行 A 框和 B框，也不可能 A 框、 B框都不執行。一個判斷結構可以有多個判斷框。3 、循環結構： 在一些算法中，經常會出現從某處開始，按照一定條件，反復執行某一處理 步驟的情況，這就是循環結構， 反復執行的處理步驟為循環體，顯然， 循環結構中一定包含 條件結構。循環結構又稱重復結構，循環結構可細分為兩類：（1 ）、一類是當型循環結構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P 成立時，執行 A框， A 框執行完畢后，再判斷

6、條件 P 是否成立，如果仍然成立，再執行 A 框，如此反復執 行 A 框，直到某一次條件 P 不成立為止，此時不再執行 A 框，離開循環結構。（ 2 ）、另一類是直到型循環結構，如下右圖所示，它的功能是先執行，然后判斷給定的條件 P 是否成立， 如果 P 仍然不成立， 則繼續執行 A 框，直到某一次給定的條件 P 成立為止，此時不再執行 A 框，離開循環結構。當型循環結構直到型循環結構注意： 1 循環結構要在某個條件下終止循環，這就需要條件結構來判斷。因此，循環結 構中一定包含條件結構，但不允許“死循環” 。 2 在循環結構中都有一個計數變量和累加變 量。計數變量用于記錄循環次數 ，累加變量用

7、于輸出結果 。計數變量和累加變量一般是同步 執行的，累加一次，計數一次。1.2.1 輸入、輸出語句和賦值語句1 、輸入語句（1）輸入語句的一般格式圖形計算器格式INPUT “提示內容”；變量格式 INPUT “提示內容”，變量（2）輸入語句的作用是實現算法的輸入信息功能； （ 3）“提示內容” 提示用戶輸入什么樣的 信息， 變量是指程序在運行時其值是可以變化的量； （4）輸入語句要求輸入的值只能是具體 的常數，不能是函數、變量或表達式； （ 5）提示內容與變量之間用分號“； ”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“， ”隔開。2、輸出語句（1）輸出語句的一般格式PRINT“提示內容”；表

8、達式圖形計算器格式 Disp “提示內容”，變量2）輸出語句的作用是實現算法的輸出結果功能；（ 3）“提示內容” 提示用戶輸入什么樣的 信息， 表達式是指程序要輸出的數據； （4）輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及 字符。3、賦值語句1）賦值語句的一般格式圖形計算器變量表達式格式表達式 變量（2）賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；（ 3）賦值語句中的“”稱作賦值號，與數學中的等號的意義是不同的。 賦值號的左右兩邊不能對換， 它將賦值號右邊的表達 式的值賦給賦值號左邊的變量； （4）賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表 達式可以是一個數據、常量或算式； （ 5）對于

9、一個變量可以多次賦值。注意： 賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如： 2=X 是錯誤的。賦值號左 右不能對換。如“ A=B ”“ B=A ”的含義運行結果是不同的。 不能利用賦值語句進行代數 式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）賦值號“= ”與數學中的等號意義不同。122 條件語句1）IFTHENELSE 語句；（2）IFTHEN 語句。 2、IF1、條件語句的一般格式有兩種： THEN ELSE 語句1，對應的程序框圖為圖 2。圖2IFTHEN ELSE 語句的一般格式為圖IF 條件 THEN 語句 1ELSE語句 2END IF圖1分析：在 IF THEN ELSE 語句中，“

10、條件”表示判斷的條件， “語句 1”表示滿足條件時END IF 表示條件語句的執行的操作內容； “語句 2”表示不滿足條件時執行的操作內容；結束。計算機在執行時，首先對IF 后的條件進行判斷，如果條件符合，則執行 THEN 后面的語句 1；若條件不符合，則執行ELSE 后面的語句 2。3、IF THEN 語句IF THEN 語句的一般格式為圖3，對應的程序框圖為圖IF 條件 THEN 語句END IF圖 3）注意：“條件”表示判斷的條件； “語句”表示滿足條件時 作內容，條件不滿足時，結束程序； END IF 表示條件語句的結束。計算機在執行時首先 對 IF 后的條件進行判斷，如果條件符合就執

11、行 THEN 后邊的語句，若條件不符合則直接結 束該條件語句，轉而執行其它語句。12 3 循環語句循環結構是由循環語句來實現的。 對應于程序框圖中的兩種循環結構， 一般程序設計語 言中也有當型（ WHILE型）和直到型（ UNTIL型）兩種語句結構。即 WHILE語句和 UNTIL 語 句。1、 WHILE 語句（1）WHILE語句的一般格式是WHILE 條件 循環體WEND（2）當計算機遇到 WHILE 語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執行 WHILE 與 WEND 之間的循環體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執行循環體，這個 過程反復進行， 直到某一次條件不符合為止。

12、這時，計算機將不執行循環體， 直接跳到 WEND 語句后，接著執行 WEND 之后的語句。因此，當型循環有時也稱為“前測試型”循環。2、 UNTIL 語句（1） UNTIL語句的一般格式是DO循環體LOOP UNTIL 條件（2）直到型循環又稱為“后測試型”循環，從UNTIL 型循環結構分析，計算機執行該語句時，先執行一次循環體，然后進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續返回執行循環體，然 后再進行條件的判斷，這個過程反復進行，直到某一次條件滿足時，不再執行循環體， 跳到 LOOP UNTIL語句后執行其他語句，是先執行循環體后進行條件判斷的循環語句。分析： 當型循環與直到型循環的區別： （先由

13、學生討論再歸納）（ 1） 當型循環先判斷后執行，直到型循環先執行后判斷；在 WHILE語句中， 是當條件滿足時執行循環體， 在 UNTIL語句中， 是當條件不滿足時執行循環1.3.1 輾轉相除法與更相減損術1、輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：（1）：用較大的數 m除以較小的數 n 得到一個商 S0和一個余數 R0 ；（ 2）：若 R0 0，則 n 為 m，n 的最大公約數；若 R0 0，則用除數 n 除以余數 R0 得到一個商 S1和一個余數 R1；（3）：若 R10，則 R1為 m，n的最大公約數；若 R10，則用除數 R0除以余數 R1得到一個 商 S2和

14、一個余數 R2；依次計算直至 Rn 0，此時所得到的 Rn 1 即為所求的最大公約數。2、更相減損術我國早期也有求最大公約數問題的算法， 就是更相減損術。在 九章算術中有更相減損術 求最大公約數的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母 ?子之數，以少減多，更相減損， 求其等也，以等數約之。翻譯為：（1）：任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。若是，用2 約簡；若不是，執行第二步。（2）：以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減 小數。繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。例 2 用更相減損術求 98 與 63 的最大公約數 .分析：（

15、略）3、輾轉相除法與更相減損術的區別： （1）都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主， 計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少， 特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別較明顯。0 則得到，而更相減損術2)從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除余數為則以減數與差相等而得到1.3.2 秦九韶算法與排序1、秦九韶算法概念：f(x)=a nxn+an-1xn-1+ .+a1x+a0求值問題f(x)=a nxn+an-1xn-1+.+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+.+a1)x+a0 =( anxn-2+an-1xn-3+.+a2)x+a1)

16、x+a0 =(.( anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0求多項式的值時，首先計算最內層括號內依次多項式的值，即v1=anx+an-1然后由內向外逐層計算一次多項式的值，即v2=v1x+an-2v3=v 2x+an-3 vn=vn-1x+a0、這樣，把 n次多項式的求值問題轉化成求 n 個一次多項式的值的問題。2、兩種排序方法 ：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序基本思想： 插入排序的思想就是讀一個， 排一個。 將第個數放入數組的第個元素中，以 后讀入的數與已存入數組的數進行比較， 確定它在從大到小的排列中應處的位置 將該位置 以及以后的元素向后推移一個位置，將讀入的新數填

17、入空出的位置中 (由于算法簡單，可 以舉例說明)2、冒泡排序基本思想：依次比較相鄰的兩個數 ,把大的放前面 ,小的放后面 .即首先比較第 1 個數和第 2個數,大數放前 ,小數放后 . 然后比較第 2個數和第 3個數 直到比較最后兩個數 .第一趟結束,最小的一定沉到最后 .重復上過程 ,仍從第 1 個數開始 ,到最后第 2 個數 由于在排序過程中總是大數往前 , 小數往后 , 相當氣泡上升 ,所以叫冒泡排序 .1.3.3 進位制1、概念：進位制 是一種記數方式，用有限的數字在不同的位置表示不同的數值。可使用數 字符號的個數稱為基數， 基數為 n，即可稱 n 進位制， 簡稱 n 進制。現在最常用

18、的是十進制， 通常使用 10 個阿拉伯數字 0-9 進行記數。對于任何一個數，我們可以用不同的進位制來表 示。比如：十進數 57，可以用二進制表示為 111001，也可以用八進制表示為 71、用十六進 制表示為 39，它們所代表的數值都是一樣的。一般地，若 k 是一個大于一的整數，那么以 k 為基數的 k 進制可以表示為：anan 1 .a1 a0（ k ）（0 an k,0 an 1,.,a1,a0 k） ，而表示各種進位制數一般在數字右下腳加注來表示,如111001（2）表示二進制數 ,34 （5） 表示 5進制數第二章 統計2.1.1 簡單隨機抽樣1總體和樣本總體：在統計學中 , 把研究

19、對象的全體叫做總體 個體：把每個研究對象叫做個體總體容量：把總體中個體的總數叫做總體容量為了研究總體 的有關性質，一般從總體中隨機抽取一部分： ， ， ， 研究，我們稱它為樣本其中個體的個數稱為樣本容量 。 2簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨 機地抽取調查單位。 特點 是：每個樣本單位被抽中的可能性相同 （概率相等） ，樣本的每 個單位完全獨立， 彼此間無一定的關聯性和排斥性。 簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基 礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數目較少時，才采用這種方法。 3簡單隨機抽樣常用的方法：（ 1）抽簽法；隨機數表法；計算機模擬法；

20、使用統計軟件直接抽取。 在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中， 主要考慮： 總體變異情況； 允許誤差范圍； 概率保證程度。4抽簽法 :（ 1）給調查對象群體中的每一個對象編號；（ 2）準備抽簽的工具，實施抽簽（ 3）對樣本中的每一個個體進行測量或調查 例：請調查你所在的學校的學生做喜歡的體育活動情況。5隨機數表法：例：利用隨機數表在所在的班級中抽取 10 位同學參加某項活動。2.1.2 系統抽樣1系統抽樣（等距抽樣或機械抽樣） ： 把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。K（抽樣距離） =N （總體規模） /n（樣本規模）前提

21、條件： 總體中個體的排列對于研究的變量來說， 應是隨機的， 即不存在某種與研究 變量相關的規則分布。 可以在調查允許的條件下， 從不同的樣本開始抽樣， 對比幾次樣本的 特點。 如果有明顯差別， 說明樣本在總體中的分布承某種循環性規律， 且這種循環和抽樣距 離重合。2系統抽樣， 即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。 更為重要的是， 如果有某種與調查指標相關的輔助變量可供使用， 總體單 元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統抽樣可以大大提高估計精度。2.1.3 分層抽樣1分層抽樣（類型抽樣） ： 先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等

22、）劃分成若干類型或層次， 然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后， 將這些子樣本合起來構成總體的樣本。兩種方法： 1先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。2先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最 后用系統抽樣的方法抽取樣本。2分層抽樣是把異質性較強的總體分成一個個同質性較強的子總體，再抽取不同的子總體 中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。分層標準：（1）以調查所要分析和研究的主要變量或相關的變量作為分層的標準。（2）以保證各層內部同質性強、各層之間異質性強、突出總體內在結構的變

23、量作為分 層變量。（3）以那些有明顯分層區分的變量作為分層變量。3分層的比例問題：（ 1）按比例分層抽樣：根據各種類型或層次中的單位數目占總體單位數目的比重來抽取 子樣本的方法。（ 2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采 用該方法， 主要是便于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。 如果要用樣本資 料推斷總體時， 則需要先對各層的數據資料進行加權處理， 調整樣本中各層的比例， 使數據 恢復到總體中各層實際的比例結構。2.2.2 用樣本的數字特征估計總體的數字特征1、本均值： xx1 x2xn2、樣本標準差：2(x1 x)2(x2 x)2 n(xn

24、x)23用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣 本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。雖然我們用樣本數據得到的分布、 均值和標準差并不是總體的真正的分布、 均值和標準差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當樣本量很大時， 它們確實反映了總體的信息。4（ 1）如果把一組數據中的每一個數據都加上或減去同一個共同的常數，標準差不變（ 2）如果把一組數據中的每一個數據乘以一個共同的常數k，標準差變為原來的 k 倍（ 3）一組數據中的最大值和最小值對標準差的影響，區間（x 3s,x 3s） 的應用；“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科

25、學道理2.3.2 兩個變量的線性相關1、概念 :1）回歸直線方程2）回歸系數2最小二乘法3直線回歸方程的應用（1）描述兩變量之間的依存關系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存 的數量關系（ 2）利用回歸方程進行預測； 把預報因子 （即自變量 x）代入回歸方程對預報量 （即 因變量 Y ）進行估計，即可得到個體 Y 值的容許區間。（3）利用回歸方程進行統計控制規定制的目標。如已經得到了空氣中通過控制汽車流量來控制空氣中4應用直線回歸的注意事項（1）做回歸分析要有實際意義；（ 2）回歸分析前 ,最好先作出散點圖；（3）回歸直線不要外延。Y 值的變化，通過控制 x 的范圍來實現統計控NO2

26、的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可NO 2的濃度。第三章 概 率3.1.1 3.1.2 隨機事件的概率及概率的意義1、基本概念：（1）必然事件：在條件 S 下，一定會發生的事件，叫相對于條件 S的必然事件；（2）不可能事件：在條件 S 下，一定不會發生的事件，叫相對于條件 S 的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統稱為相對于條件S 的確定事件；（4）隨機事件：在條件 S 下可能發生也可能不發生的事件，叫相對于條件 S 的隨機事件；（5）頻數與頻率：在相同的條件 S下重復 n次試驗，觀察某一事件 A 是否出現，稱 n次試 驗中事件 A 出現的次數 nA 為事件 A 出現的頻數；稱事

27、件 A 出現的比例 nAfn（A）= n 為事件 A 出現的概率：對于給定的隨機事件A ，如果隨著試驗次數的增加， 事件 A 發生的頻率 fn（A） 穩定在某個常數上， 把這個常數記作 P（A ）， 稱為事件 A 的概率。6）頻率與概率的區別與聯系： 隨機事件的頻率， 指此事件發生的次數 nA 與試驗總次數 nnA的比值 n ，它具有一定的穩定性，總在某個常數附近擺動，且隨著試驗次數 的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數叫做隨機事件的概率， 概率從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小。 頻率在大量重復試驗的前 提下可以近似地作為這個事件的概率3.1.3 概率的基本性質1、基本概念：(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件(2) 若 A B為不可能事件，即 A B= ，那么稱事件 A 與事件 B互斥；(3) 若 A B為不可能事件， A B為必然事件